Estudaremos as singularidades genéricas de superfécies regradas em R3. O objetivo do trabalho é mostrar que as singularidades genéricas que ocorrem no conjunto das superfícies regradas são as mesmas que ocorrem no conjunto das aplicações diferenciáveis de R2 em R3, enquanto que as singularidades genéricas das superfícies desenvolvíveis, que formam um subconjunto das superfícies regradas, são mais degeneradas. / We study generic singularities of ruled surfaces in R3. In this work we show that generic singularities appearing in the set of ruled surfaces are the same that occur in the set of map germs from R2 to R3, while the generic singularities of developable surfaces are more degenerate.

Cette thèse s’inscrit dans le thème de la réalité augmentée spatiale (RAS). La RAS permet d’améliorer ou de modifier la perception de la réalité, au travers d’informations virtuelles affichées directement dans l’environnement réel, à l’aide d’un vidéoprojecteur. Bien des domaines peuvent en profiter, tels que le tourisme, le divertissement, l’éducation, la médecine, l’industrie ou le patrimoine culturel. Les techniques informatiques actuelles permettent d’acquérir, d’analyser et de visualiser la géométrie de la surface d’objets réels, comme par exemple pour des artefacts archéologiques. Nous proposons une technique d’interaction et de visualisation en RAS qui combine les avantages de l’étude d’artefacts archéologiques réels et de l’étude d’artefacts archéologiques 3D. Pour cela, nous superposons sur l’objet une visualisation expressive en RAS basée sur les courbures, permettant par exemple de montrer le détail des gravures. Nous simulons ensuite l’utilisation d’une lampe torche grâce à un interacteur à 6 degrés de liberté. L’utilisateur peut ainsi spécifie la zone de l’objet à augmenter et ajuster les nombreux paramètres nécessaires au rendu expressif. L’une des principales caractéristiques de la réalité augmentée spatiale est de permettre à plusieurs utilisateurs de participer simultanément à la même expérience. Cependant, en fonction de l’application souhaitée, cela peut être vu comme un inconvénient. Nous proposons un nouveau dispositif d’affichage permettant de créer des expériences en RAS qui soient multi-utilisateurs et personnalisées, en prenant en compte le point de vue de l’utilisateur. Nous utilisons pour cela un support de projection rétroréfléchissant semi-transparent que l’on positionne en face de l’objet à augmenter. Nous proposons deux implémentations différentes de ce nouveau dispositif, ainsi que deux scénarios d’application. Lorsque l’on veut augmenter des objets déformables, la plupart des techniques de tracking actuelles et la connaissance préalable de la géométrie de l’objet ne suffisent plus. En vue d’être par la suite utilisée pour augmenter un objet, nous proposons une technique de reconstruction de surfaces développables par approximation de cylindres paraboliques, basée sur les MLS. Ce type de surface peut représenter par exemple des vêtements ou des tissus. Nous proposons une solution pour supprimer les problèmes d’approximation dans les zones à forte ambiguïté. / This thesis extends the field of spatial augmented reality (SAR). Spatial augmented reality allows to improve or modify the perception of the reality with virtual information displayed directly in the real world, using video-projection. Many fields such as tourism, entertainment, education, medicine, industry or cultural heritage may benefit from it. Recent computer science techniques allow to measure, analyse and visualise the geometry of the surface of real objects, as for instance archeological artefacts. We propose a SAR interaction and visualisation technique that combines the advantages of the study of both real and 3D archeological artefacts. Thus, we superimpose on the object an expressive rendering based on curvatures with SAR, allowing for example to show details of engravings. Next, we simulate the use of a flashlight with the help of a 6-degree-of-freedom controller. The user can then specify the area on the object to be augmented and adjust the various necessary parameters of the expressive rendering. One of the main caracteristics of SAR is to enable multiple users to simultaneously participate to the same experience. However, depending on the target application, this can be seen as a drawback. We propose a new display device that allows to create experiences in SAR that are both multi-user and personalised by taking into account the user point of view. In order to do so, the projection display, set in front of the object to augment, is made from a material that is both retro-reflective and semi-transparent. We suggest two different uses of this new device, as well as two scenarios of application. Most of recent tracking solutions, even with the knowledge of the geometry of the object beforehand, fail when applied to the augmentation of deformable objects. In order to adress this issue, we propose a reconstruction technique for developable surfaces using parabolic-cylinders based on MLS. This kind of surface may represent cloth or fabric for instance. We show a solution addressing approximation issues in areas where the problem becomes ambiguous.

Les problèmes d'interpolation ont été largement étudiés dans la Conception Géométrique Assistée par Ordinateur. Ces problèmes consistent en la construction de courbes et de surfaces qui passent exactement par un ensemble de données. Dans ce cadre, l'objectif principal de cette thèse est de présenter des méthodes d'interpolation de données 2D et 3D au moyen de courbes Algébriques Trigonométriques à Hodographe Pythagorien (ATPH). Celles-ci sont utilisables pour la conception de modèles géométriques dans de nombreuses applications. En particulier, nous nous intéressons à la modélisation géométrique d'objets odontologiques. À cette fin, nous utilisons les courbes spatiales ATPH pour la construction de surfaces développables dans des volumes odontologiques. Initialement, nous considérons la construction de courbes planes ATPH avec continuité C² qui interpolent une séquence ordonnée de points. Nous employons deux méthodes pour résoudre ce problème et trouver la « bonne » solution. Nous étendons les courbes ATPH planes à l'espace tridimensionnel. Cette caractérisation 3D est utilisée pour résoudre le problème d'interpolation Hermite de premier ordre. Nous utilisons ces splines ATPH spatiales C¹ continues pour guider des facettes développables, qui sont déployées à l'intérieur de volumes tomodensitométriques odontologiques, afin de visualiser des informations d'intérêt pour le professionnel de santé. Cette information peut être utile dans l'évaluation clinique, diagnostic et/ou plan de traitement. / Interpolation problems have been widely studied in Computer Aided Geometric Design (CAGD). They consist in the construction of curves and surfaces that pass exactly through a given data set, such as point clouds, tangents, curvatures, lines/planes, etc. In general, these curves and surfaces are represented in a parametrized form. This representation is independent of the coordinate system, it adapts itself well to geometric transformations and the differential geometric properties of curves and surfaces are invariant under reparametrization. In this context, the main goal of this thesis is to present 2D and 3D data interpolation schemes by means of Algebraic-Trigonometric Pythagorean-Hodograph (ATPH) curves. The latter are parametric curves defined in a mixed algebraic-trigonometric space, whose hodograph satisfies a Pythagorean condition. This representation allows to analytically calculate the curve's arc-length as well as the rational-trigonometric parametrization of the offsets curves. These properties are usable for the design of geometric models in many applications including manufacturing, architectural design, shipbuilding, computer graphics, and many more. In particular, we are interested in the geometric modeling of odontological objects. To this end, we use the spatial ATPH curves for the construction of developable patches within 3D odontological volumes. This may be a useful tool for extracting information of interest along dental structures. We give an overview of how some similar interpolating problems have been addressed by the scientific community. Then in chapter 2, we consider the construction of planar C2 ATPH spline curves that interpolate an ordered sequence of points. This problem has many solutions, its number depends on the number of interpolating points. Therefore, we employ two methods to find them. Firstly, we calculate all solutions by a homotopy method. However, it is empirically observed that only one solution does not have any self-intersections. Hence, the Newton-Raphson iteration method is used to directly compute this \good" solution. Note that C2 ATPH spline curves depend on several free parameters, which allow to obtain a diversity of interpolants. Thanks to these shape parameters, the ATPH curves prove to be more exible and versatile than their polynomial counterpart, the well known Pythagorean-Hodograph (PH) quintic curves and polynomial curves in general. These parameters are optimally chosen through a minimization process of fairness measures. We design ATPH curves that closely agree with well-known trigonometric curves by adjusting the shape parameters. We extend the planar ATPH curves to the case of spatial ATPH curves in chapter 3. This characterization is given in terms of quaternions, because this allows to properly analyze their properties and simplify the calculations. We employ the spatial ATPH curves to solve the first-order Hermite interpolation problem. The obtained ATPH interpolants depend on three free angular values. As in the planar case, we optimally choose these parameters by the minimization of integral shape measures. This process is also used to calculate the C1 interpolating ATPH curves that closely approximate well-known 3D parametric curves. To illustrate this performance, we present the process for some kind of helices. In chapter 4 we then use these C1 ATPH splines for guiding developable surface patches, which are deployed within odontological computed tomography (CT) volumes, in order to visualize information of interest for the medical professional. Particularly, we construct piecewise conical surfaces along smooth ATPH curves to display information related to the anatomical structure of human jawbones. This information may be useful in clinical assessment, diagnosis and/or treatment plan. Finally, the obtained results are analyzed and conclusions are drawn in chapter 5.