Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria tiene como objetivo estudiar subshifts generados por sustituciones multidimensionales. Los sistemas dinámicos generados por sustituciones unidimensionales han sido ampliamente estudiados y existe una vasta teoría al respecto [6]. Un teorema importante de la teoría en el caso multidimensional fue demostrado el año 1989 por Mozes [18] y clasifica una gran cantidad de sistemas generados por Z^2-sustituciones dentro de la clase de Z^2-subshifts de tipo sófico. Dicho teorema si bien es bastante general y permite comprender mejor las propiedades dinámicas de estos sistemas, no abarca la clase de subshifts límites generados por una sustitución, ni tampoco entrega información sobre si los sistemas generados por sustituciones son Z^2-SFT de tipo finito o no. Una extensión del teorema de Mozes para el caso de subshifts límites generados por Z^2-sustituciones cuadradas de tamaño 2 fue probada recientemente por Ollinger [16]. La primera parte de este trabajo entrega algunos conceptos básicos de sistemas dinámicos topológicos y de dinámica simbólica que son necesarios para entender los argumentos que se utilizan en el resto del escrito. Posteriormente se estudian las Z^d-sustituciones junto con los sistemas dinámicos generados por ellas y se introduce el teorema de Mozes [18]. Luego se estudia el embaldosado de Robinson [23], el cual es un ejemplo clásico de un Z^2-SFT no vacío sin puntos periódicos que posee una estructura jerárquica interesante. Dicho sistema se generaliza de modo tal que dependa de dos números naturales k,l >=2 de modo tal que la estructura jerárquica tenga formas rectangulares que dependen de k y l. En el capítulo siguiente se extiende el resultado de Mozes para el caso de Z^2-subshifts límites generados por sustituciones rectangulares de tamaño arbitrario, así generalizando el resultado de Ollinger a un contexto más amplio. Para ello se utiliza una técnica distinta que emplea la estructura del embaldosado de Robinson generalizado para codificar en una secuencia de látices contenidos en dicha estructura el pasado completo de un punto de este tipo de subshifts bajo la acción de una sustitución. En el último capítulo se discute brevemente el problema de clasificar los subshifts generados por Z^2-sustituciones en subclases de los Z^2-subshifts de tipo sófico y posteriormente se estudia la existencia de Z^2-SFT minimales que no se reducen a una órbita finita y que son generados por sustituciones. Se culmina el capítulo con la construcción explícita de dicho objeto mostrando así que el problema de clasificación debe necesariamente considerar la existencia de dichas estructuras.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / El presente trabajo de memoria analiza subshifts de tipo finito definidos sobre grupos virtual- mente-Z a partir de su subdinámica proyectiva: el estudio del subshift obtenido al restringir cada configuración a un subgrupo H. Trabajos previos, como el de R. Pavlov y M. Schraudner [12] o el de Johnson, Kass y Madden [14], se centran en el estudio de la subdinámica de subshifts sobre Z^d; así, el trabajo actual es una suerte de complemento de los anteriores, analizando un caso en que la relación entre un subshift y su subdinámica es más estrecha por el fuerte parecido geométrico existente. El primer capítulo introduce los conceptos algebraicos necesarios para definir los grupos virtualmente-Z y enunciar sus propiedades básicas. Se establecen diversas clasificaciones pa- ra este tipo de grupos, junto con herramientas útiles para la representación geométrica de un grupo, como los grafos de Cayley y Schreier. Posteriormente, se introducen los concep- tos fundamentales de dinámica simbólica para grupos de carácter general, necesarios para introducir la subdinámica proyectiva y el contexto en que ésta es natural. En el segundo capítulo se define formalmente la noción de subdinámica proyectiva y se expone la idea fundamental de la construcción realizada por Pavlov y Schraudner en [12]. Posteriormente, se realiza un estudio preliminar de los subshifts definidos sobre la clase de grupos de la forma Z × F, con |F| < ∞, que en particular comprende a todos los grupos virtualmente-Z abelianos, obteniéndose versiones análogas de algunos resultados de [12] en el contexto actual. Se demuestra que todos los Z-subshifts obtenidos como subdinámica proyectiva de un SFT sobre alguno de estos grupos son subshifts sóficos; asimismo, se muestra también que es posible realizar cualquier Z-sófico de entropía positiva como subdinámica proyectiva de un (Z × F)-SFT. Finalmente, se introducen condiciones necesarias para la realización de Z-sóficos de entropía nula. El tercer capítulo concierne la relación entre entropía de un subshift y de su subdinámica proyectiva, para el caso de grupos de la forma Z×F. El resultado principal consiste en mostrar que, si la subdinámica proyectiva es un Z-subshift irreducible y se alcanza la igualdad entre ambas entropías, la subdinámica es un SFT. Se introducen herramientas de teoría de grafos y un estudio de propiedades de mezcla que son necesarios para demostrar este resultado bajo las hipótesis expuestas. El capítulo final busca extender los argumentos empleados previamente para obtener teoremas de soficidad y realización en el caso más general. Se demuestra que la subdinámica proyectiva de cualquier SFT sobre un grupo virtualmente-Z es un Z-sófico; también se muestra un resultado de realización para una gran clase de grupos virtualmente-Z. Se concluye esbozando argumentos para generalizar los resultados obtenidos en los capítulos previos. En la parte final del capítulo 4 y en las conclusiones se exploran posibles avenidas para un trabajo futuro que esclarezca la relación entre un subshift y su subdinámica proyectiva en el caso virtualmente-Z.

En esta Tesis se aborda la estimación óptima de señales caóticas generadas por mapas unidimensionales y contaminadas por ruido aditivo blanco Gaussiano, desde el punto de vista de los dos marcos de inferencia estadística más extendidos: máxima verosimilitud (ML) y Bayesiano. Debido al elevado coste computacional de estos estimadores, se proponen asimismo diversos estimadores subóptimos, aunque computacionalmente eficientes, con un rendimiento similar al de los óptimos. Adicionalmente se analiza el problema de la estimación de los parámetros de un mapa caótico explotando la relación conocida entre muestras consecutivas de la secuencia caótica. Por último, se considera la aplicación de los estimadores anteriores al diseño de receptores para dos esquemas de comunicaciones caóticas diferentes: conmutación caótica y codificación simbólica o caótica. / This Thesis studies the optimal estimation of chaoticsignals generated iterating unidimensional maps and contaminated by additive white Gaussian noise, from the point of view of the two most common frameworks in statistical inference: maximum likelihood (ML) and Bayesian. Due to the high computational cost of optimum estimators, several suboptimal but computationally efficient estimators are proposed, which attain a similar performance as the optimum ones. Additionally, the estimation of the parameters of a chaotic map is analyzed, exploiting the known relation between consecutive samples of the chaotic sequence. Finally, we consider the application of the estimators developed in the design of receivers for two different schemes of chaotic communications: chaotic switching and symbolic or chaotic coding.