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Soluções exatas para arranjos periódicos de bolhas na célula de hele-shawMárcio Pereira Silva, Antônio 31 January 2008 (has links)
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Previous issue date: 2008 / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Nesta dissertação apresentamos o cálculo de soluções exatas para o problema do movimento
de arranjos duplamente periódicos de bolhas em uma célula de Hele-Shaw, quando
os efeitos de tensão superficial são desprezados. As soluções obtidas descrevem um conjunto
de bolhas que se movem com velocidade constante na direção do eixo x. No referencial
que se move com as bolhas, os centróides das mesmas estão localizados ao longo
das arestas de um reticulado retangular com célula unitária de largura 2a e comprimento
2L, podendo haver um número arbitrário N de bolhas por célula unitária. As soluções
descritas neste trabalho representam a família mais geral de soluções estacionárias para
bolhas na célula de Hele-Shaw conhecida até o momento, sendo que todas as soluções exatas
obtidas anteriormente, para uma ou mais bolhas, são casos particulares da solução
geral apresentada aqui. Essa solução é obtida através do uso de transformações conformes,
calculando-se a transformação apropriada que mapeia o semi-plano superior do
plano complexo auxiliar ζ no domínio ocupado pelo fluido no plano físico (plano z), representando
a célula unitária. Em sua versão mais geral, as soluções são válidas para
uma célula de Hele-Shaw infinita, isto é, sem fronteiras, mas de particular interesse são
os casos especiais em que temos um conjunto periódico de bolhas movendo-se ao longo
de um canal. Nesse caso, obtém-se uma expressão analítica para a velocidade das bolhas
em função da fração de volume ocupada pelas mesmas
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Crescimento Laplaciano em duas dimensões: uma abordagem através da equação de LoewnerROA, Miguel Angel Duran 31 January 2010 (has links)
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Previous issue date: 2010 / Universidade Federal de Pernambuco / Padrões complexos são frequentemente observados em diferentes fenômenos físicos, tais como, o
movimento de uma interface entre dois fluidos não miscíveis, eletrodeposição, etc, onde a dinâmica da
interface é controlada pelo gradiente de uma função potencial, a qual satisfaz a equação de Laplace. Recentemente,
uma ferramenta importante da análise complexa, a equação de Loewner, tem sido utilizada
para estudar problemas de crescimento laplaciano em duas dimensões. Em poucas palavras, a equação
de Loewner é uma equação diferencial de primeira ordem para a evolução temporal da transformação
conforme que leva o domínio físico , onde se dá o crescimento, em um domínio matemático que
se asemelha ao domínio físico inicial (ou seja, aquele existente antes de começar o processo de crescimento).
Nesta tese, primeiramente apresentamos uma dedução alternativa da equação de Loewner
para dois casos considerados recentemente na literatura em que curvas simples crescem no semiplano
superior ou na geometria do canal. Nosso método de obtenção da equação de Loewner é baseado na
transformação de Schwarz-Christoffel entre os planos matemáticos em dois instantes de tempo infinitesimalmente
próximos. Em seguida, estendemos o formalismo da equação de Loewner para estudar uma
clase mais geral de problemas de crescimento, em que agora tem-se o avanço de uma interface envolvendo
uma região de área crescente. Em nosso modelo de crescimento, a interface possui certos pontos
especiais, chamados de cristas e vales, onde o fator de crescimento é um máximo e um mínimo local,
respectivamente. A regra de crescimento do modelo é definida em termos de certas curvas poligonais
que crescem no plano matemático. Para as duas geometrias de interesse, o semiplano superior e o canal,
deduzimos a correspondente equação de Loewner que governa a dinâmica da interface. Vários exemplos
de evolução temporal de interfaces são discutidos, tanto no caso em que se tem uma única interface,
seja com uma ou várias cristas, quanto no caso de múltiplas interfaces crescendo simultaneamente. Em
particular, o conhecido efeito de blindagem, onde uma das crista avança bem mais que as outras, é normalmente
observado para o caso de interfaces não simétricas. Uma breve comparação qualitativa é feita
entre nossos resultados e alguns padrões observados em experimento
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Estudos sobre o modelo O(N) na rede quadrada e dinâmica de bolhas na célula de Hele-ShawSILVA, Antônio Márcio Pereira 26 August 2013 (has links)
Submitted by Fabio Sobreira Campos da Costa (fabio.sobreira@ufpe.br) on 2016-06-29T13:52:59Z
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Previous issue date: 2013-08-26 / CNPq / No presente trabalho duas classes de problemas são abordadas. Primeiramente, são apresentados
estudos computacionais sobre o modelo O(n) de spins na rede quadrada, e em seguida
apresentamos novas soluções exatas para a dinâmica de bolhas na célula de Hele-Shaw. O estudo
do modelo O(n) é feito utilizando sua representação em laços (cadeias fechadas), a qual
é obtida a partir de uma expansão para altas temperaturas. Nesse representação, a função de
partição do modelo possui uma expansão diagramática em que cada termo depende do número
e comprimento total de laços e do número de (auto)interseções entre esses laços. Propriedades
críticas do modelo de laços O(n) são obtidas através de conceitos oriundos da teoria de percolação.
Para executar as simulações Monte Carlo, usamos o eficiente algoritmo WORM, o qual
realiza atualizações locais através do movimento da extremidade de uma cadeia aberta denominada
de verme e não sofre com o problema de "critical slowing down". Para implementar
esse algoritmo de forma eficiente para o modelo O(n) na rede quadrada, fazemos uso de um
nova estrutura de dados conhecida como listas satélites. Apresentamos estimativas para o ponto
crítico do modelo para vários valores de n no intervalo de 0 < n ≤ 2. Usamos as estatísticas de
laços e vermes para extrair, respectivamente, os expoentes críticos térmicos e magnéticos do
modelo. No estudo de dinâmica de interfaces, apresentamos uma solução exata bastante geral
para um arranjo periódico de bolhas movendo-se com velocidade constante ao longo de uma
célula de Hele-Shaw. Usando a periodicidade da solução, o domínio relevante do problema
pode ser reduzido a uma célula unitária que contém uma única bolha. Nenhuma imposição de
simetria sobre forma da bolha é feita, de modo que a solução é capaz de produzir bolhas completamente
assimétricas. Nossa solução é obtida por métodos de transformações conformes
entre domínios duplamente conexos, onde utilizamos a transformação de Schwarz-Christoffel
generalizada para essa classe de domínios. / In this thesis two classes of problems are discussed. First, we present computational studies of
the O(n) spin model on the square lattice and determine its critical properties, whereas in the
second part of the thesis we present new exact solutions for bubble dynamics in a Hele-Shaw
cell. The O(n) model is investigated by using its loop representation which is obtained from a
high-temperature expansion of the original model. In this representation, the partition function
admits an diagrammatic expansion in which each term depends on the number and total length
of loops (closed graphs) as well as on the number of intersections between these loops. Critical
properties of the O(n) model are obtained by employing concepts from percolation theory. To
perform Monte Carlo simulations of the model, we use the WORM algorithm, which is an
efficient algorithm that performs local updates through the motion of one of the ends (called
head) of an open chain (called worm) and hence does not suffer from “critical slowing down”.
To implement this algorithm efficiently for the O(n) model on the square lattice, we make
use of a new data structure known as a satellite list. We present estimates for the critical
point of the model for various values of n in the range 0 < n ≤ 2. We use the statistics about
the loops and the worm to extract the thermal and magnetic critical exponents of the model,
respectively. In our study about interface dynamics, we present a rather general exact solution
for a periodic array of bubbles moving with constant velocity in a Hele-Shaw cell. Using the
periodicity of the solution, the relevant domain of the problem can be reduced to a unit cell
containing a single bubble. No symmetry requirement is imposed on the bubble shape, so
that the solution is capable of generating completely asymmetrical bubbles. Our solution is
obtained by using conformal mappings between doubly-connected domains and employing the
generalized Schwarz-Christoffel formula for this class of domains.
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