Cette thèse s'occupe de différents problèmes de géométrie stochastiques, inspirés plus particulièrement de la géométrie convexe. On s'occupe tout d'abord des points extrêmaux du graphe de certains processus Markoviens. Dans un second chapitre, on s'intéresse au réarrangement convexe de certains champs aléatoires Gaussiens centrés. Le chapitre trois est consacré à l'ergodicité des mosaïques aléatoire de type STIT. On s'intéresse enfin à l'épluchage d'un processus ponctuel, avec une généralisation de la notion d'enveloppe convexe à celle d'enveloppe L-convexe, ou L est une famille de fermés arbitraire. / This thesis is concerned with various problems of stochastic geometry, more particularly inspired from convex geometry. The first chapter is devoted to the study of extreme points of the graph of some Markov processes. Then we are interestd in the convex rearrangement of centered Gaussian fields. In the third chapter we study the ergodicity of STIT tessellations, a particular class of random mosaics in R^d. Finally, we the study the peeling of a Point process, with the generalisation of the notion of convex hull to that of L-enveloppe, with L an arbitrary class of closed sets.

L'objet de cette thèse est l'étude de problèmes faisant intervenir les extrema du mouvement brownien en dimension 1 et 2. En dimension 1, y sont obtenues, en particulier, les distributions jointes du maximum et du temps d'atteinte de ce maximum pour n mouvements browniens indépendants sur un intervalle de temps fixé. En dimension 2, à l'aide des résultats en dimension 1, sont obtenues les valeurs moyennes du périmètre et de l'aire de l'enveloppe convexe de n chemins browniens indépendants, ouverts ou fermés. Quelques applications de ces résultats théoriques sont également présentées.

La géométrie algorithmique a pour but de concevoir et d'analyser des algorithmes pour résoudre des problèmes géométriques. C'est un domaine récent de l'informatique théorique, qui s'est très rapidement développé depuis son apparition dans la thèse de M. I. Shamos en 1978. La randomisation permet d'éviter le recours à des structures compliquées, et s'avère très efficace, tant du point de vue de la complexité théorique, que des résultats pratiques. Nous nous sommes intéressés plus particulièrement à la conception d'algorithmes dynamiques : en pratique, il est fréquent que l'acquisition des données d'un problème soit progressive. Il n'est évidemment pas question de recalculer le résultat à chaque nouvelle donnée, d'où la nécéssité d'utiliser des schémas (semi-)dynamiques. Nous introduisons une structure très générale, le graphe d'influence, qui permet de construire de nombreuses structures géométriques : diagrammes de Voronoï, arrangements de segments... Nous étudions les algorithmes, à la fois du point de vue de la complexité théorique, de leur mise en oeuvre pratique et de l'efficacité des programmes.

The minimally invasive approach of arthroscopy means less pain and faster recovery time for patients compared to open surgery. However, it implies a high difficulty of performance. Therefore, surgeon should remain at a high level of technical and professional expertise to perform such operations. Surgeon’s skills are being developed over years of surgical training on animals, cadavers and patients. Nowadays, cadavers and animal specimens present an ethical problem also the practice on real humans is usually risky. For surgeons to reach a high level, new and alternative ways of performing surgical training are required. Virtual reality technology has opened new realms in the practice of medicine. Today, virtual reality simulators have become one of the most important training methods in the medical field. These simulators allow medical students to examine and study organs or any structure of the human body in ways that were not possible few years earlier. Similarly, the surgeon as well as the medical student can gain a valuable experience by performing a particular surgery with an anatomical accuracy and realism as it is actually performed in the real world. Thus, they can practice on virtual operation before they proceed and operate on real patients. In this thesis, a virtual reality training simulator for wrist arthroscopy is introduced. Two main issues are addressed: the 3-D reconstruction process and the 3-D interaction. Based on a sequence of CT images a realistic representation of the wrist joint is obtained suitable for the computer simulation. Two main components of the computer-based system interface are illustrated: the 3-D interaction to guide the surgical instruments and the user interface for haptic feedback. In this context, algorithms that model objects using the convex hull approaches and simulate real time exact collision detection between virtual objects are presented. A force feedback device, coupled with a haptic algorithm, is used as a haptic interface with the computer simulation system. This leads in the development of a low cost system with the same benefits as professional devices. In this regard, the wrist arthroscopy can be simulated and medical students can learn the basic skills required with safety, flexibility and less cost / La chirurgie arthroscopique présente actuellement un essor très important pour le bénéfice du plus grand nombre des patients. Cependant, cette technique possède un certain nombre d’inconvénients et il est donc nécessaire pour le médecin de s’entrainer et répéter ses gestes afin de pouvoir exécuter ce type d’opération d’une façon efficace et certaine. En effet, les méthodes traditionnelles d’enseignement de la chirurgie sont basées sur l’autopsie des cadavres et l’entrainement sur des animaux. Avec l’évolution de notre société, ces deux pratiques deviennent de plus en plus critiquées et font l’objet de réglementations très restrictives. Afin d’atteindre un niveau plus élevé, de nouveaux moyens d’apprentissage sont nécessaires pour les chirurgiens. Récemment, la réalité virtuelle commence d’être de plus en plus utilisée dans la médecine et surtout la chirurgie. Les simulateurs chirurgicaux sont devenus une des matières les plus récentes dans la recherche de la réalité virtuelle. Ils sont également devenus une méthode de formation et un outil d’entrainement valable pour les chirurgiens aussi bien que les étudiants en médecine. Dans ce travail, un simulateur de réalité virtuelle pour l’enseignement de la chirurgie arthroscopique, surtout la chirurgie du poignet, a été préesenté. Deux questions principales sont abordées : la reconstruction et l’interaction 3-D. Une séquence d’images CT a été traitée afin de générer un modèle 3-D du poignet. Les deux principales composantes de l’interface du système sont illustrées : l’interaction 3-D pour guider les instruments chirurgicaux et l’interface de l’utilisateur pour le retour d’effort. Dans ce contexte, les algorithmes qui modélisent les objets en utilisant les approches de “Convex Hull” et qui simulent la détection de collision entre les objets virtuels en temps réel, sont présentés. En outre, un dispositif de retour d’effort est utilisé comme une interface haptique avec le système. Cela conduit au développement d’un système à faible coût, avec les mêmes avantages que les appareils professionnels. A cet égard, l’arthroscopie du poignet peut être simulée et les étudiants en médecine peuvent facilement utiliser le système et peuvent apprendre les compétences de base requises en sécurité, flexibilité et moindre coût