Nous considérons le problème de concevoir des représentations compactes ou succinctes de structures de données géométriques. Dans ce cadre, en plus des questions de simple compression, l'attention est portée sur l'étude de structures de données nécessitant une petite quantité de ressources mémoire et permettant de répondre à des requêtes locales en temps O(1). L'une des contributions de cette thèse consiste à proposer un cadre algorithmique général pour la conception de représentations compactes de structures telles que les graphes planaires et les maillages surfaciques. Comme application nous présentons différentes structures spécialement conçues pour représenter de manière compacte la connectivité (ou information combinatoire) de certaines classes de graphes localement planaires. Pour le cas des triangulations planaires à m faces, nous proposons une représentation compacte de l'information combinatoire nécessitant asymptotiquement 2:175 bits par triangle pour le coût en espace et qui permet la navigation entre triangles adjacents, ainsi que d'autres requêtes locales d'incidence entre sommets, en temps constant : cette structure est ainsi optimale pour la classe des triangulations ayant un bord de taille arbitraire. Une telle représentation reste valide et optimale dans le cas de triangulations d'une surface de genre g borné : O(g lgm) bits supplémentaires sont alors nécessaires. Cette représentation est bien adaptée pour faire une mise à jour locale efficace de la triangulation. Plus précisément, il est possible d'effectuer des mises à jour en temps O(1) amorti après insertion de sommets, et en temps O(log2m) amorti après suppression de sommets et flip d'arêtes. Et en ce qui concerne les triangulations et les graphes planaires 3-connexes, correspondant aux maillages triangulaires et polygonaux homéomorphes à une sphère, nous proposons les premières représentations succinctes optimales : elles atteignent l'entropie respective des deux classes, 2 bits par arête pour les graphes 3-connexes, et 1:62 bits par triangle (ou 3:24 bits par sommet) pour les triangulations. Ces structures permettent aussi l'accès en temps O(1) aux informations associées aux sommets, notamment leurs coordonnées. Cependant nous ne traitons pas ici la compression de cette information géométrique.

La géométrie algorithmique a pour but de concevoir et d'analyser des algorithmes pour résoudre des problèmes géométriques. C'est un domaine récent de l'informatique théorique, qui s'est très rapidement développé depuis son apparition dans la thèse de M. I. Shamos en 1978. La randomisation permet d'éviter le recours à des structures compliquées, et s'avère très efficace, tant du point de vue de la complexité théorique, que des résultats pratiques. Nous nous sommes intéressés plus particulièrement à la conception d'algorithmes dynamiques : en pratique, il est fréquent que l'acquisition des données d'un problème soit progressive. Il n'est évidemment pas question de recalculer le résultat à chaque nouvelle donnée, d'où la nécéssité d'utiliser des schémas (semi-)dynamiques. Nous introduisons une structure très générale, le graphe d'influence, qui permet de construire de nombreuses structures géométriques : diagrammes de Voronoï, arrangements de segments... Nous étudions les algorithmes, à la fois du point de vue de la complexité théorique, de leur mise en oeuvre pratique et de l'efficacité des programmes.