MOR (Model Order Reduction) est devenu un domaine très répondu dans la recherche grâce à l'intérêt qu'il peut apporter dans la réduction des systèmes, ce qui permet d'économiser du temps, de la mémoire et le coût de CPU pour les outils de CAO. Ce domaine contient principalement deux branches: linéaires et non linéaires. MOR linéaire est un domaine mature avec des techniques numériques bien établie et bien connus dans la domaine de la recherche, par contre le domaine non linéaire reste vague, et jusqu'à présent il n'a pas montré des bons résultats dans la simulation des circuits électriques. La recherche est toujours en cours dans ce domaine, en raison de l’intérêt qu'il peut fournir aux simulateurs contemporains, surtout avec la croissance des puces électroniques en termes de taille et de complexité, et les exigences industrielles vers l'intégration des systèmes sur la même puce.Une contribution significative, pour résoudre le problème de Harmonic Balance (Equilibrage Harmonique) en utilisant la technique MOR, a été proposé en 2002 par E. Gad et M. Nakhla. La technique a montré une réduction substantielle de la dimension du système, tout en préservant, en sortie, la précision de l'analyse en régime permanent. Cette méthode de MOR utilise la technique de projection par l'intermédiaire de Krylov, et il préserve la passivité du système. Cependant, il souffre de quelques limitations importantes dans la construction de la matrice “pre-conditioner“ qui permettrait de réduire le système. La limitation principale est la nécessité d'une factorisation explicite comme une suite numérique de l'équation des dispositifs non linéaires . cette limitation rend la technique difficile à appliquer dans les conditions générales d'un simulateur. Cette thèse examinera les aspects non linéaires du modèle de réduction pour les équations de bilan harmoniques, et il étudiera les solutions pour surmonter les limitations mentionnées ci-dessus, en particulier en utilisant des approches de dérivateur numériques. / MOR recently became a well-known research field, due to the interest that it shows in reducing the system, which saves time, memory, and CPU cost for CAD tools. This field contains two branches, linear and nonlinear MOR, the linear MOR is a mature domain with well-established theory and numerical techniques. Meanwhile, nonlinear MOR domain is still stammering, and so far it didn’t show good and successful results in electrical circuit simulation. Some improvements however started to pop-up recently, and research is still going on this field because of the help that it can give to the contemporary simulators, especially with the growth of the electronic chips in terms of size and complexity due to industrial demands towards integrating systems on the same chip. A significant contribution in the MOR technique of HB solution has been proposed a decade ago by E. Gad and M. Nakhla. The technique has shown to provide a substantial system dimension reduction while preserving the precision of the output in steady state analysis. This MOR method uses the technique of projection via Krylov, and it preserves the passivity of the system. However, it suffers a number of important limitations in the construction of the pre-conditioner matrix which is ought to reduce the system. The main limitation is the necessity for explicit factorization as a power series of the equation of the nonlinear devices. This makes the technique difficult to apply in general purpose simulator conditions. This thesis will review the aspects of the nonlinear model order reduction technique for harmonic balance equations, and it will study solutions to overcome the above mentioned limitations, in particular using numerical differentiation approaches.

L'étude par continuation des solutions périodiques et quasi-périodiques est appliquée à plusieurs modèles issus du violon. La continuation pour un modèle à un degré de liberté avec friction régularisée permet de montrer la préservation, par rapport à la friction de Coulomb, des bifurcations de cycle limite (une vitesse maximale et une force minimale permettant le mouvement de Helmholtz) et de propriétés globales de la branche de solution (croissance de l'amplitude avec la vitesse, décroissance de la fréquence avec la force normale). L'équilibrage harmonique est évalué sur la friction régularisée et a des propriétés de convergence intéressantes (erreur faible, monotone, à décroissance rapide). La continuation sur un modèle à deux modes donne accès aux solutions de registres supérieurs, dont la stabilité coïncide avec l'expérience. La valeur retenue pour l'inharmonicité peut modifier fortement le diagramme de bifurcation. Une nouvelle méthode de continuation des solutions quasi-périodiques est proposée. Elle associe l'EH étendu à deux pulsations avec la Méthode Asymptotique Numérique. Une attention particulière est portée à la rapidité des calculs, face à la croissance rapide de la taille des systèmes à inverser. Un modèle de friction prenant en compte la température au point de contact est reformulé à l'aide d'une dérivée fractionnaire. Nous proposons une méthode de continuation de solutions périodiques de systèmes contenant des dérivées ou intégrales fractionnaires. Nous établissons une condition suffisante pour que les cycles asymptotiques du cadre causal (Caputo) soient solutions du cadre que nous avons choisi. / The continuation of periodic and quasi-periodic solutions is performed on several models derived from the violin. The continuation for a one degree-of-freedom model with a regularized friction shows, compared with Coulomb friction, the persistence of limit cycle bifurcations (a maximum bow speed and a minimum normal force allowing Helmholtz motion) and of global properties of the solution branch (increase of amplitude with respect to the bow speed, decrease of frequency with respect to the normal force). The Harmonic Balance Method is assessed on this regularized friction system and shows interesting convergence properties (the error is low, monotone and rapidly decreasing). For two modes the continuation shows higher register solutions with a plausible stability. A stronger inharmonicity can greatly modify the bifurcation diagram. A new method is proposed for the continuation of quasi-periodic solutions. It couples a two-pulsations HBM with the Asymptotic Numerical Method. We have taken great care to deal efficiently with large systems of unknowns. A model of friction that takes into account temperature of the contact zone is reformulated with a fractional derivative. We then propose a method of continuation of periodic solutions for differential systems that contain fractional operators. Their definition is usually restricted to causal solutions, which prevents the existence of periodic solutions. Having chosen a specific definition of fractional operators to avoid this issue we establish a sufficient condition on asymptotically attractive cycles in the causal framework to be solutions of our framework.

La taille, la complexité et les performances des circuits électroniques de télécommunication sont de plus en plus contraignantes tandis que le temps et le coût de commercialisation doivent être réduits au maximum. Voulant répondre au vide existant sur le marché de la CAO dans ce domaine, ce travail est consacré à la simulation mixte de systèmes de communication complets parcourus par des signaux numériques, des signaux analogiques basse-fréquence, des signaux quasi-périodiques et des signaux RF à modulation digitale complexe. Le premier chapitre du manuscrit présente les différents types de circuits et de signaux que l'on veut simuler. La deuxième partie décrit d'abord les principales méthodes de simulation RF existantes. On développe ensuite les innovations apportées à la méthode de l'Equilibrage Harmonique, basée sur une utilisation efficace du spectre, et enfin celles apportées à l'algorithme de l'Enveloppe. Le troisième chapitre propose une nouvelle méthodologie pour simuler des circuits complets RF/Analogiques/Numériques dans le cadre de l'algorithme de l'Enveloppe : couplage avec un simulateur numérique, prise en compte de modèles comportementaux et partition analogique/RF des circuits. Enfin, la dernière partie illustre les potentialités de cette nouvelle technique d'analyse sur quelques circuits typiques. Pour la première fois, des systèmes complexes mixtes, décrits aux niveaux logique, transistor et comportemental, peuvent être simulés dans un seul flot et dans des temps raisonnables.

En industrie automobile la créativité et l'innovation technologique sont les principaux atouts de développement et croissance économique. Le potentiel des constructeurs à innover et à rester compétitive font que la concurrence soit intense et durable. Ces évolutions technologiques des moyens de conception ont permit l'émergence de solutions orientées vers un perfectionnement continu du confort et de la sécurité active. Concevoir de tels systèmes requière une bonne connaissance du comportement du véhicule. Ceci peut être fait par une modélisation rigoureuse des différents organes afin de constituer un modèle dont la représentativité soit la plus proche possible du véhicule réel. A ce jour, il existe une multitude de modèles analytiques généralement issus d'une linéarisation individuelle du comportement de chaque composante du véhicule (surtout au niveau le comportement du pneumatique) autour d'une gamme d'excitation définie, comme le modèle bicyclette linéaire ou le modèle linéaire 4 roues. La maniabilité et la simplicité des méthodes d'analyses linéaires font que ces modèles soient largement utilisés dans l'industrie automobile pour l'analyse des réponses du véhicule. Cependant, ces modèles linéarisés sont très limités en termes de domaine de validité. En effet, pour les grandes sollicitations, le véhicule est généralement soumis à de fortes accélérations latérales (supérieurs à ) qui provoquent un fonctionnement non linéaire saturé des pneumatiques. Dans ce cas les modèles non linéaires deviennent obsolètes et ne permettent pas de prédire correctement les réponses d'un véhicule. Afin d'obtenir des modèles représentative dans le domaine non linéaire, l'approche principale est de considérer la totalité du modèle de pneumatique dans le modèle du véhicule à savoir la formule de Pacejka. De cette procédure résulte un modèle non linéaire complexe dont la résolution analytique pour extraire les caractéristiques des réponses est quasi-impossible. Dans ce cas la résolution numérique reste préférable. Afin d'éviter l'utilisation de la formule de Pacejka nous proposons d'utiliser un modèle bicyclette non linéaire basé sur une approximation polynomiale. L'idée principale est l'utilisation de méthodes non linéaires avancées dans le but d'obtenir les caractéristiques statiques et dynamiques des réponses du véhicule. Notre travail est orienté principalement dans l'analyse des non linéarités causées par de forts glissements latéraux des pneumatiques. Trois méthodes ont été retenues : La première est la méthode des séries des séries de Volterra et qui permet d'étudier l'impact des non linéarités sur les réponses d'un système dans le domaine temporel et fréquentiel. La deuxième méthode est l'équilibrage harmonique qui permet de déterminer analytiquement les fonctions réponses fréquentielles et des paramètres modaux non linéaires et leurs dépendances à l'amplitude d'excitation. La dernière technique est la méthode de Krylov-Bogoliubov qui permet l'analyse des réponses transitoire harmonique du véhicule pour excitations sinusoïdales. A l'issu de notre travail de recherche, nous avons réussi à répondre aux besoins de la problématique et nous avons abouti à des résultats innovants et très concluants concernant la dynamique non linéaire du véhicule. Ces résultats n'ont jamais été obtenus auparavant et ont donné lieu à deux publications internationales. Une première publication dans le journal de la dynamique de véhicule et une deuxième publication au congrès international de la dynamique de véhicule de la SIA (Société des Ingénieurs de l'Automobiles) à Lyon.