O primeiro objetivo deste trabalho é um estudo dos invariantes necessários para determinar condições de Whitney equisingularidade ou trivialidade topollógica para germes de aplicações f : (\'C POT.n+3\' ,0) \'SETA\' (\'C POT.3\',0). São obtidas relações entre os invariantes sem considerar a hipótese de que o germe tenha co-posto 1 e o desdobramento ser excelente, generalizando os resultados obtidos por Jorge Pèrez para germes f : (\'C POT.3\' ,0) \' SETA\' !(\'C POT.3\' ,0) de co-posto 1. Outro problema interessante em teoria de singularidades é encontrar fórmulas para calcular invariantes 0-estáveis que podem surgir no discriminante de uma deformaçãao estável de um germe finitamente determinado. Neste contexto são desenvolvidos métodos de contagem dos invariantes 0-estáveis a partir dos ideais de Fitting associados ao conjunto discriminante de f . Por último, implementamos um algoritmo no software Maple, para determinar a matriz de uma apresentação do \'O IND.m\' módulo finitamente gerado \'O IND.SIGMA( f ). Desta matriz, podemos obter os ideais de definição de todos os conjuntos de pontos múltiplos de f . Além disto apresentamos uma aplicação deste algoritmo no cálculo do número de pontos múltiplos em germes finitamente determinados de \'C POT.2\' em \'C POT.2\' / In the first of this work we study the necessary invariants to give conditions for the Whitney equissingularity or the topological triviality in families of map germs f : (\'C POT. n+3\', 0) \'ARROW\' (\'C POT.3\' ,0). We obtain relations between these invariants without the hypothesis of the germ to be of co-rank 1 and the unfolding to be excelent. We generalize the results given by Jorge Perez in the case co-rank one map germs f : (\'C POIT.3\', 0)!(\'C POT.3\' ,0). Other interesting problem in Singularity Theory is to find formulae which allow us to count the 0-stable singularities which appear in the discriminant of a stable deformation of a finitely determibed germ. In this context are developed methods of calculation of invariant 0-stable from the ideals of fitting associated with the discriminant set of f . Last, but not least we implement an algorithm using Maple to obtain the representation matrix of the finitely generated \'O IND.m\' module \'O IND. SIGMA\'( f ). From this matrix we obtain all Fitting ideals related with the multiple points. Moreover we show how to apply this algorithm to obtain the multiple points of finitely determined map germs f : (\'C POT.2\' ,0) \'ARROW\' (\'C POT.2\', 0)

O primeiro objetivo deste trabalho é um estudo dos invariantes necessários para determinar condições de Whitney equisingularidade ou trivialidade topollógica para germes de aplicações f : (\'C POT.n+3\' ,0) \'SETA\' (\'C POT.3\',0). São obtidas relações entre os invariantes sem considerar a hipótese de que o germe tenha co-posto 1 e o desdobramento ser excelente, generalizando os resultados obtidos por Jorge Pèrez para germes f : (\'C POT.3\' ,0) \' SETA\' !(\'C POT.3\' ,0) de co-posto 1. Outro problema interessante em teoria de singularidades é encontrar fórmulas para calcular invariantes 0-estáveis que podem surgir no discriminante de uma deformaçãao estável de um germe finitamente determinado. Neste contexto são desenvolvidos métodos de contagem dos invariantes 0-estáveis a partir dos ideais de Fitting associados ao conjunto discriminante de f . Por último, implementamos um algoritmo no software Maple, para determinar a matriz de uma apresentação do \'O IND.m\' módulo finitamente gerado \'O IND.SIGMA( f ). Desta matriz, podemos obter os ideais de definição de todos os conjuntos de pontos múltiplos de f . Além disto apresentamos uma aplicação deste algoritmo no cálculo do número de pontos múltiplos em germes finitamente determinados de \'C POT.2\' em \'C POT.2\' / In the first of this work we study the necessary invariants to give conditions for the Whitney equissingularity or the topological triviality in families of map germs f : (\'C POT. n+3\', 0) \'ARROW\' (\'C POT.3\' ,0). We obtain relations between these invariants without the hypothesis of the germ to be of co-rank 1 and the unfolding to be excelent. We generalize the results given by Jorge Perez in the case co-rank one map germs f : (\'C POIT.3\', 0)!(\'C POT.3\' ,0). Other interesting problem in Singularity Theory is to find formulae which allow us to count the 0-stable singularities which appear in the discriminant of a stable deformation of a finitely determibed germ. In this context are developed methods of calculation of invariant 0-stable from the ideals of fitting associated with the discriminant set of f . Last, but not least we implement an algorithm using Maple to obtain the representation matrix of the finitely generated \'O IND.m\' module \'O IND. SIGMA\'( f ). From this matrix we obtain all Fitting ideals related with the multiple points. Moreover we show how to apply this algorithm to obtain the multiple points of finitely determined map germs f : (\'C POT.2\' ,0) \'ARROW\' (\'C POT.2\', 0)

Neste trabalho, estudamos famílias de curvas genericamente reduzidas. Estendemos para o caso genericamente reduzido alguns resultados conhecidos para famílias de curvas reduzidas como a equivalência entre a Whitney equisingularidade e a resolução simultânea forte da família e a equivalência entre a Whitney equisingularidade e a constância do número de Milnor e da multiplicidade de cada curva Xt da família. Estudamos também a equisingularidade topológica e a Whitney equisingularidade de famílias de superfícies em C3 parametrizadas por germes de aplicações A-finitamente determinados. Em ([51]), Ruas apresentou uma conjectura cujo enunciado diz que se f : (C2, 0) r→ (C3, 0) é um germe de aplicação finitamente determinado, então um desdobramento F a 1-parâmetro de f é topologicamente trivial se, e somente se F é Whitney equisingular se, e somente se o número de Milnor μ(D(ft)) de D(ft) é constante, onde D(ft) é a curva de pontos duplos de ft. Apresentamos contra-exemplos que mostram como esta conjectura pode falhar. Mostramos também uma classe de famílias de germes aplicações ft : (C2, 0) → (C3, 0) em que a conjectura é verdadeira. No caso em que f é homogênea e de coposto 1, mostramos também algumas fórmulas para a multiplicidade da imagem da curva de pontos duplos f(D(f)), o número de Milnor da seção transversal μ1(f(C2)) e o invariante J(f) em termos dos graus de f. Em [44], Nuño-Ballesteros e Jorge Pérez apresentam alguns resultados sobre germes de aplicações f : (Cn, 0) → (C2n-1, 0) com n ≥ 3. Quando f é finitamente determinado, a curva dos pontos duplos D(f) de f tem uma estrutura de curva genericamente reduzida. Apresentamos uma outra forma de abordar alguns problemas descritos em [44] usando resultados sobre curvas genericamente reduzidas. / In this work, we study families of generically reduced curves. We extend to the generically reduced case some results known for families of reduced curves as the equivalence between Whitney equisingularity and strong simultaneous resolution of the family and the equivalence between Whitney equisingularity and the constancy of the Milnor number and the multiplicity of each curve Xt of the family. We also study the topological triviality and the Whitney equisingularity of families of surfaces in C3 parametrized by A-finitely determined map germs. In [51], Ruas presented a conjecture whose statement says that if f : (C2, 0) → (C3, 0) is a finitely determined map germ, then an 1-parameter unfolding F = (ft, t) of f is topological trivial if and only if it is Whitney equisingular if and only if the Milnor number μ(D(ft)) is constant, where D(ft) is the double point curve of ft. We present counter-examples that show how the conjecture can fail. We also show a class of families of map germs ft : (C2, 0) → (C3, 0) in which the conjecture is true. We also give formulas for the multiplicity of the image of the double point curve f(D(f)), the Milnor number of the transversal generic section μ 1f(C2)) and the invariant J(f) in terms of degrees of f in the case in which f is homogeneous and has corank 1. In [44], Nuño-Ballesteros and Jorge Pérez give some results in the case of families of map germs f : (Cn, 0) → (C2n-1, 0) with n ≥ 3. When f is finitely determined, the double point. curve D(f) of f is a generically reduced curve. We present another way of approaching some problems in [44] using results on generically reduced curves.

Neste trabalho, estudamos famílias de curvas genericamente reduzidas. Estendemos para o caso genericamente reduzido alguns resultados conhecidos para famílias de curvas reduzidas como a equivalência entre a Whitney equisingularidade e a resolução simultânea forte da família e a equivalência entre a Whitney equisingularidade e a constância do número de Milnor e da multiplicidade de cada curva Xt da família. Estudamos também a equisingularidade topológica e a Whitney equisingularidade de famílias de superfícies em C3 parametrizadas por germes de aplicações A-finitamente determinados. Em ([51]), Ruas apresentou uma conjectura cujo enunciado diz que se f : (C2, 0) r→ (C3, 0) é um germe de aplicação finitamente determinado, então um desdobramento F a 1-parâmetro de f é topologicamente trivial se, e somente se F é Whitney equisingular se, e somente se o número de Milnor μ(D(ft)) de D(ft) é constante, onde D(ft) é a curva de pontos duplos de ft. Apresentamos contra-exemplos que mostram como esta conjectura pode falhar. Mostramos também uma classe de famílias de germes aplicações ft : (C2, 0) → (C3, 0) em que a conjectura é verdadeira. No caso em que f é homogênea e de coposto 1, mostramos também algumas fórmulas para a multiplicidade da imagem da curva de pontos duplos f(D(f)), o número de Milnor da seção transversal μ1(f(C2)) e o invariante J(f) em termos dos graus de f. Em [44], Nuño-Ballesteros e Jorge Pérez apresentam alguns resultados sobre germes de aplicações f : (Cn, 0) → (C2n-1, 0) com n ≥ 3. Quando f é finitamente determinado, a curva dos pontos duplos D(f) de f tem uma estrutura de curva genericamente reduzida. Apresentamos uma outra forma de abordar alguns problemas descritos em [44] usando resultados sobre curvas genericamente reduzidas. / In this work, we study families of generically reduced curves. We extend to the generically reduced case some results known for families of reduced curves as the equivalence between Whitney equisingularity and strong simultaneous resolution of the family and the equivalence between Whitney equisingularity and the constancy of the Milnor number and the multiplicity of each curve Xt of the family. We also study the topological triviality and the Whitney equisingularity of families of surfaces in C3 parametrized by A-finitely determined map germs. In [51], Ruas presented a conjecture whose statement says that if f : (C2, 0) → (C3, 0) is a finitely determined map germ, then an 1-parameter unfolding F = (ft, t) of f is topological trivial if and only if it is Whitney equisingular if and only if the Milnor number μ(D(ft)) is constant, where D(ft) is the double point curve of ft. We present counter-examples that show how the conjecture can fail. We also show a class of families of map germs ft : (C2, 0) → (C3, 0) in which the conjecture is true. We also give formulas for the multiplicity of the image of the double point curve f(D(f)), the Milnor number of the transversal generic section μ 1f(C2)) and the invariant J(f) in terms of degrees of f in the case in which f is homogeneous and has corank 1. In [44], Nuño-Ballesteros and Jorge Pérez give some results in the case of families of map germs f : (Cn, 0) → (C2n-1, 0) with n ≥ 3. When f is finitely determined, the double point. curve D(f) of f is a generically reduced curve. We present another way of approaching some problems in [44] using results on generically reduced curves.

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The study about bi-Lipschitz equisingularity has been a very important subject in Singularity Theory in last decades. Many different approach have cooperated for a better understanding about. One can see that the bi-Lipschitz geometry is able to detect large local changes in curvature more accurately than other kinds of equisingularity. The aim of this thesis is to investigate the bi-Lipschitz geometry in an algebraic viewpoint. We define some algebraic tools developing classical properties. From these tools, we obtain algebraic criterions for the bi-Lipschitz equisingularity of some families of analytic varieties. We present a categorical and homological viewpoints of these algebraic structure developed before. Finally, we approach algebraically the bi-Lipschitz equisingularity of a family of Essentially Isolated Determinantal Singularities. / O estudo da equisingularidade bi-Lipschitz tem sido amplamente investigado nas últimas décadas. Diversas abordagens têm contribuído para uma melhor compreensão a respeito. Observa-se que a geometria bi-Lipschitz é capaz de detectar grandes alterações locais de curvatura com maior precisão quando comparada a outros padrões de equisingularidade. O objetivo desta tese é investigar a geometria bi-Lipschitz do ponto de vista algébrico. Definimos algumas estruturas algébricas desenvolvendo algumas propriedades clássicas. A partir de tais estruturas obtemos critérios algébricos para a equisingularidade bi-Lipschitz de algumas classes de famílias de variedades analíticas. Apresentamos uma visão categórica e homológica dos elementos desenvol- vidos. Finalmente abordamos algebricamente a equisingularidade de famílias de Singularidades Determinantais Essencialmente Isoladas.

The study about bi-Lipschitz equisingularity has been a very important subject in Singularity Theory in last decades. Many different approach have cooperated for a better understanding about. One can see that the bi-Lipschitz geometry is able to detect large local changes in curvature more accurately than other kinds of equisingularity. The aim of this thesis is to investigate the bi-Lipschitz geometry in an algebraic viewpoint. We define some algebraic tools developing classical properties. From these tools, we obtain algebraic criterions for the bi-Lipschitz equisingularity of some families of analytic varieties. We present a categorical and homological viewpoints of these algebraic structure developed before. Finally, we approach algebraically the bi-Lipschitz equisingularity of a family of Essentially Isolated Determinantal Singularities. / O estudo da equisingularidade bi-Lipschitz tem sido amplamente investigado nas últimas décadas. Diversas abordagens têm contribuído para uma melhor compreensão a respeito. Observa-se que a geometria bi-Lipschitz é capaz de detectar grandes alterações locais de curvatura com maior precisão quando comparada a outros padrões de equisingularidade. O objetivo desta tese é investigar a geometria bi-Lipschitz do ponto de vista algébrico. Definimos algumas estruturas algébricas desenvolvendo algumas propriedades clássicas. A partir de tais estruturas obtemos critérios algébricos para a equisingularidade bi-Lipschitz de algumas classes de famílias de variedades analíticas. Apresentamos uma visão categórica e homológica dos elementos desenvol- vidos. Finalmente abordamos algebricamente a equisingularidade de famílias de Singularidades Determinantais Essencialmente Isoladas.