Neste trabalho,apresentamos um breve compêndio sobre o estudo topológico das fibras de Milnor. Abordamoso caso clássico, estudado por J. Milnor, e a generalização apresentada por Lê D. T. para o caso de germes de funções analíticas definidas em variedades singulares. Nestas duas situações, os resultados principais tratam de germes de funções com singularidades isoladas / In this work, we present a brief compendium about the topological study of J. Milnor fibers. We address the classic case, studied by Milnor, and the generalization presented by Lê D. T. for the case of germs of analytic functions defined on singular varieties. In both situations, the main results deal with germs of functions with isolated singularities

Neste trabalho,apresentamos um breve compêndio sobre o estudo topológico das fibras de Milnor. Abordamoso caso clássico, estudado por J. Milnor, e a generalização apresentada por Lê D. T. para o caso de germes de funções analíticas definidas em variedades singulares. Nestas duas situações, os resultados principais tratam de germes de funções com singularidades isoladas / In this work, we present a brief compendium about the topological study of J. Milnor fibers. We address the classic case, studied by Milnor, and the generalization presented by Lê D. T. for the case of germs of analytic functions defined on singular varieties. In both situations, the main results deal with germs of functions with isolated singularities

Neste trabalho, definimos a obstrução local de Euler de um espaço analítico complexo singular (X, \'x IND.0\'), denotada por Eu(X, \'x IND.0\'), e a obstrução local de Euler de uma função holomorfa f definida neste espaço, com uma singularidade isolada em \'x IND. 0\', denotada por \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); e apresentamos duas fórmulas para seus respectivos cálculos. Em seguida, através de uma abordagem geométrica, determinamos as relações entre \'Eu IND. f\' (X,\'x IND.0\') e algumas generalizações do número de Milnor para funções em espaços singulares / In this work we define the local Euler obstruction of a complex analytic singularity (X, \'x IND.0\'), denoted Eu(X, \'x IND.0\'), and the local Euler obstruction of a holomorphic function f defined on this space, with an isolated singularity at \'x IND. 0\', denoted \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); and we present two formulas for their respective calculations. Next, using a geometric approach, we determine the relations between \'Eu IND.f\' (X, \'x IND.0\') and several generalizations of the Milnor number for functions on singular spaces

Neste trabalho, estudamos a relação que existe entre o número de Milnor de um polinômio cômodo ou seja, a soma dos números de Milnor dos pontos singulares isolados deste polinômio, com seu número de Newton. Este número é sempre menor ou igual ao número de Newton e a igualdade entre os números é obtida sempre que o polinômio cômodo possui parte principal Newton não-degenerada no infinito / In this work, we study the relation between the Milnor number of a polynomial cômodo ie. the sum of Milnor numbers of isolated singular points of polynomial, with the Newton number. This number is always lower than or equal to the Newton number and equality between the numbers is obtained when the polynomial has non-degenerate newtonian principal part at the infinity

Neste trabalho, estudamos a relação que existe entre o número de Milnor de um polinômio cômodo ou seja, a soma dos números de Milnor dos pontos singulares isolados deste polinômio, com seu número de Newton. Este número é sempre menor ou igual ao número de Newton e a igualdade entre os números é obtida sempre que o polinômio cômodo possui parte principal Newton não-degenerada no infinito / In this work, we study the relation between the Milnor number of a polynomial cômodo ie. the sum of Milnor numbers of isolated singular points of polynomial, with the Newton number. This number is always lower than or equal to the Newton number and equality between the numbers is obtained when the polynomial has non-degenerate newtonian principal part at the infinity

Nos trabalhos iniciais sobre o nÃmero de Milnor, ele à definido como a dimensÃo do n-Ãsimo grupo de homologia de uma fibra de Milnor. Esse trabalho irà verificar algumas outras equivalÃncias, com o objetivo de mostrar que o nÃmero de Milnor pode ser escrito como a dimenÃÃo de um C-espaÃo vetorial que vem do quociente entre o anel de germes de funÃÃes holomorfas e de seu jacobiano. / In early work on the number of Milnor, it is defined as the dimension of the nth homology group of a Milnor fiber. This work will check some other equivalences, with the aim of showing that the number of Milnor can be written as the demension of a vector C-space that comes from the ratio of the germ ring of holomorphic functions and its Jacobian.

Neste trabalho, definimos a obstrução local de Euler de um espaço analítico complexo singular (X, \'x IND.0\'), denotada por Eu(X, \'x IND.0\'), e a obstrução local de Euler de uma função holomorfa f definida neste espaço, com uma singularidade isolada em \'x IND. 0\', denotada por \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); e apresentamos duas fórmulas para seus respectivos cálculos. Em seguida, através de uma abordagem geométrica, determinamos as relações entre \'Eu IND. f\' (X,\'x IND.0\') e algumas generalizações do número de Milnor para funções em espaços singulares / In this work we define the local Euler obstruction of a complex analytic singularity (X, \'x IND.0\'), denoted Eu(X, \'x IND.0\'), and the local Euler obstruction of a holomorphic function f defined on this space, with an isolated singularity at \'x IND. 0\', denoted \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); and we present two formulas for their respective calculations. Next, using a geometric approach, we determine the relations between \'Eu IND.f\' (X, \'x IND.0\') and several generalizations of the Milnor number for functions on singular spaces

Submitted by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-08-09T18:34:01Z No. of bitstreams: 1 TeseDAHA.pdf: 605987 bytes, checksum: 218da6f6f0b14c9296bc76440e616467 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-08-09T18:34:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseDAHA.pdf: 605987 bytes, checksum: 218da6f6f0b14c9296bc76440e616467 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-08-09T18:34:17Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseDAHA.pdf: 605987 bytes, checksum: 218da6f6f0b14c9296bc76440e616467 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-09T18:34:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseDAHA.pdf: 605987 bytes, checksum: 218da6f6f0b14c9296bc76440e616467 (MD5) Previous issue date: 2017-04-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this work, we show relations between invariants of map germs. First, we consider an analytic function germ f : (X, 0) —(C, 0) on an isolated determinantal singularity and we present a relation between the Euler obstruction of f and the determinantal Milnor number of f. In the particular case where (X, 0) is an isolated complete intersection singularity, we obtain a simple way to calculate the Euler obstruction of f as the difference between the dimension of two algebras. After, we work with map germs f : (X, 0) —— (C2, 0), where (X, 0) is a plane curve with isolated singularity. We introduce the image Milnor number to these map germs and we present a positive answer to the Mond’s conjecture in this context. The Mond’s conjecture proposes an inequality between two other invariants, the A^-codimension and the image Milnor number, in the case of map germs f : (Cn, 0) —(Cn+1, 0) when the dimensions (n,n + 1) is in Mather’s nice dimensions. The conjecture is true for n = 1, 2, and for the cases n > 3 is an open problem. / Neste trabalho, mostramos relações entre invariantes de germes de aplicações. Primeiro, consideramos um germe de funçao analítica f : (X, 0)^(C, 0) sobre uma singularidade determinantal isolada e apresentamos uma relaçao entre a obstrução de Euler de f e o número de Milnor determinantal de f. No caso particular em que (X, 0) e uma interseçao completa com singularidade isolada, obtemos um modo simples de calcular a obstrucao de Euler de f como a diferenca entre dimensães de duas algebras. Depois, trabalhamos com germes de aplicacoes f : (X, 0)^(C2, 0), onde (X, 0) e uma curva plana com singularidade isolada. Introduzimos o número de Milnor da imagem para estes germes de aplicacães e apresentamos uma resposta positiva para a conjectura de Mond neste contexto. A conjectura de Mond propoe uma desigualdade entre outros dois invariantes, a A^-codimensao e o numero de Milnor da imagem, para o caso de germes de aplicacoes f : (Cn, 0)^(Cn+1,0) quando as dimensoes (n,n + 1) estao nas boas dimensoes de Mather. A conjectura e verdadeira para n = 1, 2, e para os casos n > 3 e um problema em aberto.

Sejam f:(C^2,0) to (C^3,0) um germe de aplicação holomorfa de coposto 1 e f_t uma perturbação estável de f. Os pontos singulares de f_t são cross-caps, pontos duplos ou pontos triplos. O número de cross-caps e pontos triplos de f_t e o número de Milnor da curva de pontos duplos de f_t são invariantes do germe f. Neste trabalho estudamos fórmulas para obter estes invariantes e no caso dos germes quasi-homogêneos relacionamos estes invariantes com a A_e-codimensão de f. / Let f:(C^2,0) to (C^3,0) be a holomorphic map-germ with corank 1 and f_t a stable perturbation of f. The singular points of f_t are either cross-caps, double points or triple points. The number of cross-caps and the number of triple points of f_t and the Milnor number of the double points curve of f_t are invariants of the germs f. In this work we study formulas to get these invariants and in the case of quasi-homogeneous germs we relate these invariants with the A_e-codimension of f.

Submitted by Hellen Monção de Carvalho Santana (hellenmcarvalho@hotmail.com) on 2016-03-21T13:04:10Z No. of bitstreams: 1 Versão Final Dissertação (com dia).pdf: 33709454 bytes, checksum: b55274e623607677efb4f7d385bf4e3e (MD5) / Approved for entry into archive by Ana Paula Grisoto (grisotoana@reitoria.unesp.br) on 2016-03-22T17:36:33Z (GMT) No. of bitstreams: 1 santana_hmc_me_sjrp.pdf: 33709454 bytes, checksum: b55274e623607677efb4f7d385bf4e3e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-03-22T17:36:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 santana_hmc_me_sjrp.pdf: 33709454 bytes, checksum: b55274e623607677efb4f7d385bf4e3e (MD5) Previous issue date: 2016-03-07 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O objetivo deste trabalho é estudar curvas reduzidas. Associado a elas, Buchweitz e Greuel definem um número, chamado número de Milnor de curvas reduzidas, pois no caso de curvas planas este coincide com o número de Milnor definido por Milnor. Este número é obtido através de um importante objeto algébrico: o módulo dual de Grothendieck. Com o intuito de facilitar a obtenção deste número, mostraremos que ele está relacionado com outro número, chamado delta, mais fácil de ser calculado. Por fim, mostraremos que, de maneira análoga, Nuño-Ballesteros e Tomazella definem um número associado a germes de função finita definidos em curvas reduzidas. Este número está relacionado com o grau deste germe e com o número de Milnor da curva reduzida associada. / The aim of this work is to study reduced curves. Associate to them, Buchweitz and Greuel define a number, called Milnor number once that in the case of plane curves, this number coincides to the Milnor number defined by Milnor. This number is obtained through an important algebraic object: dual module of Grothendieck. In order to make it easier to obtain this number, we will prove that it is related to another number, called delta, easier to be computed. At last, we prove that, in the same way, Nuño-Ballesteros and Tomazella define a number associate to finite function germs defined over reduced curves. This number is related to the degree of this germ and to the Milnor number of the reduced curve associated to it.