SAMPAIO, Breno Rafael Pinheiro. Sobre o número de Milnor de germes de funções holomorfas. 2015. 53 f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2015. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2015-02-10T15:55:26Z No. of bitstreams: 1 2015_dis_brpsampaio.pdf: 9011044 bytes, checksum: 79ea4e2b63403426b3e68d3c52b699d8 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2015-02-10T15:58:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2015_dis_brpsampaio.pdf: 9011044 bytes, checksum: 79ea4e2b63403426b3e68d3c52b699d8 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-02-10T15:58:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2015_dis_brpsampaio.pdf: 9011044 bytes, checksum: 79ea4e2b63403426b3e68d3c52b699d8 (MD5) Previous issue date: 2015 / In early work on the number of Milnor, it is defined as the dimension of the nth homology group of a Milnor fiber. This work will check some other equivalences, with the aim of showing that the number of Milnor can be written as the demension of a vector C-space that comes from the ratio of the germ ring of holomorphic functions and its Jacobian. / Nos trabalhos iniciais sobre o número de Milnor, ele é definido como a dimensão do n-ésimo grupo de homologia de uma fibra de Milnor. Esse trabalho irá verificar algumas outras equivalências, com o objetivo de mostrar que o número de Milnor pode ser escrito como a dimenção de um C-espaço vetorial que vem do quociente entre o anel de germes de funções holomorfas e de seu jacobiano.

Neste trabalho,apresentamos um breve compêndio sobre o estudo topológico das fibras de Milnor. Abordamoso caso clássico, estudado por J. Milnor, e a generalização apresentada por Lê D. T. para o caso de germes de funções analíticas definidas em variedades singulares. Nestas duas situações, os resultados principais tratam de germes de funções com singularidades isoladas / In this work, we present a brief compendium about the topological study of J. Milnor fibers. We address the classic case, studied by Milnor, and the generalization presented by Lê D. T. for the case of germs of analytic functions defined on singular varieties. In both situations, the main results deal with germs of functions with isolated singularities

Neste trabalho,apresentamos um breve compêndio sobre o estudo topológico das fibras de Milnor. Abordamoso caso clássico, estudado por J. Milnor, e a generalização apresentada por Lê D. T. para o caso de germes de funções analíticas definidas em variedades singulares. Nestas duas situações, os resultados principais tratam de germes de funções com singularidades isoladas / In this work, we present a brief compendium about the topological study of J. Milnor fibers. We address the classic case, studied by Milnor, and the generalization presented by Lê D. T. for the case of germs of analytic functions defined on singular varieties. In both situations, the main results deal with germs of functions with isolated singularities

Neste trabalho, definimos a obstrução local de Euler de um espaço analítico complexo singular (X, \'x IND.0\'), denotada por Eu(X, \'x IND.0\'), e a obstrução local de Euler de uma função holomorfa f definida neste espaço, com uma singularidade isolada em \'x IND. 0\', denotada por \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); e apresentamos duas fórmulas para seus respectivos cálculos. Em seguida, através de uma abordagem geométrica, determinamos as relações entre \'Eu IND. f\' (X,\'x IND.0\') e algumas generalizações do número de Milnor para funções em espaços singulares / In this work we define the local Euler obstruction of a complex analytic singularity (X, \'x IND.0\'), denoted Eu(X, \'x IND.0\'), and the local Euler obstruction of a holomorphic function f defined on this space, with an isolated singularity at \'x IND. 0\', denoted \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); and we present two formulas for their respective calculations. Next, using a geometric approach, we determine the relations between \'Eu IND.f\' (X, \'x IND.0\') and several generalizations of the Milnor number for functions on singular spaces

Neste trabalho, estudamos a relação que existe entre o número de Milnor de um polinômio cômodo ou seja, a soma dos números de Milnor dos pontos singulares isolados deste polinômio, com seu número de Newton. Este número é sempre menor ou igual ao número de Newton e a igualdade entre os números é obtida sempre que o polinômio cômodo possui parte principal Newton não-degenerada no infinito / In this work, we study the relation between the Milnor number of a polynomial cômodo ie. the sum of Milnor numbers of isolated singular points of polynomial, with the Newton number. This number is always lower than or equal to the Newton number and equality between the numbers is obtained when the polynomial has non-degenerate newtonian principal part at the infinity

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 3945.pdf: 746734 bytes, checksum: 759f0299b121e175c4c8fc136f294b23 (MD5) Previous issue date: 2011-11-24 / Financiadora de Estudos e Projetos / Given (X; 0) C (CN; 0) a weighted homogeneous germ of hypersurface with isolated singularity and f : (CN; 0) - C a germ of function finitely determined with respect to X, we show that UBR(f;X) = U(f) + U(X; f), where U(f) and U(X; f) denote the Milnor numbers of f and of the fiber X \ f&#56256;&#56320;1(0), respectively, and UBR(f;X) is the Bruce-Roberts number of f with respect to X. We show that the logarithmic characteristic subvariety, LC(X), is Cohen-Macaulay and we get relations between the Bruce-Roberts number and the Euler obstruction. Given F : (CN; 0) ! Mm;n(C) a holomorphic function germ, let (X; 0) be the isolated determinantal singularity given by X = F-1(Ms m;n(C)) where Ms m;n(C) is the set of the complex matrices with rank less then s, with s an integer number between 0 and minfm; ng such that N < (m - s + 2)(n - s + 2), we will define the vanishing Euler characteristic of (X; 0) and the Milnor number of a holomorphic function germ with an isolated singularity at X, f : (X; 0) - C. / Dados (X; 0) C (CN; 0) um germe de hipersuperfície quase homogêneo com singularidade isolada e f : (CN, 0) - C um germe de função finitamente determinado com respeito a X, mostramos que UBR(f;X) = U(f) + U(X; f), onde U(f) e U(X; f) denotam o número de Milnor de f e da fibra X \ f-1(0), respectivamente, e _BR(f;X) é o número de Bruce-Roberts de f com respeito a X. Mostramos que a variedade logarítmica característica LC(X) é Cohen-Macaulay e obtemos relações entre o número de Bruce-Roberts e a obstrução de Euler. Dado F : (CN; 0) ! Mm;n(C) um germe de função holomorfa, seja (X; 0) a singularidade determinantal isolada dada por X = F-1(Ms m;n(C)) onde Ms m;n(C) é o conjunto das matrizes complexas com posto menor que s, com s um número inteiro entre 0 e minfm; ng tal que N < (m-s+2)(n-s+2), definimos a característica de Euler evanescente de (X; 0) e o número de Milnor de um germe de função holomorfa com uma singularidade isolada em X, f : (X; 0) - C.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissCS.pdf: 762215 bytes, checksum: d3e016bba7e01e919bb3bc4e78b15d5d (MD5) Previous issue date: 2006-02-24 / Financiadora de Estudos e Projetos / In this work, we study the relation between Milnor's number and the Newton's number of a formal series. The former is always greater than or equal to the latter and equality occurs whan the formal series f has non-degenerate newtonian principal part at the origin. / Neste trabalho, estudamos a relação que existe entre o número de Milnor de uma série formal com o número de Newton. O número de Milnor de uma série formal é sempre maior ou igual ao número de Newton e a igualdade entre os números é obtida sempre que a série formal f possui parte principal Newton não-degenerada na origem.

Neste trabalho, estudamos a relação que existe entre o número de Milnor de um polinômio cômodo ou seja, a soma dos números de Milnor dos pontos singulares isolados deste polinômio, com seu número de Newton. Este número é sempre menor ou igual ao número de Newton e a igualdade entre os números é obtida sempre que o polinômio cômodo possui parte principal Newton não-degenerada no infinito / In this work, we study the relation between the Milnor number of a polynomial cômodo ie. the sum of Milnor numbers of isolated singular points of polynomial, with the Newton number. This number is always lower than or equal to the Newton number and equality between the numbers is obtained when the polynomial has non-degenerate newtonian principal part at the infinity

Neste trabalho, definimos a obstrução local de Euler de um espaço analítico complexo singular (X, \'x IND.0\'), denotada por Eu(X, \'x IND.0\'), e a obstrução local de Euler de uma função holomorfa f definida neste espaço, com uma singularidade isolada em \'x IND. 0\', denotada por \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); e apresentamos duas fórmulas para seus respectivos cálculos. Em seguida, através de uma abordagem geométrica, determinamos as relações entre \'Eu IND. f\' (X,\'x IND.0\') e algumas generalizações do número de Milnor para funções em espaços singulares / In this work we define the local Euler obstruction of a complex analytic singularity (X, \'x IND.0\'), denoted Eu(X, \'x IND.0\'), and the local Euler obstruction of a holomorphic function f defined on this space, with an isolated singularity at \'x IND. 0\', denoted \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); and we present two formulas for their respective calculations. Next, using a geometric approach, we determine the relations between \'Eu IND.f\' (X, \'x IND.0\') and several generalizations of the Milnor number for functions on singular spaces

Submitted by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-08-09T18:34:01Z No. of bitstreams: 1 TeseDAHA.pdf: 605987 bytes, checksum: 218da6f6f0b14c9296bc76440e616467 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-08-09T18:34:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseDAHA.pdf: 605987 bytes, checksum: 218da6f6f0b14c9296bc76440e616467 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-08-09T18:34:17Z (GMT) No. of bitstreams: 1 TeseDAHA.pdf: 605987 bytes, checksum: 218da6f6f0b14c9296bc76440e616467 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-09T18:34:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 TeseDAHA.pdf: 605987 bytes, checksum: 218da6f6f0b14c9296bc76440e616467 (MD5) Previous issue date: 2017-04-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / In this work, we show relations between invariants of map germs. First, we consider an analytic function germ f : (X, 0) —(C, 0) on an isolated determinantal singularity and we present a relation between the Euler obstruction of f and the determinantal Milnor number of f. In the particular case where (X, 0) is an isolated complete intersection singularity, we obtain a simple way to calculate the Euler obstruction of f as the difference between the dimension of two algebras. After, we work with map germs f : (X, 0) —— (C2, 0), where (X, 0) is a plane curve with isolated singularity. We introduce the image Milnor number to these map germs and we present a positive answer to the Mond’s conjecture in this context. The Mond’s conjecture proposes an inequality between two other invariants, the A^-codimension and the image Milnor number, in the case of map germs f : (Cn, 0) —(Cn+1, 0) when the dimensions (n,n + 1) is in Mather’s nice dimensions. The conjecture is true for n = 1, 2, and for the cases n > 3 is an open problem. / Neste trabalho, mostramos relações entre invariantes de germes de aplicações. Primeiro, consideramos um germe de funçao analítica f : (X, 0)^(C, 0) sobre uma singularidade determinantal isolada e apresentamos uma relaçao entre a obstrução de Euler de f e o número de Milnor determinantal de f. No caso particular em que (X, 0) e uma interseçao completa com singularidade isolada, obtemos um modo simples de calcular a obstrucao de Euler de f como a diferenca entre dimensães de duas algebras. Depois, trabalhamos com germes de aplicacoes f : (X, 0)^(C2, 0), onde (X, 0) e uma curva plana com singularidade isolada. Introduzimos o número de Milnor da imagem para estes germes de aplicacães e apresentamos uma resposta positiva para a conjectura de Mond neste contexto. A conjectura de Mond propoe uma desigualdade entre outros dois invariantes, a A^-codimensao e o numero de Milnor da imagem, para o caso de germes de aplicacoes f : (Cn, 0)^(Cn+1,0) quando as dimensoes (n,n + 1) estao nas boas dimensoes de Mather. A conjectura e verdadeira para n = 1, 2, e para os casos n > 3 e um problema em aberto.