Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l'étude mathématique de la sensibilité paramétrique de la méthode de réduction de modèles par projection connue sous le nom de POD pour Proper Orthogonal Decomposition. Dans beaucoup d'applications de la mécanique des fluides,la base de projection (base POD) calculée à un paramètre caractéristique fixe du problème de Navier-Stokes, est utilisée à la suite pour construire des modèles d'ordre réduit ROM-POD pour d'autres valeurs du paramètre caractéristique. Alors, la prédiction du comportement de ce ROM-POD vis-à-vis du problème initial est devenue cruciale. Pour cela, nous avons discuté cette problématique d'un point de vue mathématique. Nous avons établi des résultats mathématiques de sensibilité paramétrique des erreurs induites par application de la méthode ROM-POD. Plus précisément, notre approche est basée sur l'établissement d'estimations a priori de ces erreurs paramétriques, en utilisant les méthodes énergétiques classiques. Nos résultats sont démontrés pour les deux problèmes de type Burgers et Navier-Stokes. Des validations numériques de ces résultats mathématiques ont été faites uniquement pour le problème de type Burgers.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à l’étude mathématique de la sensibilité paramétrique de la méthode de réduction de modèles par projection connue sous le nom de POD pour Proper Orthogonal Decomposition. Dans beaucoup d’applications de la mécanique des fluides,la base de projection (base POD) calculée à un paramètre caractéristique fixe du problème de Navier-Stokes, est utilisée à la suite pour construire des modèles d’ordre réduit ROM-POD pour d’autres valeurs du paramètre caractéristique. Alors, la prédiction du comportement de ce ROM-POD vis-à-vis du problème initial est devenue cruciale. Pour cela, nous avons discuté cette problématique d’un point de vue mathématique. Nous avons établi des résultats mathématiques de sensibilité paramétrique des erreurs induites par application de la méthode ROM-POD. Plus précisément, notre approche est basée sur l’établissement d’estimations a priori de ces erreurs paramétriques, en utilisant les méthodes énergétiques classiques. Nos résultats sont démontrés pour les deux problèmes de type Burgers et Navier-Stokes. Des validations numériques de ces résultats mathématiques ont été faites uniquement pour le problème de type Burgers. / In this thesis, we are interested in the mathematical study of the parametric sensitivity of the reduced order model method known as the POD method (proper orthogonal decomposition). In several works applied to fluid mechanics, the POD modes are computed once and for all in association with a fixed parameter that characterize the equations of the fluid mechanics : Navier-Stokes system. Then, these modes are used in order to compute reduced order models (ROM) associated to these equations, for different parameter values. So, one needs a tool for predicting the behavior of the reduced order model with respect to the complete problem, when the parameter’s value is changing. We have discussed this problem from a mathematical point of vue. In fact, we have established mathematical results on the parametric sensitivity of the errors induced by applying the ROM-POD method. More precisely, our work is based on developing a priori estimations of these parametric errors, by using classical techniques of energy estimation.Our results are proved for the two problems of Burgers and Navier-Stokes. Numerical validations are established only in the case of the Burgers equation.

Les travaux de la présente thèse portent sur l’estimation d'erreur a posteriori pour les solutions numériques par éléments finis de l'équation des ondes élastiques dans les milieux hétérogènes. Deux types d’estimation ont été développés. Le premier considère directement l’équation élastodynamique et conduit à un nouvel estimateur d'erreur a posteriori explicite en norme L∞ en temps. Les principales caractéristiques de cet estimateur explicite sont l'utilisation de la méthode de résidus et le développement de reconstructions en temps et en espace selon les différentes régularités exigées par les différents termes contribuant à l’obtention d’une borne supérieure. L’analyse numérique de cet estimateur dans le cas des maillages uniformes montre qu’il assure bien une borne supérieure mais avec une propriété asymptotique qui reste à améliorer. Le deuxième type d’estimateur d’erreur est développé dans le contexte de la propagation des ondes à haute fréquence dans des milieux hétérogènes à l’échelle mésoscopique. Il s’agit d’une nouvelle erreur en résidus basée sur l'équation de transfert radiatif, qui est obtenue par un développement asymptotique multi-échelle de l'équation d'onde en utilisant la transformation de Wigner en espace-temps. Les résidus sont exprimés en termes de densités énergétiques calculés dans l’espace des phases pour les solutions d’onde numériques transitoires par éléments finis. L’analyse numérique de cette erreur appliquée aux milieux homogènes et hétérogènes en 1D a permis de valider notre approche. Les champs d’application visés sont la propagation des ondes sismiques dans les milieux géophysiques ou la propagation des ondes ultrasonores dans les milieux polycristallins. / This thesis work deals with a posteriori error estimates for finite element solutions of the elastic wave equation in heterogeneous media. Two different a posteriori estimation approaches are developed. The first one, in a classical way, considers directly the elastodynamic equation and results in a new explicit error estimator in a non-natural L∞ norm in time. Its key features are the use of the residual method and the development of space and time reconstructions with respect to regularities required by different residual operators contributing to the proposed error bound. Numerical applications of the error bound with different mesh sizes show that it gives rise to a fully computable upper bound. However, its effectivity index and its asymptotic accuracy remain to be improved. The second error estimator is derived for high frequency wave propagation problem in heterogeneous media in the weak coupling regime. It is a new residual-type error based on the radiative transfer equation, which is derived by a multi-scale asymptotic expansion of the wave equation in terms of the spatio-temporal Wigner transforms of wave fields. The residual errors are in terms of angularly resolved energy quantities of numerical solutions of waves by finite element method. Numerical calculations of the defined errors in 1D homogeneous and heterogeneous media allow validating the proposed error estimation approach. The application field of this work is the numerical modelling of the seismic wave propagation in geophysical media or the ultrasonic wave propagation in polycrystalline materials.