Dans une première partie, on considère un domaine $\Omega$ qui est relativement compact dans une variété kählérienne de dimension $n$ et qui vérifie une certaine condition de ``$\log\delta$-pseudoconvexité''. On montre que le problème du $\overline\partial$ avec support exact dans $\Omega$ admet une solutions en bidegrés $(p,q)$, $1\leq q\leq n-1$. En plus, l'image de l'opérateur $\overline\partial$ agissant sur les formes lisses de bidegré $(p,n-1)$ à support das $\overline\Omega$ est fermée. On donne des applications pour la résolution des équations de Cauchy-Riemann tangentielles pour les formes lisses et pour les courants pour tous les bidegés intermédiaires sur le bord d'un domaine faiblement pseudoconvexe dans une variété de Stein et pour la résolution des équations de Cauchy-Riemann tangentielles pour les courants sur les variétés $CR$ Levi-plates de codimension arbitraire. Dans une deuxième partie, on considère le problème du $\overline\partial$ avec trace nulle le long d'une hypersurface à signature constante. On donne des applications pour la résolution des équations de Cauchy-Riemann tangentielles pour des formes lisses à support compact et pour des courants sur l'hypersurface. On prouve aussi que le phénomène de Hartogs se produit dans les hypersurfaces faiblement 2-convexes-concaves à signature constante des variétés de Stein.