L'objet principal de cette thèse est d'étudier divers aspects de l'évolution d'un champ scalaire ou vectoriel, transporté par un champ de vitesse dont la statistique est donnée indépendamment du champ advecté. Ce faisant, on est amené également à étudier les courbes intégrales du champ de vitesse, appelées trajectoires Lagrangiennes. Après une introduction synthétique, plusieurs modèles et problèmes sont abordés. Notre modèle principal - baptisé après R. H. Kraichnan - suppose des champs de vitesse gaussiens delta-corrélés en temps. Sont étudiés les cas où la structure spatiale du champ de vitesse est soit lisse soit brownien fractionnaire (multidimensionnel). Un modèle où le champ de vitesse est corrélé en temps est également abordé. Parmi les problèmes étudiés sont les secteurs anisotropes de la quantité advectée, l'apparition d'intermittence spatiale, ou encore différents passages à la limite dans la statistique du champ de vitesse.

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques propriétés mathématiques de deux modèles de population : le processus Fleming-Viot généralisé d'une part et le processus de branchement d'autre part. Dans les deux cas, la population est composée d'une infinité d'individus, chacun étant caractérisé par un type génétique. Au cours du temps les fréquences asymptotiques de ces types évoluent de façon aléatoire au travers d'événements de reproduction où un individu tiré aléatoirement donne naissance à une descendance portant le même type génétique. Mathématiquement ces deux modèles sont décrits par des processus aléatoires à valeurs mesures. Afin de donner un sens à la généalogie de la population sous-jacente, plusieurs approches ont été proposées au cours des quinze dernières années. La contribution principale de cette thèse consiste en l'unification de deux constructions : la représentation lookdown définie par Peter Donnelly et Thomas Kurtz en 1999 et les flots stochastiques de ponts (ou de subordinateurs) introduits au début des années 2000 par Jean Bertoin et Jean-François Le Gall. Cette unification nécessite l'introduction d'objets nouveaux (les Eves, les flots stochastiques de partitions) et repose sur une étude fine des comportements asymptotiques des deux modèles mentionnés précédemment. En particulier, nous définissons la propriété d'Eve comme suit : si la fréquence asymptotique d'un type génétique tend vers $1$ lorsque $t$ devient grand alors la population descend asymptotiquement d'un seul individu au temps initial, appelé l'Eve de la population. Dans le cas des processus de branchement nous obtenons une condition nécessaire et suffisante sur le paramètre du modèle (aussi appelé mécanisme de branchement) qui assure que cette propriété d'Eve est vérifiée. Nous obtenons également une classification complète de tous les autres comportements possibles. Dans le cas des processus Fleming-Viot généralisés, nous obtenons une classification partielle des comportements possibles en fonction du paramètre du modèle. Enfin, lorsque la propriété d'Eve est vérifiée, nous construisons de façon trajectorielle la représentation lookdown à partir d'un flot stochastique de ponts (ou de subordinateurs). Nous présentons également une étude complète du processus de branchement explosif conditionné à la non-explosion et faisons apparaître une famille infinie de mesures quasi-stationnaires pour ce processus. Finalement nous nous intéressons au processus des longueurs du coalescent de Kingman dynamique et présentons une construction alternative à celle de Pfaffelhuber, Wakolbinger et Weisshaupt.

L'objectif de cette thèse est l'étude de la représentation probabiliste des différentes classes d'EDPSs non-linéaires(semi-linéaires, complètement non-linéaires, réfléchies dans un domaine) en utilisant les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades (EDDSRs). Cette thèse contient quatre parties différentes. Nous traitons dans la première partie les EDDSRs du second ordre (2EDDSRs). Nous montrons l'existence et l'unicité des solutions des EDDSRs en utilisant des techniques de contrôle stochastique quasi- sure. La motivation principale de cette étude est la représentation probabiliste des EDPSs complètement non-linéaires. Dans la deuxième partie, nous étudions les solutions faibles de type Sobolev du problème d'obstacle pour les équations à dérivées partielles inteégro-différentielles (EDPIDs). Plus précisément, nous montrons la formule de Feynman-Kac pour l'EDPIDs par l'intermédiaire des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies avec sauts (EDSRRs). Plus précisément, nous établissons l'existence et l'unicité de la solution du problème d'obstacle, qui est considérée comme un couple constitué de la solution et de la mesure de réflexion. L'approche utilisée est basée sur les techniques de flots stochastiques développées dans Bally et Matoussi (2001) mais les preuves sont beaucoup plus techniques. Dans la troisième partie, nous traitons l'existence et l'unicité pour les EDDSRRs dans un domaine convexe D sans aucune condition de régularité sur la frontière. De plus, en utilisant l'approche basée sur les techniques du flot stochastiques nous démontrons l'interprétation probabiliste de la solution faible de type Sobolev d'une classe d'EDPSs réfléchies dans un domaine convexe via les EDDSRRs. Enfin, nous nous intéressons à la résolution numérique des EDDSRs à temps terminal aléatoire. La motivation principale est de donner une représentation probabiliste des solutions de Sobolev d'EDPSs semi-linéaires avec condition de Dirichlet nul au bord. Dans cette partie, nous étudions l'approximation forte de cette classe d'EDDSRs quand le temps terminal aléatoire est le premier temps de sortie d'une EDS d'un domaine cylindrique. Ainsi, nous donnons les bornes pour l'erreur d'approximation en temps discret. Cette partie se conclut par des tests numériques qui démontrent que cette approche est effective. / The objective of this thesis is to study the probabilistic representation (Feynman-Kac for- mula) of different classes ofStochastic Nonlinear PDEs (semilinear, fully nonlinear, reflected in a domain) by means of backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs). This thesis contains four different parts. We deal in the first part with the second order BDS- DEs (2BDSDEs). We show the existence and uniqueness of solutions of 2BDSDEs using quasi sure stochastic control technics. The main motivation of this study is the probabilistic representation for solution of fully nonlinear SPDEs. First, under regularity assumptions on the coefficients, we give a Feynman-Kac formula for classical solution of fully nonlinear SPDEs and we generalize the work of Soner, Touzi and Zhang (2010-2012) for deterministic fully nonlinear PDE. Then, under weaker assumptions on the coefficients, we prove the probabilistic representation for stochastic viscosity solution of fully nonlinear SPDEs. In the second part, we study the Sobolev solution of obstacle problem for partial integro-differentialequations (PIDEs). Specifically, we show the Feynman-Kac formula for PIDEs via reflected backward stochastic differentialequations with jumps (BSDEs). Specifically, we establish the existence and uniqueness of the solution of the obstacle problem, which is regarded as a pair consisting of the solution and the measure of reflection. The approach is based on stochastic flow technics developed in Bally and Matoussi (2001) but the proofs are more technical. In the third part, we discuss the existence and uniqueness for RBDSDEs in a convex domain D without any regularity condition on the boundary. In addition, using the approach based on the technics of stochastic flow we provide the probabilistic interpretation of Sobolev solution of a class of reflected SPDEs in a convex domain via RBDSDEs. Finally, we are interested in the numerical solution of BDSDEs with random terminal time. The main motivation is to give a probabilistic representation of Sobolev solution of semilinear SPDEs with Dirichlet null condition. In this part, we study the strong approximation of this class of BDSDEs when the random terminal time is the first exit time of an SDE from a cylindrical domain. Thus, we give bounds for the discrete-time approximation error.. We conclude this part with numerical tests showing that this approach is effective.