Nous étudions les espaces de formes harmoniques $L^2$ essentiellement sur les variétés de volume fini, à courbure négative et pincée. Notre but est d'en trouver une interprétation topologique. Nous montrons, dans un premier temps, que si la courbure est suffisamment pincée, il y a une telle interprétation simple de ces espaces. Nous construisons également des exemples qui montrent que notre hypothèse de pincement de la courbure est nécessaire et optimale. Dans un deuxième temps, nous considérons des variétés qui sont de plus kaehlériennes, et nous montrons, sans hypothèse sur le pincement, qu'on peut donner une interprétation topologique de l'espace des k-formes harmoniques $L^2$, pour certains entiers k. Enfin, nous étudions plus généralement la $L^p$-cohomologie de nos variétés.