[ES] El cálculo fraccionario es una extensión del cálculo clásico, donde el orden de las derivadas o integrales es un número real. Hoy en día, el cálculo fraccionario tiene numerosas aplicaciones en ciencias e ingeniería. La principal razón es el mayor grado de libertad de las herramientas del cálculo fraccionario en comparación con las herramientas del cálculo clásico. Muchos problemas reales se modelan por medio de ecuaciones diferenciales fraccionarias no lineales cuyo sistema de ecuaciones es no lineal, y por tanto, es conveniente que se adapten procedimientos iterativos para resolver problemas no lineales con el uso de derivadas fraccionarias, y observar cuál es la consecuencia en la convergencia de dicho método. En esta Tesis Doctoral diseñamos nuevos procedimientos iterativos con derivadas fraccionarias (o su aproximación) que al menos igualen a los métodos clásicos en términos de orden de convergencia, mediante la introducción de las derivadas fraccionarias de Riemann-Liouville, de Caputo y conformable (o sus aproximaciones). También, proponemos estudiar la estabilidad de estos esquemas con el uso de planos de convergencia, y planos dinámicos en algunos casos. Finalmente, pretendemos diseñar una técnica que nos permita obtener la versión fraccionaria conformable (o versión con derivada conformable o su aproximación) de cualquier procedimiento iterativo clásico para problemas no lineales. En el Capítulo 2 se exponen los conceptos previos que serán necesarios para el desarrollo de los siguientes capítulos: Se presentan los conceptos básicos relacionados con métodos de punto fijo, se muestran los esquemas clásicos que trataremos en esta memoria, y finalmente se introducen las herramientas del cálculo fraccionario que serán necesarias para el diseño de procedimientos iterativos fraccionarios. En el Capítulo 3 se diseñan métodos fraccionarios (o esquemas con derivadas fraccionarias) de tipo Newton-Raphson escalares con las derivadas de Caputo, de Riemann Liouville y la conformable. También diseñamos esquemas fraccionarios de Newton-Raphson escalares de mayor orden. Finalmente, realizamos el análisis de convergencia de dichos procedimientos y estudiamos su estabilidad. En el Capítulo 4 se diseña la versión vectorial del método de Newton-Raphson conformable visto en el Capítulo 3. Antes, es necesario definir nuevos conceptos y establecer nuevos resultados que serán necesarios para el dersarrollo de este esquema. Finalmente, realizamos el análisis de convergencia y estudiamos su estabilidad. En el Capítulo 5 se diseñan procedimientos fraccionarios de tipo Traub escalares con derivadas de Caputo y de Riemann-Liouville. También se diseña una técnica general para obtener la versión fraccionaria conformable escalar de cualquier método clásico, y se usa esta técnica para diseñar algunos esquemas conformables multipunto escalares: de tipos Traub, Chun-Kim, Ostrowski y Chun. Por último, se realiza el análisis de convergencia y se estudia la estabilidad de tales procedimientos. En el Capítulo 6 se diseñan métodos fraccionarios libres de derivadas escalares de tipos Steffensen y Secante (el cual tiene memoria), donde es necesario la aproximación de derivadas conformables. Aquí se usa la técnica general propuesta en el Capítulo 5 para obtener la versión conformable de cada esquema. Finalmente, realizamos el análisis de convergencia y se estudia la estabilidad de dichos procedimientos. En el Capítulo 7 se presentan las conclusiones y líneas futuras de investigación. / [CA] El càlcul fraccionari és una extensió del càlcul clàssic, on l'ordre de les derivades o integrals és un nombre real. Hui dia, el càlcul fraccionari té nombroses aplicacions en ciències i enginyeria. La principal raó és el major grau de llibertat de les eines del càlcul fraccionari en comparació amb les eines del càlcul clàssic. Molts problemes reals es modelen per mitjà d'equacions diferencials fraccionàries no lineals el sistema d'equacions de les quals és no lineal, i per tant, és convenient que s'adapten procediments iteratius per a resoldre problemes no lineals amb l'ús de derivades fraccionàries, i observar quina és la conseqüència en la convergència d'aquest mètode. En aquesta Tesi Doctoral dissenyem nous procediments iteratius amb derivades fraccionàries (o la seua aproximació) que almenys igualen als mètodes clàssics en termes d'ordre de convergència, mitjançant la introducció de les derivades fraccionàries de Riemann-Liouville, de Caputo i conformable (o les seues aproximacions). També, proposem estudiar l'estabilitat d'aquests esquemes amb l'ús de plans de convergència, i plans dinàmics en alguns casos. Finalment, pretenem dissenyar una tècnica que ens permeta obtindre la versió fraccionària conformable (o versió amb derivada conformable o la seua aproximació) de qualsevol procediment iteratiu clàssic per a problemes no lineals. En el Capítol 2 s'exposen els conceptes previs que seran necessaris per al desenvolupament dels següents capítols: Es presenten els conceptes bàsics relacionats amb mètodes de punt fix, es mostren els esquemes clàssics que tractarem en aquesta memòria, i finalment s'introdueixen les eines del càlcul fraccionari que seran necessàries per al disseny de procediments iteratius fraccionaris. En el Capítol 3 es dissenyen mètodes fraccionaris (o esquemes amb derivades fraccionàries) de tipus Newton-Raphson escalars amb les derivades de Caputo, de Riemann Liouville i la conformable. També dissenyem esquemes fraccionaris de Newton-Raphson escalars de major ordre. Finalment, realitzem l'anàlisi de convergència d'aquests procediments i estudiem la seua estabilitat. En el Capítol 4 es dissenya la versió vectorial del mètode de Newton-Raphson conformable vist en el Capítol 3. Abans, és necessari definir nous conceptes i establir nous resultats que seran necessaris per al dersarrollo d'aquest esquema. Finalment, realitzem l'anàlisi de convergència i estudiem la seua estabilitat. En el Capítol 5 es dissenyen procediments fraccionaris de tipus Traub escalars amb derivades de Caputo i de Riemann-Liouville. També es dissenya una tècnica general per a obtindre la versió fraccionària conformable escalar de qualsevol mètode clàssic, i s'usa aquesta tècnica per a dissenyar alguns esquemes conformables multipunt escalars: de tipus Traub, Chun-Kim, Ostrowski i Chun. Finalment, es realitza l'anàlisi de convergència i s'estudia l'estabilitat de tals procediments. En el Capítol 6 es dissenyen mètodes fraccionaris lliures de derivades escalars de tipus Steffensen i Assecant (el qual té memòria), on és necessari l'aproximació de derivades conformables. Ací s'usa la tècnica general proposta en el Capítol 5 per a obtindre la versió conformable de cada esquema. Finalment, realitzem l'anàlisi de convergència i s'estudia l'estabilitat d'aquests procediments. En el Capítol 7 es presenten les conclusions i línies futures d'investigació. / [EN] Fractional calculus is an extension of classical calculus, where the order of the derivatives or integrals is a real number. Today, fractional calculus has numerous applications in science and engineering. The main reason is the higher degree of freedom of the fractional calculus tools compared to the classical calculus tools. Many real problems are modeled by means of nonlinear fractional differential equations whose system of equations is nonlinear, and therefore it is convenient that iterative procedures are adapted to solve nonlinear problems with the use of fractional derivatives, and observe what the consequence is in the convergence of said method. In this Doctoral Thesis we design new iterative procedures with fractional derivatives (or their approximation) that are at least equal to the classical methods in terms of convergence order, by introducing the Riemann-Liouville, Caputo and conformable fractional derivatives (or their approximations). Also, we propose to study the stability of these schemes with the use of convergence planes, and dynamic planes in some cases. Finally, we intend to design a technique that allows us to obtain the conformable fractional version (or version with conformable derivative or its approximation) of any classical iterative procedure for nonlinear problems. In Chapter 2 the previous concepts that will be necessary for the development of the following chapters are exposed: The basic concepts related to fixed point methods are presented, the classic schemes that we will deal with in this memory are shown, and finally the tools of the fractional calculus that will be necessary for the design of fractional iterative procedures. In Chapter 3, scalar Newton-Raphson type fractional methods (or schemes with fractional derivatives) are designed with the Caputo, Riemann Liouville and conformable derivatives. We also design higher order scalar Newton-Raphson fractional schemes. Finally, we perform the convergence analysis of these procedures and study their stability. In Chapter 4, the vector version of the conformable Newton-Raphson method seen in Chapter 3 is designed. Before, it is necessary to define new concepts and establish new results that will be necessary for the development of this scheme. Finally, we perform the convergence analysis and study its stability. In Chapter 5, fractional procedures of the scalar Traub type with derivatives of Caputo and Riemann-Liouville are designed. A general technique is also designed to obtain the scalar conformable fractional version of any classical method, and this technique is used to design some scalar multipoint conformable schemes: of Traub, Chun-Kim, Ostrowski and Chun types. Finally, the convergence analysis is carried out and the stability of such procedures is studied. In Chapter 6 free fractional methods of scalar derivatives of Steffensen and Secant types (which has memory) are designed, where the conformable derivatives approximation is necessary. Here we use the general technique proposed in Chapter 5 to obtain the conformable version of each scheme. Finally, we carry out the convergence analysis and the stability of these procedures is studied. In Chapter 7 the conclusions and future lines of research are presented. / Candelario Villalona, GG. (2023). Métodos iterativos fraccionarios para la resolución de ecuaciones y sistemas no lineales: diseño, análisis y estabilidad [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/194270

Une modélisation numérique des ondes poroélastiques, décrites par le modèle de Biot, est proposée dans le domaine temporel. La dissipation visqueuse à l'intérieur des pores est décrite par le modèle de perméabilité dynamique de Johnson-Koplik-Dashen (JKD). Certains coefficients du modèle de Biot-JKD sont proportionnels à la racine carrée de la fréquence, introduisant dans le domaine temporel des dérivées fractionnaires décalées d'ordre 1/2, revenant à un produit de convolution. Basé sur une représentation diffusive, le produit de convolution est remplacé par un nombre fini de variables de mémoire satisfaisant une équation différentielle ordinaire locale en temps, menant au modèle de Biot-DA (diffusive approximation). Les propriétés des deux modèles sont analysées : hyperbolicité, décroissance de l'énergie, dispersion. On montre que la meilleure méthode de détermination des coefficients de l'approximation diffusive - quadratures de Gauss, optimisation linéaire ou non-linéaire sur la plage de fréquence d'intérêt - est l'optimisation non-linéaire. Une méthode de splitting est utilisée numériquement : la partie propagative est discrétisée par un schéma aux différences finies ADER d'ordre 4, et la partie diffusive est intégrée exactement. Les conditions de saut aux interfaces sont discrétisées avec une méthode d'interface immergée. Des simulations numériques sont présentées pour des milieux isotropes et isotropes transverses. Des comparaisons avec des solutions analytiques montrent l'efficacité et la précision de cette approche. Des simulations numériques en milieux complexes sont réalisées : influence de la porosité d'os spongieux, diffusion multiple en milieu aléatoire. / A time-domain numerical modeling of Biot poroelastic waves is proposed. The viscous dissipation in the pores is described using the dynamic permeability model of Johnson-Koplik-Dashen (JKD). Some of the coefficients in the Biot-JKD model are proportional to the square root of the frequency: in the time-domain, these coefficients introduce shifted fractional derivatives of order 1/2, involving a convolution product. Based on a diffusive representation, the convolution product is replaced by a finite number of memory variables that satisfy local-in-time ordinary differential equations, resulting in the Biot-DA (diffusive approximation). The properties of the two models are analyzed: hyperbolicity, decrease of energy, dispersion. To determine the coefficients of the diffusive approximation, different methods of quadrature are analyzed: Gaussian quadratures, linear or nonlinear optimization procedures in the frequency range of interest. The nonlinear optimization is shown to be the best way of determination. A splitting strategy is applied numerically: the propagative part is discretized using a fourth-order ADER scheme on a Cartesian grid, and the diffusive part is solved exactly. An immersed interface method is implemented to discretize the jump conditions at interfaces. Numerical experiments are presented for isotropic and transversely isotropic media. Comparisons with analytical solutions show the efficiency and the accuracy of this approach. Some numerical experiments are performed in complex media: influence of the porosity of a cancellous bone, multiple scattering across a set of random scatterers.

<p>Анализиран је судар два тела као и дисипација енергије укључена кроз механизам сувог трења моделираног неглатком вишевредносном функцијом и кроз деформацију вискоеластичног штапа чији модел укључује фракционе изводе. Проблем судара два тела је приказан у форми Кошијевог проблема који припада класи неглатких вишевредносних диференцијалних једначина произвољног реалног<br />реда. Кошијев проблем је решен нумеричким поступком заснованим на Тарнеровом алгоритму. Испитано је кретање система и дисипација енергије за разне вредности улазних параметара. Показано је да се уведене методе могу применити и на проблем судара три тела.</p> / <p>Analiziran je sudar dva tela kao i disipacija energije uključena kroz mehanizam suvog trenja modeliranog neglatkom viševrednosnom funkcijom i kroz deformaciju viskoelastičnog štapa čiji model uključuje frakcione izvode. Problem sudara dva tela je prikazan u formi Košijevog problema koji pripada klasi neglatkih viševrednosnih diferencijalnih jednačina proizvoljnog realnog<br />reda. Košijev problem je rešen numeričkim postupkom zasnovanim na Tarnerovom algoritmu. Ispitano je kretanje sistema i disipacija energije za razne vrednosti ulaznih parametara. Pokazano je da se uvedene metode mogu primeniti i na problem sudara tri tela.</p> / <p> Impact of two bodies was analyzed as well as energy dissipation, which was<br /> included through dry friction phenomena modelled by a set-valued function,<br /> and through deformation of a viscoelastic rod modelled by fractional<br /> derivatives. The impact problem was presented in the form of the Cauchy<br /> problem that belongs to a class of set-valued fractional differential equations.<br /> The Cauchy problem was solved by the numerical procedure based on<br /> Turner&rsquo;s algorithm. Behaviour and energy dissipation of the system was<br /> investigated for different values of input parameters. It was shown that<br /> suggested procedure can be applied on the problem of impact of three<br /> bodies.</p>

This paper concentrates on the description of fractional order LTI SISO systems using generalized Laguerre functions. There are properties of generalized Laguerre functions described in the paper, and an orthogonal base of these functions is shown. Next the concept of fractional derivatives is explained. The last part of this paper deals with the representation of fractional order LTI SISO systems using generalized Laguerre functions. Several examples were solved to demonstrate the benefits of using these functions for the representation of LTI SISO systems.

<p>Doktorska disertacija je posvećena re&scaron;avanju Ko&scaron;ijevog problema odabranih klasa frakcionih diferencijalnih jednačina u okviru Kolomboovih prostora uop&scaron;tenih funkcija. U prvom delu disertacije razmatrane su nehomogene evolucione jednačine sa prostorno frakcionim diferencijalnim operatorima reda 0 &lt; &alpha; &lt; 2 i koeficijentima koji zavise od x i t. Ova klasa jednačina je aproksimativno re&scaron;avana, tako &scaron;to je umesto početne jednačine razmatrana aproksimativna jednačina data preko regularizovanih frakcionih izvoda, odnosno, njihovih regularizovanih množitelja. Za re&scaron;avanje smo koristili dobro poznate uop&scaron;tene uniformno neprekidne polugrupe operatora. U drugom delu disertacije aproksimativno su re&scaron;avane nehomogene frakcione evolucione jednačine sa Kaputovim<br />frakcionim izvodom reda 0 &lt; &alpha; &lt; 2, linearnim, zatvorenim i gusto definisanim<br />operatorom na prostoru Soboljeva celobrojnog reda i koeficijentima koji zavise<br />od x. Odgovarajuća aproksimativna jednačina sadrži uop&scaron;teni operator asociran sa polaznim operatorom, dok su re&scaron;enja dobijena primenom, za tu svrhu&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br />u disertaciji konstruisanih, uop&scaron;tenih uniformno neprekidnih operatora re&scaron;enja.<br />U oba slučaja ispitivani su uslovi koji obezbeduju egzistenciju i jedinstvenost<br />re&scaron;enja Ko&scaron;ijevog problema na odgovarajućem Kolomboovom prostoru.</p> / <p>Colombeau spaces of generalized functions. In the firs part, we studied inhomogeneous evolution equations with space fractional differential operators of order 0 &lt; &alpha; &lt; 2 and variable coefficients depending on x and t. This class of equations is solved&nbsp; approximately, in such a way that instead of the originate equation we considered the corresponding approximate equation given by regularized fractional derivatives, i.e. their&nbsp; regularized multipliers. In the solving procedure we used a well-known generalized uniformly continuous semigroups of operators. In the second part, we solved approximately inhomogeneous fractional evolution equations with Caputo fractional derivative of order 0 &lt; &alpha; &lt; 2, linear, closed and densely defined operator in Sobolev space of integer order and variable coefficients depending on x. The corresponding approximate equation&nbsp;&nbsp; is a given by the generalized operator associated to the originate&nbsp; operator, while the solutions are obtained by using generalized uniformly continuous solution operators, introduced and developed for that purpose. In both cases, we provided the conditions that ensure the existence and uniqueness solutions of the Cauchy problem in some Colombeau spaces.</p>