Processos K começaram a ser estudados nos anos 50 como uma fonte de contraexemplos e de comportamento patológico. Recentemente descobriu-se que eles são um limite de escalas para modelos de armadilha, fato que voltou a trazer certa atenção para eles. Nesse trabalho vamos adotar uma abordagem construtiva, usando-a para mostrar a propriedade forte de Markov e calcular as taxas de transição e o gerador infinitesimal. / K processes were studied in the 50\'s as a source of counter examples and of pathological behaviour. It is now know that they are a scaling limit for trap models, which led attention back to them. In this work, we will adopt a constructive approach, using it to show the strong Markov propriety, calculate the transition rates and the infinitesimal generator.

Processos K começaram a ser estudados nos anos 50 como uma fonte de contraexemplos e de comportamento patológico. Recentemente descobriu-se que eles são um limite de escalas para modelos de armadilha, fato que voltou a trazer certa atenção para eles. Nesse trabalho vamos adotar uma abordagem construtiva, usando-a para mostrar a propriedade forte de Markov e calcular as taxas de transição e o gerador infinitesimal. / K processes were studied in the 50\'s as a source of counter examples and of pathological behaviour. It is now know that they are a scaling limit for trap models, which led attention back to them. In this work, we will adopt a constructive approach, using it to show the strong Markov propriety, calculate the transition rates and the infinitesimal generator.

Submitted by Maike Costa (maiksebas@gmail.com) on 2016-03-22T13:00:30Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1160851 bytes, checksum: 7135123aaf3823254b3e52ab8d141d6d (MD5) / Made available in DSpace on 2016-03-22T13:00:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 1160851 bytes, checksum: 7135123aaf3823254b3e52ab8d141d6d (MD5) Previous issue date: 2015-03-12 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we present an introduction to the theory of C0-semigroup (and C0-group) of bounded linear operators, and we show that wave operator in RN is the in nitesimal generator of a C0-group of bounded linear operators in a appropriate Banach space. / Neste trabalho apresentamos uma introdu c~ao a teoria de C0􀀀semigrupos (e C0􀀀gru po) de operadores lineares e limitados, e mostramos que operador de ondas em RN e o gerador in nitesimal de um C0􀀀grupo de operadores lineares e limitados em um espa co de Banach apropriado.

[pt] Como motivação, apresentaremos alguns problemas que ilustram a conexão entre a teoria da probabilidade e algumas equações diferenciais parciais. Suas soluções mesclam os dois assuntos e provocam a suspeita de que alguns processos estocásticos e operadores diferenciais caminham juntos. Em seguida, exibiremos a teoria das difusões de Itô. Mostraremos algumas de suas características, como a propriedade de Markov e cada um destes processos possuirá o que chamaremos de gerador infinitesimal da difusão. Este será um operador diferencial de segunda ordem cujo estudo detalhado revela características do processo. Apresentaremos também a fórmula de Dynkin. Com essas ferramentas probabilísticas, encontraremos uma representação estocástica para a solução do problema de Dirichlet para operadores diferenciais elípticos, generalizando as soluções dos problemas inicialmente propostos. / [en] Firstly, for motivation purposes, we briefly present a few problems mixing notions of probability theory and of partial differential equations (PDE). In discussing the solution to such problems it will become apparent that some stochastic process and differential equations walk together. Next, we introduce a class of stochastic processes called the Ito diffusions, and some of its features such as the Markov property. Each such process has an associated linear operator the, so called, infinitesimal generator. This operator acts as a second-order differential operator on smooth functions, and controls the LOCAL behavior of these diffusions. We discuss these features together with Dynkin s formula a convenient relation derived from the infinitesimal generator, which informs us about the AVERAGE behavior of the diffusion. Finally, we apply these probabilistic tools to find a formula for the solution of the Dirichlet problem for a somewhat general linear elliptic second order PDE. This formula connects the solution of the PDE to the aggregated/average behavior and associated (Ito) diffusion. This type of stochastic representation generalizes the solution method of the problems firstly discussed.