Nesta tese estudamos o conceito de grau de um morfismo irredutível em ${m mod}A$ relacionado ao conceito de teoria de partições pós-projetiva e pré-injetiva de uma álgebra de artin $A$. Introduzimos o conceito de grau de um morfismo irredutível em relação a uma categoria ${\\mathfrak D}$ de ${m ind}A$ e estudamos o caso em que ${\\mathfrak D}$ é um elemento da partição ${\\bf P_0}, \\cdots, {\\bf P_{\\infty}}$. Dentro do contexto de grau de um irredutível em relação a uma subcategoria resolvemos um problema proposto por Chaio, Le meur e Trepode em \\cite. Utilizando as partições pós-projetiva e pré-injetiva obtemos outra demonstração para a caracterização de álgebras de tipo finito obtida em \\cite e obtemos uma caracterização semelhante para subcategorias de módulos $\\Delta$-bons de tipo finito de ${m mod}A$ tal que $A$ é uma álgebra quasi-hereditária. Também utilizamos a teoria de partições para provar que, dada uma álgebra quasi-hereditária $A$ e ${\\cal F}(\\Delta) \\subseteq {m mod}A$, se $({m rad}_{\\Delta}^{\\infty})^2=0$ então ${\\cal F}(\\Delta)$ é de tipo finito. / In this thesis we analyse the concept of the degree of an irreducible morphism associated to the theory of postprojective and preinjective partitions. We introduce the idea of the degree of an irreducible morphism with respect to a subcategory ${\\mathfrak D}$ and we study the case in which ${\\mathfrak D}$ is an element of the postprojective partition ${\\bf P_0}, \\cdots, {\\bf P_{\\infty}}$. By using the concept of the degree of an irreducible morphism with respect to a subcategory ${\\mathfrak D}$ we present a solution to a problem recently proposed by Chaio, Le Meur and Trepode in \\cite. We also use the theory of postprojective and preprojective partitions to give another proof to the characterization of finite type algebras obtained by Chaio and Liu in \\cite and we apply similar techniques to obtain a characterization of finite type ${\\cal F}(\\Delta)$ subcategories where ${\\cal F}(\\Delta)$ is the subcategory of $\\Delta$-good modules of the category of finitely generated modules over a quasi-hereditary algebra. We also prove that given a quasi-hereditary algebra $A$ and ${\\cal F}(\\Delta) \\subseteq {m mod}A$, if $({m rad}_{\\Delta}^{\\infty})^2=0$ then ${\\cal F}(\\Delta)$ is of finite type.

Nesta tese estudamos o conceito de grau de um morfismo irredutível em ${m mod}A$ relacionado ao conceito de teoria de partições pós-projetiva e pré-injetiva de uma álgebra de artin $A$. Introduzimos o conceito de grau de um morfismo irredutível em relação a uma categoria ${\\mathfrak D}$ de ${m ind}A$ e estudamos o caso em que ${\\mathfrak D}$ é um elemento da partição ${\\bf P_0}, \\cdots, {\\bf P_{\\infty}}$. Dentro do contexto de grau de um irredutível em relação a uma subcategoria resolvemos um problema proposto por Chaio, Le meur e Trepode em \\cite. Utilizando as partições pós-projetiva e pré-injetiva obtemos outra demonstração para a caracterização de álgebras de tipo finito obtida em \\cite e obtemos uma caracterização semelhante para subcategorias de módulos $\\Delta$-bons de tipo finito de ${m mod}A$ tal que $A$ é uma álgebra quasi-hereditária. Também utilizamos a teoria de partições para provar que, dada uma álgebra quasi-hereditária $A$ e ${\\cal F}(\\Delta) \\subseteq {m mod}A$, se $({m rad}_{\\Delta}^{\\infty})^2=0$ então ${\\cal F}(\\Delta)$ é de tipo finito. / In this thesis we analyse the concept of the degree of an irreducible morphism associated to the theory of postprojective and preinjective partitions. We introduce the idea of the degree of an irreducible morphism with respect to a subcategory ${\\mathfrak D}$ and we study the case in which ${\\mathfrak D}$ is an element of the postprojective partition ${\\bf P_0}, \\cdots, {\\bf P_{\\infty}}$. By using the concept of the degree of an irreducible morphism with respect to a subcategory ${\\mathfrak D}$ we present a solution to a problem recently proposed by Chaio, Le Meur and Trepode in \\cite. We also use the theory of postprojective and preprojective partitions to give another proof to the characterization of finite type algebras obtained by Chaio and Liu in \\cite and we apply similar techniques to obtain a characterization of finite type ${\\cal F}(\\Delta)$ subcategories where ${\\cal F}(\\Delta)$ is the subcategory of $\\Delta$-good modules of the category of finitely generated modules over a quasi-hereditary algebra. We also prove that given a quasi-hereditary algebra $A$ and ${\\cal F}(\\Delta) \\subseteq {m mod}A$, if $({m rad}_{\\Delta}^{\\infty})^2=0$ then ${\\cal F}(\\Delta)$ is of finite type.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第21535号 / 理博第4442号 / 新制||理||1638(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 加藤 周, 教授 重川 一郎, 教授 並河 良典 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Apresentamos um estudo das álgebras de incidência que são hereditárias por partes, as quais denominamos Phias, piecewise hereditary incidence algebras. Através da aljava com relações, descrevemos as Phias de tipo Dynkin e introduzimos uma nova família de Phias de tipo Dynkin extendido chamada família ANS, em referência a Assem, Nehring e Skowronski. Nessa descrição, o importante método foi o dos cortes em extensões triviais, os quais inspiraram a elaboração de um programa que concebe exatamente os cortes na extensão trivial dada que resultam em álgebras de incidência. Abordamos as Phias &#922\\&#916 de tipo feixes, estudando o &#922\\&#916-módulo sincero canônico M e a álgebra de extensão por um ponto &#922\\&#916[&#924]. Demonstramos que se &#922Q/I é uma álgebra sincera, quase-inclinada canônica de tipo aljava e tipo de representação infinito, então os &#922Q/I-módulos sinceros são excepcionais. Essa conclusão permite construir uma gama de Phias &#922\\&#916[&#924] de tipo selvagem. Exploramos as Phias simplesmente conexas, provando uma resposta positiva para o problema de Skowronski para &#922\\&#916 uma Phia de tipo H, com grafo de objetos inclinantes &#922_D^b (&#919) conexo: o grupo &#919^1(&#922\\&#916) é trivial se, e somente se, a álgebra &#922\\&#916 é simplesmente conexa. Na área homológica, determinamos um limitante superior da dimensão global forte das Phias; mais ainda, ampliamos esse resultado para as álgebras sinceras provando que dada uma álgebra sincera e hereditária por partes, sua dimensão global forte é menor ou igual a três. / We present a study of incidence algebras that are piecewise hereditary, which we denominate Phias. By means of the quiver with relations, we describe Phias of Dynkin type and introduce a new family of Phias of extended Dynkin type, which we call ANS family, in reference to Assem, Nehring, and Skowronski. In this description, the important method was the one of cuts on trivial extensions, inspiring the writing of a program that shows exactly the cuts on the given trivial extension that result on incidence algebras. We approach sheaves type Phias &#922\\&#916, studying the canonical sincere &#922\\&#916-module M and the one-point extension algebra &#922\\&#916[&#924]. We show that if &#922Q/I is a sincere, quasi-tilted canonical algebra of quiver type and infinite representation type, then sincere &#922Q/I-modules are exceptional. This conclusion allows the construction of a wide range of Phias &#922\\&#916[&#924] wild type. We explore the simply conectedeness of Phias, proving a positive answer of the so called Skowronski problem for &#922\\&#916 a Phia H type, with connected quiver of tilting objects &#922_D^b (&#919): the group &#919^1(&#922\\&#916) is trivial if, and only if, &#922\\&#916 is a simply connected algebra. On homology, we determine an upper bound for the strong global dimension of Phias; furthermore, we extend this result for sincere algebras proving that the strong global dimension of a sincere piecewise hereditary algebra is less or equal to three.

Apresentamos um estudo das álgebras de incidência que são hereditárias por partes, as quais denominamos Phias, piecewise hereditary incidence algebras. Através da aljava com relações, descrevemos as Phias de tipo Dynkin e introduzimos uma nova família de Phias de tipo Dynkin extendido chamada família ANS, em referência a Assem, Nehring e Skowronski. Nessa descrição, o importante método foi o dos cortes em extensões triviais, os quais inspiraram a elaboração de um programa que concebe exatamente os cortes na extensão trivial dada que resultam em álgebras de incidência. Abordamos as Phias &#922\\&#916 de tipo feixes, estudando o &#922\\&#916-módulo sincero canônico M e a álgebra de extensão por um ponto &#922\\&#916[&#924]. Demonstramos que se &#922Q/I é uma álgebra sincera, quase-inclinada canônica de tipo aljava e tipo de representação infinito, então os &#922Q/I-módulos sinceros são excepcionais. Essa conclusão permite construir uma gama de Phias &#922\\&#916[&#924] de tipo selvagem. Exploramos as Phias simplesmente conexas, provando uma resposta positiva para o problema de Skowronski para &#922\\&#916 uma Phia de tipo H, com grafo de objetos inclinantes &#922_D^b (&#919) conexo: o grupo &#919^1(&#922\\&#916) é trivial se, e somente se, a álgebra &#922\\&#916 é simplesmente conexa. Na área homológica, determinamos um limitante superior da dimensão global forte das Phias; mais ainda, ampliamos esse resultado para as álgebras sinceras provando que dada uma álgebra sincera e hereditária por partes, sua dimensão global forte é menor ou igual a três. / We present a study of incidence algebras that are piecewise hereditary, which we denominate Phias. By means of the quiver with relations, we describe Phias of Dynkin type and introduce a new family of Phias of extended Dynkin type, which we call ANS family, in reference to Assem, Nehring, and Skowronski. In this description, the important method was the one of cuts on trivial extensions, inspiring the writing of a program that shows exactly the cuts on the given trivial extension that result on incidence algebras. We approach sheaves type Phias &#922\\&#916, studying the canonical sincere &#922\\&#916-module M and the one-point extension algebra &#922\\&#916[&#924]. We show that if &#922Q/I is a sincere, quasi-tilted canonical algebra of quiver type and infinite representation type, then sincere &#922Q/I-modules are exceptional. This conclusion allows the construction of a wide range of Phias &#922\\&#916[&#924] wild type. We explore the simply conectedeness of Phias, proving a positive answer of the so called Skowronski problem for &#922\\&#916 a Phia H type, with connected quiver of tilting objects &#922_D^b (&#919): the group &#919^1(&#922\\&#916) is trivial if, and only if, &#922\\&#916 is a simply connected algebra. On homology, we determine an upper bound for the strong global dimension of Phias; furthermore, we extend this result for sincere algebras proving that the strong global dimension of a sincere piecewise hereditary algebra is less or equal to three.

Any set of finitely presented left modules defines a relative purity for left modules and also apurity for right modules. Purities defined by various classes are compared and investigated,especially in the contexts of modules over semiperfect rings and over tame hereditary, andmore general, finite-dimensional algebras. Connections between the indecomposable relativelypure-injective modules and closure in the full support topology (a refinement of theZiegler spectrum) are described.Duality between left and right modules is used to define the concept of a class of leftmodules and a class of right modules forming an almost dual pair. Definability of suchclasses is investigated, especially in the case that one class is the closure of a set of finitelypresented modules under direct limits. Elementary duality plays an important role here.Given a set of finitely presented modules, the corresponding proper class of relativelypure-exact sequences can be used to define a relative notion of cotorsion pair, which weinvestigate.The results of this thesis unify and extend a wide range of results in the literature.

Les algèbres cellulaires furent introduite par J.J. Graham et G.I. Lehrer en 1996. Elles forment une famille d’algèbres associatives de dimension finie définies en termes de « données cellulaires » satisfaisant certains axiomes. Ces données cellulaires, lorsqu’elles sont identifiées pour une certaine algèbre, permettent une construction explicite de tous ses modules simples, à isomorphisme près, et de leurs couvertures projectives. Dans ce mémoire, nous définissons ces algèbres cellulaires en introduisant progressivement chacun des éléments constitutifs d’une façon axiomatique. Deux autres familles d’algèbres associatives sont discutées, à savoir les algèbres quasihéréditaires et celles dont les modules forment une catégorie de plus haut poids. Ces familles furent introduites durant la même période de temps, au tournant des années quatre-vingtdix. La relation entre ces deux familles ainsi que celle entre elles et les algèbres cellulaires sont prouvées. / Cellular algebras were introduced by J.J. Graham and G.I. Lehrer in 1996. They are a class of finite-dimensional associative algebras defined in terms of a “cellular datum” satisfying some axioms. This cellular datum, when made explicit for a given associative algebra, allows for the explicit construction of all its simple modules, up to isomorphism, and of their projective covers. In this work, we define these cellular algebras by introducing each building block of the cellular datum in a fairly axiomatic fashion. Two other families of associative algebras are discussed, namely the quasi-hereditary algebras and those whose modules form a highest weight category. These families were introduced at about the same period. The relationships between these two, and between them and the cellular ones, are made explicit.