We describe a fast method for the evaluation of an arbitrary high-dimensional multivariate algebraic polynomial in Chebyshev form at the nodes of an arbitrary rank-1 Chebyshev lattice. Our main focus is on conditions on rank-1 Chebyshev lattices allowing for the exact reconstruction of such polynomials from samples along such lattices and we present an algorithm for constructing suitable rank-1 Chebyshev lattices based on a component-by-component approach. Moreover, we give a method for the fast, exact and stable reconstruction.

Sensor networks are an evolving technology that promise numerous applications. The random and dynamic structure of sensor networks has motivated the suggestion of greedy data-routing algorithms. / In this thesis stochastic models are developed to study the advancement of messages under greedy routing in sensor networks. A model framework that is based on homogeneous spatial Poisson processes is formulated and examined to give a better understanding of the stochastic dependencies arising in the system. The effects of the model assumptions and the inherent dependencies are discussed and analyzed. A simple power-saving sleep scheme is included, and its effects on the local node density are addressed to reveal that it reduces one of the dependencies in the model. / Single hop expressions describing the advancement of messages are derived, and asymptotic expressions for the hop length moments are obtained. Expressions for the distribution of the multihop advancement of messages are derived. These expressions involve high-dimensional integrals, which are evaluated with quasi-Monte Carlo integration methods. An importance sampling function is derived to speed up the quasi-Monte Carlo methods. The subsequent results agree extremely well with those obtained via routing simulations. A renewal process model is proposed to model multihop advancements, and is justified under certain assumptions. / The model framework is extended by incorporating a spatially dependent density, which is inversely proportional to the sink distance. The aim of this extension is to demonstrate that an inhomogeneous Poisson process can be used to model a sensor network with spatially dependent node density. Elliptic integrals and asymptotic approximations are used to describe the random behaviour of hops. The final model extension entails including random transmission radii, the effects of which are discussed and analyzed. The thesis is concluded by giving future research tasks and directions.

Sensor networks are an evolving technology that promise numerous applications. The random and dynamic structure of sensor networks has motivated the suggestion of greedy data-routing algorithms. / In this thesis stochastic models are developed to study the advancement of messages under greedy routing in sensor networks. A model framework that is based on homogeneous spatial Poisson processes is formulated and examined to give a better understanding of the stochastic dependencies arising in the system. The effects of the model assumptions and the inherent dependencies are discussed and analyzed. A simple power-saving sleep scheme is included, and its effects on the local node density are addressed to reveal that it reduces one of the dependencies in the model. / Single hop expressions describing the advancement of messages are derived, and asymptotic expressions for the hop length moments are obtained. Expressions for the distribution of the multihop advancement of messages are derived. These expressions involve high-dimensional integrals, which are evaluated with quasi-Monte Carlo integration methods. An importance sampling function is derived to speed up the quasi-Monte Carlo methods. The subsequent results agree extremely well with those obtained via routing simulations. A renewal process model is proposed to model multihop advancements, and is justified under certain assumptions. / The model framework is extended by incorporating a spatially dependent density, which is inversely proportional to the sink distance. The aim of this extension is to demonstrate that an inhomogeneous Poisson process can be used to model a sensor network with spatially dependent node density. Elliptic integrals and asymptotic approximations are used to describe the random behaviour of hops. The final model extension entails including random transmission radii, the effects of which are discussed and analyzed. The thesis is concluded by giving future research tasks and directions.

This thesis concerns the problem of statistical hypothesis testing for mean vector as well as testing for non-normality in a high-dimensional setting which is called the Kolmogorov condition. Since we consider mainly the first and the second moment in testing for mean vector and we utilize the third and the fourth moment in testing for non-normality, this thesis concerns a more general moment testing problem. The research question is related to a data matrix with $p$ rows, which is the number of parameters and $n$ columns which is the sample size, where $p$ can exceed $n$, assuming that the ratio $\frac{p}{n}$ converges when both the number of parameters and the sample size increase.  The first paper reviews the Dempster's non-exact test for mean vector, with a focus on one-sample case. We investigated its size and power properties compared to Hotelling's $\mathit{T}^2$ test as well as Srivastava's test using Monte Carlo simulation.  The second paper concerns the problem of testing for multivariate non-normality in high-dimensional data. We proposed three test statistics which are based on marginal skewness and kurtosis. Simulation studies are carried out for examining the size and power properties of the three test statistics. / Avhandlingen undersöker hypotesprövning i höga dimensioner, under förutsättning att det så kallad Kolmogorovvillkoret (Kolmogorov condition) är uppfyllt. Villkoret innerbär att antalet parametrar ökar tillsammans med storleken på stickprovet med en konstant hastighet. Till kategorin multivariat analys räknas de statistiska metoder som analyserar stickprov från flerdimensionella fördelningar, särskilt multivariat normalfördelning. För högdimensionella data fungerar klassiska skattningar av kovariansmatris inte tillfredställande eftersom komplexiteten med att skatta den inversa kovariansmatrisen ökar när dimensionen ökar. I den första uppsatsen utförs en genomgång av Dempsters (non-exact) test där skattning av den inversa kovariansmatrisen inte behövs. Istället används spåret (trace) av en kovariansmatris. I den andra uppsatsen testas antagandet om normalfördelning med hjälp av tredje och fjärde ordningens moment. Tre olika testvariabler har föreslagits där sumuleringar också presenteras för att jämföra hur väl en icke-normalfördelning identifieras av testet.

É de conhecimento geral que, em alguns casos, as classes são espectralmente muito similares e que não é possível separá-las usando dados convencionais em baixa dimensionalidade. Entretanto, estas classes podem ser separáveis com um alto grau de acurácia em espaço de alta dimensão. Por outro lado, classificação de dados em alta dimensionalidade pode se tornar um problema para classificadores paramétricos, como o Máxima Verossimilhança Gaussiana (MVG). Um grande número de variáveis que caracteriza as imagens hiperespectrais resulta em um grande número de parâmetros a serem estimados e, geralmente, tem-se um número limitado de amostras de treinamento disponíveis. Essa condição causa o fenômeno de Hughes que consiste na gradual degradação da acurácia com o aumento da dimensionalidade dos dados. Neste contexto, desperta o interesse a utilização de classificadores não-paramétricos, como é o caso de Support Vector Machines (SVM). Nesta dissertação é analisado o desempenho do classificador SVM quando aplicado a imagens hiperespectrais de sensoriamento remoto. Inicialmente os conceitos teóricos referentes à SVM são revisados e discutidos. Em seguida, uma série de experimentos usando dados AVIRIS são realizados usando diferentes configurações para o classificador. Os dados cobrem uma área de teste da Purdue University e apresenta classes de culturas agrícolas espectralmente muito similares. A acurácia produzida na classificação por diferentes kernels são investigadas em função da dimensionalidade dos dados e comparadas com as obtidas com o classificador MVG. Como SVM é aplicado a um par de classes por vez, desenvolveu-se um classificador multi-estágio estruturado em forma de árvore binária para lidar como problema multi-classe. Em cada nó, a seleção do par de classes mais separáveis é feita pelo critério distância de Bhattacharyya. Tais classes darão origem aos nós descendentes e serão responsáveis por definir a função de decisão SVM. Repete-se este procedimento em todos os nós da árvore, até que reste apenas uma classe por nó, nos chamados nós terminais. Os softwares necessários foram desenvolvidos em ambiente MATLAB e são apresentados na dissertação. Os resultados obtidos nos experimentos permitem concluir que SVM é uma abordagem alternativa válida e eficaz para classificação de imagens hiperespectrais de sensoriamento remoto. / This dissertation deals with the application of Support Vector Machines (SVM) to the classification of remote sensing high-dimensional image data. It is well known that in many cases classes that are spectrally very similar and thus not separable when using the more conventional low-dimensional data, can nevertheless be separated with an high degree of accuracy in high dimensional spaces. Classification of high-dimensional image data can, however, become a challenging problem for parametric classifiers such as the well-known Gaussian Maximum Likelihood. A large number of variables produce an also large number of parameters to be estimated from a generally limited number of training samples. This condition causes the Hughes phenomenon which consists in a gradual degradation of the accuracy as the data dimensionality increases beyond a certain value. Non-parametric classifiers present the advantage of being less sensitive to this dimensionality problem. SVM has been receiving a great deal of attention from the international community as an efficient classifier. In this dissertation it is analyzed the performance of SVM when applied to remote sensing hyper-spectral image data. Initially the more theoretical concepts related to SVM are reviewed and discussed. Next, a series of experiments using AVIRIS image data are performed, using different configurations for the classifier. The data covers a test area established by Purdue University and presents a number of classes (agricultural fields) which are spectrally very similar to each other. The classification accuracy produced by different kernels is investigated as a function of the data dimensionality and compared with the one yielded by the well-known Gaussian Maximum Likelihood classifier. As SVM apply to a pair of classes at a time, a multi-stage classifier structured as a binary tree was developed to deal with the multi-class problem. The tree classifier is initially defined by selecting at each node the most separable pair of classes by using the Bhattacharyya distance as a criterion. These two classes will then be used to define the two descending nodes and the corresponding SVM decision function. This operation is performed at every node across the tree, until the terminal nodes are reached. The required software was developed in MATLAB environment and is also presented in this dissertation.

Filtragem é uma das mais importantes operações em processamento de imagens e vídeos. Em particular, filtros de altas dimensões são ferramentas fundamentais para diversas aplicações, tendo recebido recentemente significativa atenção de pesquisadores da área. Infelizmente, implementações ingênuas desta importante classe de filtros são demasiadamente lentas para muitos usos práticos, especialmente tendo em vista o aumento contínuo na resolução de imagens capturadas digitalmente. Esta dissertação descreve três novas abordagens para filtragem eficiente em altas dimensões: a domain transform, os adaptive manifolds, e uma formulação matemática para a aplicação de filtros recursivos em sinais amostrados não-uniformemente. A domain transform, representa o estado-da-arte em termos de algoritmos para filtragem utilizando métrica geodésica. A inovação desta abordagem é a utilização de um procedimento simples de redução de dimensionalidade para implementar eficientemente filtros de alta dimensão. Isto nos permite a primeira demonstração de filtragem com preservação de arestas em tempo real para vídeos coloridos de alta resolução (full HD). Os adaptive manifolds, representam o estado-da-arte em termos de algoritmos para filtragem utilizando métrica Euclidiana. A inovação desta abordagem é a ideia de subdividir o espaço de alta dimensão em fatias não-lineares de mais baixa dimensão, as quais são filtradas independentemente e finalmente interpoladas para obter uma filtragem de alta dimensão com métrica Euclidiana. Com isto obtemos diversos avanços em relação a técnicas anteriores, como filtragem mais rápida e requerendo menos memória, além da derivação do primeiro filtro Euclidiano com custo linear tanto no número de pixels da imagem (ou vídeo) quanto na dimensionalidade do espaço onde o filtro está operando. Finalmente, introduzimos uma formulação matemática que descreve a aplicação de um filtro recursivo em sinais amostrados de maneira não-uniforme. Esta formulação estende a ideia de filtragem geodésica para filtros recursivos arbitrários (tanto passa-baixa quanto passa-alta e passa-banda). Esta extensão fornece maior controle sobre as respostas desejadas para os filtros, as quais podem então ser melhor adaptadas para aplicações específicas. Como exemplo, demonstramos—pela primeira vez na literatura—filtros geodésicos com formato Gaussiano, Laplaciana do Gaussiano, Butterworth, e Cauer, dentre outros. Com a possibilidade de se trabalhar com filtros arbitrários, nosso método permite uma nova variedade de efeitos para aplicações em imagens e vídeos. / Filtering is arguably the single most important operation in image and video processing. In particular, high-dimensional filters are a fundamental building block for several applications, having recently received considerable attention from the research community. Unfortunately, naive implementations of such an important class of filters are too slow for many practical uses, specially in light of the ever increasing resolution of digitally captured images. This dissertation describes three novel approaches to efficiently perform high-dimensional filtering: the domain transform, the adaptive manifolds, and a mathematical formulation for recursive filtering of non-uniformly sampled signals. The domain transform defines an isometry between curves on the 2D image manifold in 5D and the real line. It preserves the geodesic distance between points on these curves, adaptively warping the input signal so that high-dimensional geodesic filtering can be efficiently performed in linear time. Its computational cost is not affected by the choice of the filter parameters; and the resulting filters are the first to work on color images at arbitrary scales in real time, without resorting to subsampling or quantization. The adaptive manifolds compute the filter’s response at a reduced set of sampling points, and use these for interpolation at all input pixels, so that high-dimensional Euclidean filtering can be efficiently performed in linear time. We show that for a proper choice of sampling points, the total cost of the filtering operation is linear both in the number of pixels and in the dimension of the space in which the filter operates. As such, ours is the first high-dimensional filter with such a complexity. We present formal derivations for the equations that define our filter, providing a sound theoretical justification. Finally, we introduce a mathematical formulation for linear-time recursive filtering of non-uniformly sampled signals. This formulation enables, for the first time, geodesic edge-aware evaluation of arbitrary recursive infinite impulse response filters (not only low-pass), which allows practically unlimited control over the shape of the filtering kernel. By providing the ability to experiment with the design and composition of new digital filters, our method has the potential do enable a greater variety of image and video effects. The high-dimensional filters we propose provide the fastest performance (both on CPU and GPU) for a variety of real-world applications. Thus, our filters are a valuable tool for the image and video processing, computer graphics, computer vision, and computational photography communities.

Atualmente diversos sistemas sensoriais fornecem dados em fluxos e essas observações medidas são frequentemente de alta dimensionalidade, ou seja, o número de variáveis medidas é grande, e as observações chegam em sequência. Este é, em particular, o caso de sistemas de visão em robôs. Aprendizagem supervisionada e não-supervisionada com esses fluxos de dados é um desafio, porque o algoritmo deve ser capaz de aprender com cada observação e depois descartá-la antes de considerar a próxima, mas diversos métodos requerem todo o conjunto de dados a fim de estimar seus parâmetros e, portanto, não são adequados para aprendizagem em tempo real. Além disso, muitas abordagens sofrem com a denominada maldição da dimensionalidade (BELLMAN, 1961) e não conseguem lidar com dados de entrada de alta dimensionalidade. Para superar os problemas descritos anteriormente, este trabalho propõe um novo modelo de rede neural probabilístico e incremental, denominado Local Projection Incremental Gaussian Mixture Network (LP-IGMN), que é capaz de realizar aprendizagem perpétua com dados de alta dimensionalidade, ou seja, ele pode aprender continuamente considerando a estabilidade dos parâmetros do modelo atual e automaticamente ajustar sua topologia levando em conta a fronteira do subespaço encontrado por cada neurônio oculto. O método proposto pode encontrar o subespaço intrísico onde os dados se localizam, o qual é denominado de subespaço principal. Ortogonal ao subespaço principal, existem as dimensões que são ruidosas ou que carregam pouca informação, ou seja, com pouca variância, e elas são descritas por um único parâmetro estimado. Portanto, LP-IGMN é robusta a diferentes fontes de dados e pode lidar com grande número de variáveis ruidosas e/ou irrelevantes nos dados medidos. Para avaliar a LP-IGMN nós realizamos diversos experimentos usando conjunto de dados simulados e reais. Demonstramos ainda diversas aplicações do nosso método em tarefas de reconhecimento de imagens. Os resultados mostraram que o desempenho da LP-IGMN é competitivo, e geralmente superior, com outras abordagens do estado da arte, e que ela pode ser utilizada com sucesso em aplicações que requerem aprendizagem perpétua em espaços de alta dimensionalidade. / Nowadays several sensory systems provide data in ows and these measured observations are frequently high-dimensional, i.e., the number of measured variables is large, and the observations are arriving in a sequence. This is in particular the case of robot vision systems. Unsupervised and supervised learning with such data streams is challenging, because the algorithm should be capable of learning from each observation and then discard it before considering the next one, but several methods require the whole dataset in order to estimate their parameters and, therefore, are not suitable for online learning. Furthermore, many approaches su er with the so called curse of dimensionality (BELLMAN, 1961) and can not handle high-dimensional input data. To overcome the problems described above, this work proposes a new probabilistic and incremental neural network model, called Local Projection Incremental Gaussian Mixture Network (LP-IGMN), which is capable to perform life-long learning with high-dimensional data, i.e., it can continuously learn considering the stability of the current model's parameters and automatically adjust its topology taking into account the subspace's boundary found by each hidden neuron. The proposed method can nd the intrinsic subspace where the data lie, which is called the principal subspace. Orthogonal to the principal subspace, there are the dimensions that are noisy or carry little information, i.e., with small variance, and they are described by a single estimated parameter. Therefore, LP-IGMN is robust to di erent sources of data and can deal with large number of noise and/or irrelevant variables in the measured data. To evaluate LP-IGMN we conducted several experiments using simulated and real datasets. We also demonstrated several applications of our method in image recognition tasks. The results have shown that the LP-IGMN performance is competitive, and usually superior, with other stateof- the-art approaches, and it can be successfully used in applications that require life-long learning in high-dimensional spaces.

É de conhecimento geral que, em alguns casos, as classes são espectralmente muito similares e que não é possível separá-las usando dados convencionais em baixa dimensionalidade. Entretanto, estas classes podem ser separáveis com um alto grau de acurácia em espaço de alta dimensão. Por outro lado, classificação de dados em alta dimensionalidade pode se tornar um problema para classificadores paramétricos, como o Máxima Verossimilhança Gaussiana (MVG). Um grande número de variáveis que caracteriza as imagens hiperespectrais resulta em um grande número de parâmetros a serem estimados e, geralmente, tem-se um número limitado de amostras de treinamento disponíveis. Essa condição causa o fenômeno de Hughes que consiste na gradual degradação da acurácia com o aumento da dimensionalidade dos dados. Neste contexto, desperta o interesse a utilização de classificadores não-paramétricos, como é o caso de Support Vector Machines (SVM). Nesta dissertação é analisado o desempenho do classificador SVM quando aplicado a imagens hiperespectrais de sensoriamento remoto. Inicialmente os conceitos teóricos referentes à SVM são revisados e discutidos. Em seguida, uma série de experimentos usando dados AVIRIS são realizados usando diferentes configurações para o classificador. Os dados cobrem uma área de teste da Purdue University e apresenta classes de culturas agrícolas espectralmente muito similares. A acurácia produzida na classificação por diferentes kernels são investigadas em função da dimensionalidade dos dados e comparadas com as obtidas com o classificador MVG. Como SVM é aplicado a um par de classes por vez, desenvolveu-se um classificador multi-estágio estruturado em forma de árvore binária para lidar como problema multi-classe. Em cada nó, a seleção do par de classes mais separáveis é feita pelo critério distância de Bhattacharyya. Tais classes darão origem aos nós descendentes e serão responsáveis por definir a função de decisão SVM. Repete-se este procedimento em todos os nós da árvore, até que reste apenas uma classe por nó, nos chamados nós terminais. Os softwares necessários foram desenvolvidos em ambiente MATLAB e são apresentados na dissertação. Os resultados obtidos nos experimentos permitem concluir que SVM é uma abordagem alternativa válida e eficaz para classificação de imagens hiperespectrais de sensoriamento remoto. / This dissertation deals with the application of Support Vector Machines (SVM) to the classification of remote sensing high-dimensional image data. It is well known that in many cases classes that are spectrally very similar and thus not separable when using the more conventional low-dimensional data, can nevertheless be separated with an high degree of accuracy in high dimensional spaces. Classification of high-dimensional image data can, however, become a challenging problem for parametric classifiers such as the well-known Gaussian Maximum Likelihood. A large number of variables produce an also large number of parameters to be estimated from a generally limited number of training samples. This condition causes the Hughes phenomenon which consists in a gradual degradation of the accuracy as the data dimensionality increases beyond a certain value. Non-parametric classifiers present the advantage of being less sensitive to this dimensionality problem. SVM has been receiving a great deal of attention from the international community as an efficient classifier. In this dissertation it is analyzed the performance of SVM when applied to remote sensing hyper-spectral image data. Initially the more theoretical concepts related to SVM are reviewed and discussed. Next, a series of experiments using AVIRIS image data are performed, using different configurations for the classifier. The data covers a test area established by Purdue University and presents a number of classes (agricultural fields) which are spectrally very similar to each other. The classification accuracy produced by different kernels is investigated as a function of the data dimensionality and compared with the one yielded by the well-known Gaussian Maximum Likelihood classifier. As SVM apply to a pair of classes at a time, a multi-stage classifier structured as a binary tree was developed to deal with the multi-class problem. The tree classifier is initially defined by selecting at each node the most separable pair of classes by using the Bhattacharyya distance as a criterion. These two classes will then be used to define the two descending nodes and the corresponding SVM decision function. This operation is performed at every node across the tree, until the terminal nodes are reached. The required software was developed in MATLAB environment and is also presented in this dissertation.

Atualmente diversos sistemas sensoriais fornecem dados em fluxos e essas observações medidas são frequentemente de alta dimensionalidade, ou seja, o número de variáveis medidas é grande, e as observações chegam em sequência. Este é, em particular, o caso de sistemas de visão em robôs. Aprendizagem supervisionada e não-supervisionada com esses fluxos de dados é um desafio, porque o algoritmo deve ser capaz de aprender com cada observação e depois descartá-la antes de considerar a próxima, mas diversos métodos requerem todo o conjunto de dados a fim de estimar seus parâmetros e, portanto, não são adequados para aprendizagem em tempo real. Além disso, muitas abordagens sofrem com a denominada maldição da dimensionalidade (BELLMAN, 1961) e não conseguem lidar com dados de entrada de alta dimensionalidade. Para superar os problemas descritos anteriormente, este trabalho propõe um novo modelo de rede neural probabilístico e incremental, denominado Local Projection Incremental Gaussian Mixture Network (LP-IGMN), que é capaz de realizar aprendizagem perpétua com dados de alta dimensionalidade, ou seja, ele pode aprender continuamente considerando a estabilidade dos parâmetros do modelo atual e automaticamente ajustar sua topologia levando em conta a fronteira do subespaço encontrado por cada neurônio oculto. O método proposto pode encontrar o subespaço intrísico onde os dados se localizam, o qual é denominado de subespaço principal. Ortogonal ao subespaço principal, existem as dimensões que são ruidosas ou que carregam pouca informação, ou seja, com pouca variância, e elas são descritas por um único parâmetro estimado. Portanto, LP-IGMN é robusta a diferentes fontes de dados e pode lidar com grande número de variáveis ruidosas e/ou irrelevantes nos dados medidos. Para avaliar a LP-IGMN nós realizamos diversos experimentos usando conjunto de dados simulados e reais. Demonstramos ainda diversas aplicações do nosso método em tarefas de reconhecimento de imagens. Os resultados mostraram que o desempenho da LP-IGMN é competitivo, e geralmente superior, com outras abordagens do estado da arte, e que ela pode ser utilizada com sucesso em aplicações que requerem aprendizagem perpétua em espaços de alta dimensionalidade. / Nowadays several sensory systems provide data in ows and these measured observations are frequently high-dimensional, i.e., the number of measured variables is large, and the observations are arriving in a sequence. This is in particular the case of robot vision systems. Unsupervised and supervised learning with such data streams is challenging, because the algorithm should be capable of learning from each observation and then discard it before considering the next one, but several methods require the whole dataset in order to estimate their parameters and, therefore, are not suitable for online learning. Furthermore, many approaches su er with the so called curse of dimensionality (BELLMAN, 1961) and can not handle high-dimensional input data. To overcome the problems described above, this work proposes a new probabilistic and incremental neural network model, called Local Projection Incremental Gaussian Mixture Network (LP-IGMN), which is capable to perform life-long learning with high-dimensional data, i.e., it can continuously learn considering the stability of the current model's parameters and automatically adjust its topology taking into account the subspace's boundary found by each hidden neuron. The proposed method can nd the intrinsic subspace where the data lie, which is called the principal subspace. Orthogonal to the principal subspace, there are the dimensions that are noisy or carry little information, i.e., with small variance, and they are described by a single estimated parameter. Therefore, LP-IGMN is robust to di erent sources of data and can deal with large number of noise and/or irrelevant variables in the measured data. To evaluate LP-IGMN we conducted several experiments using simulated and real datasets. We also demonstrated several applications of our method in image recognition tasks. The results have shown that the LP-IGMN performance is competitive, and usually superior, with other stateof- the-art approaches, and it can be successfully used in applications that require life-long learning in high-dimensional spaces.

Filtragem é uma das mais importantes operações em processamento de imagens e vídeos. Em particular, filtros de altas dimensões são ferramentas fundamentais para diversas aplicações, tendo recebido recentemente significativa atenção de pesquisadores da área. Infelizmente, implementações ingênuas desta importante classe de filtros são demasiadamente lentas para muitos usos práticos, especialmente tendo em vista o aumento contínuo na resolução de imagens capturadas digitalmente. Esta dissertação descreve três novas abordagens para filtragem eficiente em altas dimensões: a domain transform, os adaptive manifolds, e uma formulação matemática para a aplicação de filtros recursivos em sinais amostrados não-uniformemente. A domain transform, representa o estado-da-arte em termos de algoritmos para filtragem utilizando métrica geodésica. A inovação desta abordagem é a utilização de um procedimento simples de redução de dimensionalidade para implementar eficientemente filtros de alta dimensão. Isto nos permite a primeira demonstração de filtragem com preservação de arestas em tempo real para vídeos coloridos de alta resolução (full HD). Os adaptive manifolds, representam o estado-da-arte em termos de algoritmos para filtragem utilizando métrica Euclidiana. A inovação desta abordagem é a ideia de subdividir o espaço de alta dimensão em fatias não-lineares de mais baixa dimensão, as quais são filtradas independentemente e finalmente interpoladas para obter uma filtragem de alta dimensão com métrica Euclidiana. Com isto obtemos diversos avanços em relação a técnicas anteriores, como filtragem mais rápida e requerendo menos memória, além da derivação do primeiro filtro Euclidiano com custo linear tanto no número de pixels da imagem (ou vídeo) quanto na dimensionalidade do espaço onde o filtro está operando. Finalmente, introduzimos uma formulação matemática que descreve a aplicação de um filtro recursivo em sinais amostrados de maneira não-uniforme. Esta formulação estende a ideia de filtragem geodésica para filtros recursivos arbitrários (tanto passa-baixa quanto passa-alta e passa-banda). Esta extensão fornece maior controle sobre as respostas desejadas para os filtros, as quais podem então ser melhor adaptadas para aplicações específicas. Como exemplo, demonstramos—pela primeira vez na literatura—filtros geodésicos com formato Gaussiano, Laplaciana do Gaussiano, Butterworth, e Cauer, dentre outros. Com a possibilidade de se trabalhar com filtros arbitrários, nosso método permite uma nova variedade de efeitos para aplicações em imagens e vídeos. / Filtering is arguably the single most important operation in image and video processing. In particular, high-dimensional filters are a fundamental building block for several applications, having recently received considerable attention from the research community. Unfortunately, naive implementations of such an important class of filters are too slow for many practical uses, specially in light of the ever increasing resolution of digitally captured images. This dissertation describes three novel approaches to efficiently perform high-dimensional filtering: the domain transform, the adaptive manifolds, and a mathematical formulation for recursive filtering of non-uniformly sampled signals. The domain transform defines an isometry between curves on the 2D image manifold in 5D and the real line. It preserves the geodesic distance between points on these curves, adaptively warping the input signal so that high-dimensional geodesic filtering can be efficiently performed in linear time. Its computational cost is not affected by the choice of the filter parameters; and the resulting filters are the first to work on color images at arbitrary scales in real time, without resorting to subsampling or quantization. The adaptive manifolds compute the filter’s response at a reduced set of sampling points, and use these for interpolation at all input pixels, so that high-dimensional Euclidean filtering can be efficiently performed in linear time. We show that for a proper choice of sampling points, the total cost of the filtering operation is linear both in the number of pixels and in the dimension of the space in which the filter operates. As such, ours is the first high-dimensional filter with such a complexity. We present formal derivations for the equations that define our filter, providing a sound theoretical justification. Finally, we introduce a mathematical formulation for linear-time recursive filtering of non-uniformly sampled signals. This formulation enables, for the first time, geodesic edge-aware evaluation of arbitrary recursive infinite impulse response filters (not only low-pass), which allows practically unlimited control over the shape of the filtering kernel. By providing the ability to experiment with the design and composition of new digital filters, our method has the potential do enable a greater variety of image and video effects. The high-dimensional filters we propose provide the fastest performance (both on CPU and GPU) for a variety of real-world applications. Thus, our filters are a valuable tool for the image and video processing, computer graphics, computer vision, and computational photography communities.