This thesis consists of three articles investigating the asymptotic behaviour of cosmological spacetimes with symmetries arising in Mathematical General Relativity. In Paper A and B, we consider spacetimes with Bianchi symmetry and where the matter model is that of a perfect fluid. We investigate the behaviour of such spacetimes close to the initial singularity ('Big Bang'). In Paper A, we prove that the Strong Cosmic Censorship conjecture holds in non-exceptional Bianchi class B spacetimes. Using expansion-normalised variables, we further show detailed asymptotic estimates. In Paper B, we prove similar estimates in the case of stiff fluids. In Paper C, we consider T2-symmetric spacetimes satisfying the Einstein equations for a non-linear scalar field. To given initial data, we show global existence and uniqueness of solutions to the corresponding differential equations for all future times. In the special case of a constant potential, a setting which is equivalent to a linear scalar field on a background with a positive cosmological constant, we investigate in detail the asymptotic behaviour towards the future. We prove that the Cosmic No-Hair conjecture holds for solutions satisfying an additional a priori estimate, an estimate which we show to hold in T3-Gowdy symmetry. / Denna avhandling består av tre artiklar som undersöker det asymptotiska beteendet hos kosmologiska rumstider med symmetrier som uppstår i Matematisk Allmän Relativitetsteori. I Artikel A och B studerar vi rumstider med Bianchi symmetri och där materiemodellen är en ideal fluid. Vi undersöker beteendet av sådana rumstider nära ursprungssingulariteten ('Big Bang'). I Artikel A bevisar vi att den Starka Kosmiska Censur-förmodan håller för icke-exceptionella Bianchi klass B-rumstider. Med hjälp av expansions-normaliserade variabler visar vi detaljerade asymptotiska uppskattningar. I Artikel B visar vi liknande uppskattningar för stela fluider. I Artikel C betraktar vi T2-symmetriska rumstider som uppfyller Einsteins ekvationer för ett icke-linjärt skalärfält. För givna begynnelsedata visar vi global existens och entydighet av lösningar till motsvarande differentialekvationer för all framtid. I det speciella fallet med en konstant potential, en situation som motsvarar ett linjärt skalärfält på en bakgrund med en positiv kosmologisk konstant, undersöker vi i detalj det asymptotiska beteendet mot framtiden. Vi visar att den Kosmiska Inget-Hår-förmodan håller för lösningar som uppfyller en ytterligare a priori uppskattning, en uppskattning som vi visar gäller i T3-Gowdy-symmetri. / <p>QC 20171220</p>