Cette thèse concerne la géométrie asymptotique de variétés riemanniennes complètes non compactes, dont la courbure tend vers zéro à l'infini, assez vite. Afin de compléter des travaux déjà existants, on s'attache à comprendre le cas où la croissance du volume est non maximale, c'est-à-dire strictement moins rapide que dans l'espace euclidien de même dimension. Dans ce contexte, on prouve tout d'abord une inégalité de Sobolev à poids et une inégalité de Hardy, qui permettent de généraliser nombre de résultats établis quand la croissance du volume est maximale. On obtient en particulier des résultats de rigidité et de finitude de la topologie pour des variétés Ricci plates et asymptotiquement plates. On obtient ensuite un résultat de structure asymptotique pour une classe d'instantons gravitationnels : typiquement, ceux qui ont une croissance du volume cubique sont asymptotes à des fibrations en cercles au-dessus d'une variété asymptotiquement localement euclidienne .

Ce travail de thèse s'intéresse à la résolution d'équations de Monge-Ampère complexes et à ses applications sur certains types de variétés non compactes. Ce mémoire décrit plus précisément deux situations distinctes dans lesquelles on résout des équations de Monge-Ampère, avant de tirer les conséquences de ces résolutions. Dans une première partie, on travaille sur le complémentaire d'un diviseur à croisements normaux dans une variété kählérienne compacte. On fixe sur le complémentaire du diviseur une classe de métriques kählériennes à singularités cusp le long du diviseur. Pour construire des géodésiques entre métriques de cette classe, on résout une équation de Monge-Ampère homogène, sur le produit de notre ouvert de Zariski par une surface de Riemann à bord. On applique cette construction à un résultat d'unicité de métriques à courbure scalaire constante dans la classe considérée ; on résout encore pour cela une équation de Monge-Ampère avec second membre sur le complémentaire du diviseur. On exhibe enfin des obstructions topologiques à l'existence de métriques à courbure scalaire constante au sein des classes de métriques kählériennes singulières envisagées. La seconde partie du mémoire traite d'une construction analytique d'instantons gravitationnels ALF, ou variétés complètes de dimension 4, hyperkählériennes, à croissance cubique du volume. On donne la construction d'instantons diédraux ; on considère plus exactement des résolutions de singularités kleiniennes diédrales. Le traitement d'une équation de Monge-Ampère, donné pour des variétés kählériennes ALF assez générales, nous permet sur nos exemples de corriger un prototype simple pour obtenir la métrique hyperkählérienne recherchée.