l. Introduction In these notes we shall present results concerning LP inequalities with different but related weights for commutators of singular and strongly singular integrals. These commutators turn out to be controlled by commutator of fractional order of the Hardy-Littlewood maximal operator. The boundedness properties are obtained by extrapolation from infinity. These notes are based mainly on [G-H-S-T].

The present paper is in continuation to authors earlier paper {9} where two variable analogues of certain fractional integral operators of M. Saigo were investigated. This paper deals with the effect of operating two variable analogues of Mellin and Laplace transforms on these two variable analogues of fractional integral operators of the earlier paper.

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Imaginémonos un circuito eléctrico en el plano xy, de forma totalmente arbitraria, intensidad I y una línea serpenteante L que se desplaza en la dirección del eje z, desde z = - ∞ hasta z = + ∞. La corriente I genera campos magnéticos B en todos los puntos del espacio. Si se nos planteara la siguiente pregunta: Cuánto vale la integral de línea del campo B a lo largo de la curva L, la pregunta nos parecería bastante descabellada, pues no se precisa la forma del circuito ni de la línea L, omisiones que impiden iniciar cálculo alguno. Aún en el caso que se supiera la forma exacta del circuito, no es una tarea nada fácil calcular el campo B, menos aún su integral a lo largo de L. Sin embargo, lo cierto es que sí existe una respuesta al problema y es muy sencilla su obtención empleando la Ley de Ampere.

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The Paper deals with a two variable analogues of certain fractional integral operators introduced by M. Saigo. Besides giving two variable analogues of earlier known fractional integral operators of one variable as special cases of newly defined operators, the paper establishes certain results in the form of theorems including integration by parts.

Hacemos una breve introducción al origen y a algunos resultados, métodos y problemas abiertos conectados a la Hipótesis de Riemann

El estudio de la mecánica cuántica en espacios de configuración no triviales dista mucho de estar agotado y constituye un problema de amplio interés actualmente. Por ejemplo, no existe acuerdo sobre cuál es la ecuación de Schrödinger adecuada que contemple la dependencia con respecto a la curvatura espacial de la variedad, es decir el equivalente a una ecuación de Schrödinger para casos de curvatura distinta de cero, la cual en el límite reproduzca la cuántica usual. En esta tesis se estudian métodos de cuantización inspirados en las integrales de Feynman para espacios de configuración que generalizan el euclidiano. En el caso de grupos de Lie con una métrica bi-invariante, se construye un propagador infinitesimal por medio de la integración en el álgebra de Lie del grupo vía el mapa exponencial. Se obtiene una ecuación de Schrödinger modificada que incluye un potencial correspondiente a la curvatura escalar de la variedad. También se estudian métodos de cuantización holomorfa como el desarrollado por B. C. Hall [57, 59, 61, 62], se los relaciona con la transformada de Segal-Bargmann y se los conecta con integrales de Feynman, lo cual nos permite obtener resultados originales. Se define un propagador infinitesimal que genera la evolución cuántica. La medida de integración usada surge de la solución fundamental de la ecuación del calor en la complexificación de la variedad. En el caso de variedades riemannianas conexas orientables de curvatura cero (euclidean space form) se muestra que existe un isomorfismo natural entre el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el espacio de configuración y el espacio de funciones holomorfas de cuadrado integrable en el espacio fase. Los productos escalares son definidos con una medida dada por la solución fundamental de la ecuación del calor en cada espacio. Este espacio de funciones holomorfas en el espacio fase resulta ser un espacio de Hilbert con núcleo reproductor (reproducing kernel Hilbert space). Haciendo uso de la existencia de un núcleo reproductor se obtiene el isomorfismo mencionado y una integral de Feynman que coincide con las expresiones conocidas para el caso euclidiano, ver [27, 139]. En particular, las euclidean space forms de dimensión 3 orientables compactas presentan especial interés en cosmología, dado que permiten modelar la parte espacial de los llamados modelos de universo plano [34]. Ver el trabajo más reciente de J. Levin et al., en donde se busca desarrollar un modelo cosmológico plausible usando euclidean space forms orientables y compactas de dimensión 3 de acuerdo con los resutados de observaciones del fondo de radiación cósmico [98, 99, 100, 97]. / The study of quantum mechanics on nontrivial configuration spaces is far from being exhausted and it is a topic of current wide interest. For instance, there is no agreement on which is the appropriate Schrödinger equation that considers the dependence on the spatial curvature of the manifold, i. e. the equivalent of a Schrödinger equation for cases of non-zero curvature, which in the limit, reproduces the usual quantum mechanics. In this thesis, quantization methods inspired by Feynman integrals for confi- guration spaces, which generalize the Euclidean case, are studied. In the case of Lie groups with a bi-invariant metric, an infinitesimal propagator is constructed by integrating in the Lie algebra of the group via the exponential map. A modified Schrödinger equation is obtained, which includes a potential corresponding to the scalar curvature of the manifold. Also, holomorphic quantization methods are studied following Hall [57, 59, 61, 62], specifically in association with the Segal-Bargmann transform and the connection with Feynman integrals, which allows us to obtain original results. An infinitesimal propagator is defined, in order to obtain the quantum evolution. The measure of integration used arises from the fundamental solution of the heat equation in the complexification of the manifold. In the case of an orientable connected compact at Riemannian manifold (euclidean space form) it is shown that there is a natural isomorphism between the Hilbert space of square integrable complex functions on the configuration space and the space of square integrable holomorphic functions on the phase space. The scalar products are defined with a measure given by the fundamental solution of the heat equation on each space. This space of holomorphic functions on the phase space turns out to be a reproducing kernel Hilbert space. Taking advantage of the existence of a reproducing kernel, the above mentioned isomorphism and a path integral are obtained, the latter of which coincides with the known expressions in the euclidean case, see [27, 139]. In particular, the 3-dimensional orientable compact euclidean space forms present a particular interest for cosmology, since they could model the spatial part of the flat-universe models [34]. See the most recent works of J. Levin et al. [98, 99, 100, 97], which seek to develop a plausible cosmological model using orientable compact euclidean space forms of dimension 3 in agreement with results of observations made on the cosmic microwave background radiation.

El objetivo de este trabajo es hacer un estudio de las propiedades cualitativas de cierta clase de ecuaciones en diferencias de Volterra, se muestran algunos criterios de estabilidad, acotación y periodicidad para las soluciones, una de las principales formas através da cual haremos tal análisis es mediante el uso de funciones auxiliares apropiadas, las cuales son conocidas como funciones de Lyapunov. También se muestran algunos métodos de aproximación numérica para las soluciones de ecuaciones integrales de volterra y se estudia el error al aplicar el método de cuadratura de newton cotes, que nos conduce a una ecuación en diferencias de Volterra para el error, también se muestran algunos otros métodos como aproximación con polinomios ortogonales, polinomios de Bernstein y splines lineales y la simulación numérica correspondiente usando matlab. -- PALABRAS CLAVE: Ecuaciones en Diferencias, Ecuaciones en Diferencias de Volterra, Ecuaciones Integrales, Métodos de Cuadratura, Interpolación Polinomial / -- The objective of this work is do a study of the qualitative properties of certain kind of Volterra difference equations. We will show some criteria of stability, boundedness and periodicity for the solutions, One of the principal forms for means of whom we will do such analysis is using auxiliary function appropriate which is known and calls Lyapunov function. We will also show some methods of numerical approximation for solutions Volterra integral equations, we will study the error when using the method of quadrature of Newton cotes, this conducts us a Volterra difference equation for the error. We will also show methods approximation with orthogonal polynomials, polynomials of Bernstein and linear splines and the correspondent numerical simulation using matlab. . -- KEYWORDS : Difference equations Volterra Diference Equations Integral equations, Methods of Quadrature, Polynomial Interpolation / Tesis

Les méthodes intégrales pour résoudre des EDP, et en particulier le système de Maxwell, sont bien connues depuis environ vingt ans. Après discrétisation par éléments finis, un système linéaire plein apparaît, ce qui rend toute implémentation numérique difficile voire impossible. Pour les opérateurs d'ordre positif, quelques travaux ont été menés avec succès pour rendre creuse la matrice du système discret. Quelques difficultés restaient pour le problème de Maxwell: espace(s) d'énergie, présence d'un opérateur d'ordre négatif, et donc choix des ondelettes pour la résolution. Dans cette thèse, je donne une méthode pour ramener le système de Maxwell, issu d'un problème de diffraction en régime harmonique, à une étude sur des espaces de Sobolev classiques définis sur une surface, en utilisant des décompositions de Hodge. Je donne aussi une méthode de compression pourvu que les ondelettes vérifient certaines conditions (moments nuls, stabilité). La méthode de compression donnée fonctionne même avec des ondelettes formées à partir de polynômes de degré un, malgré la présence d'un opérateur d'ordre négatif, sans perturber des taux de convergence optimaux. L'analyse a été faite sur une surface fermée (sans bord) régulière simplement connexe, puis sur une partie à bord polygonal d'une telle surface (plaque ouverte). Les espaces fonctionnels et la compression de matrice, bien plus compliqués dans ce dernier cas, ont été étudiés en détail.