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Centers and isochronicity of some polynomial differential systems / Centros e isocronicidade de alguns sistemas diferenciais polinomiaisFernandes, Wilker Thiago Resende 20 June 2017 (has links)
The center-focus and isochronicity problems are two classic problem in the qualitative theory of ordinary differential equations (ODEs). Although such problems have been studied during more than hundred years a complete understanding of them is far from be reached. Recently the computational algebra tools have been contributing significantly with the development of such problems. The aim of this thesis is to contribute with the studies of the center-focus and isochronicity problem. Using computational algebra tools we find conditions for the existence of two simultaneous centers for a family of quintic systems possessing symmetry. The studies of the simultaneous existence of two centers in differential systems is known as the bi-center problem. We investigate conditions for the isochronicity of centers for families of cubic and quintic systems and we study its global behaviour in the Poincaré disk. Finally, we study the existence of invariant surfaces and first integrals in a family of 3-dimensional systems. Such family is known as the May-Leonard asymmetric system and it appears in modelling, for instance it is a model for the competition of three species. / Os problemas do foco-centro e da isocronicidade são dois problemas clássicos da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias (EDOs). Apesar de tais problemas serem investigados a mais de cem anos ainda pouco se sabe sobre eles. Recentemente o uso e desenvolvimento de ferramentas algebro-computacionais tem contribuído significativamente em seu avanço. O objetivo desta tese é colaborar com o estudo do problema do foco-centro e da isocronicidade. Utilizando ferramentas algebro-computacionais encontramos condições para a existência simultânea de dois centros em famílias de sistemas diferenciais quínticos com simetria. O estudo sobre a existência simultânea de dois centros é também conhecido como problema do bi-centro. Investigamos condições para a isocronicidade de centros para famílias de sistemas cubicos e quínticos e estudamos o comportamento global de suas órbitas no disco de Poincaré. Finalmente, tratamos da existência de superfícies invariantes e integrais primeiras para uma familia de sistemas 3-dimensionais encontrado entre outras situações na modelagem da competição entre três espécies e conhecido como sistema de May-Leonard.
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Ciclos limite e superfícies invariantes em sistemas diferenciais / Limit cycles and invariant surfaces in differential systemsFreitas, Bruno Rodrigues de 13 May 2016 (has links)
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Previous issue date: 2016-05-13 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Goiás - FAPEG / We consider a class of piecewise linear di erential systems in R3 separated by a plane
and we study its global and local dynamics. More precisely, we give conditions to the
existence of invariant surfaces and limit cycles, presenting the maximum number of
limit cycles and characterizing these invariant surfaces. Also, we obtain results about
the T-singularity obtained by a perturbation of piecewise linear di erential systems.
In our approach, we use many techniques, as an extension of the theorem’s Rolle for
vector fields, Theory of Sturm’s sequence, extendedcomplete Tchebyche systems and
extensions of Averaging theory. / Consideramos uma classe de sistemas diferenciais lineares por partes em R3 separados
por umplano e estudamos sua dinâmica global e local. Mais precisamente, damos
condições para a existência de superfícies invariantes e ciclos limite, apresentando o
número máximo de ciclos limite e caracterizando estas superfícies. Obtemos resultados
sobre a T-singularidade obtida por uma perturbação de sistemas diferenciais lineares
por partes. Em nossa abordagem, usamos várias técnicas como uma extensão
do teorema de Rolle para campos, teoria da sequência de Sturm, sistemas estendidos
completos de Tchebyche e extensões da teoria da Média.
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Centers and isochronicity of some polynomial differential systems / Centros e isocronicidade de alguns sistemas diferenciais polinomiaisWilker Thiago Resende Fernandes 20 June 2017 (has links)
The center-focus and isochronicity problems are two classic problem in the qualitative theory of ordinary differential equations (ODEs). Although such problems have been studied during more than hundred years a complete understanding of them is far from be reached. Recently the computational algebra tools have been contributing significantly with the development of such problems. The aim of this thesis is to contribute with the studies of the center-focus and isochronicity problem. Using computational algebra tools we find conditions for the existence of two simultaneous centers for a family of quintic systems possessing symmetry. The studies of the simultaneous existence of two centers in differential systems is known as the bi-center problem. We investigate conditions for the isochronicity of centers for families of cubic and quintic systems and we study its global behaviour in the Poincaré disk. Finally, we study the existence of invariant surfaces and first integrals in a family of 3-dimensional systems. Such family is known as the May-Leonard asymmetric system and it appears in modelling, for instance it is a model for the competition of three species. / Os problemas do foco-centro e da isocronicidade são dois problemas clássicos da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias (EDOs). Apesar de tais problemas serem investigados a mais de cem anos ainda pouco se sabe sobre eles. Recentemente o uso e desenvolvimento de ferramentas algebro-computacionais tem contribuído significativamente em seu avanço. O objetivo desta tese é colaborar com o estudo do problema do foco-centro e da isocronicidade. Utilizando ferramentas algebro-computacionais encontramos condições para a existência simultânea de dois centros em famílias de sistemas diferenciais quínticos com simetria. O estudo sobre a existência simultânea de dois centros é também conhecido como problema do bi-centro. Investigamos condições para a isocronicidade de centros para famílias de sistemas cubicos e quínticos e estudamos o comportamento global de suas órbitas no disco de Poincaré. Finalmente, tratamos da existência de superfícies invariantes e integrais primeiras para uma familia de sistemas 3-dimensionais encontrado entre outras situações na modelagem da competição entre três espécies e conhecido como sistema de May-Leonard.
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