Un morphisme d’espaces de probabilité vers l’espace de Wiener, qui est de plus adapté, peut être associé canoniquement à certaines lois d’équations différentielles stchastiques, une de ses propriétés essentielles étant qu’il est un isomorphisme d’espaces de probabilité si et seulement si l’équation différentielle stochastique associée admet une unique solution forte. Puisqu’on peut le voir comme un mouvement Brownien canoniquement associé à une loi, on lui donnera le nom de transformée Brownienne de la loi, et il s’agira de s’intéresser à son inversibilité. Comme on le verra en la présentant, cette notion, qui s’enracine autour de résultats déjà employés par Fölmer il y a fort longtemps, prolonge naturellement la notion d’inversibilité des dérives adaptées qui a été développée ces dernières années dans les travaux d’Üstünel et de Zakai où elle se trouve déjà en germes, et ouvre naturellement à un large éventail d’applications très concrètes. On sera naturellement amené à envisager des problèmes issus de la théorie du filtrage, de la physique statistique, du contrôle stochastique, du transport optimal, ainsi que la théorie de l’information. En particulier, on donnera un résultat d’unicité trajectorielle très général pour la représentation stochastique de la mécanique quantique en temps Euclidien, et on étendra l’inégalité de Shannon aux espaces de Wiener absraits, cette dernière recevant au passage une jolie interprétation en termes de perte d’information dans un canal Gaussien. On transportera ensuite cette notion d’inversibilité dans des cadres plus géométriques tels que l’espace des chemins à valeurs dans un groupe de Lie. / I this work we investigate a notion of stochastic invertibility on Wiener space. Rougghly speaking a morphism of probability spaces with values on the Wiener space, which is further adapted, can be canonically associated to the laws of the solutions to some stochastic differential equations. One of the main properties of this morphism is to be invertible (i.e. to be an isomorphism of probability spaces) if and only if the underlying stochastic differential equation has a unique strong solution. Since it may be seen as a Brownian motion, we cal it the Brownian transform of the associated law, and we will study the invertibility of this Brownan transform. We will see that this notion, whose origins may be found in earlier results related to stochastic mechanics, extends and enlightens the notion of invertibility of adapted shifts on Wiener space which was investigated by Üstünel and Zakai in their recent papers, where this notion already appears clearly between the lines. Moreover, from the origin many problems arising in various fields are deeply related to this notion. This opens to a wide spectrum of applications, some of them being very concrete. We will investigate problems of various origins such as statistical physics, information theory, filtering, but also stochastic control and optimal transport. For instance, we will prove a very general result of pathwise uniqueness for the stochastic picture of euclidean quantum mechanics, and we will extend Shannon’s inequality to any abstract Wiener spaces. We also show how this notion of invertivility fits naturally in stochastic differencial geometry.

Cette thèse présente l'étude probabiliste et statistique approfondie des modèles bilinéaires à temps discret. On étudie ces modèles à partir de différentes approches (discrète, markovienne). On trouve tout d'abord une présentation globale des modèles non linéaires, la description des outils probabilistes utiles à l'étude des modèles non linéaires, ainsi qu'une présentation des modèles bilinéaires à partir de simulations permettant de mettre en évidence leurs principales caractéristiques trajectorielles. L'approche markovienne s'avère beaucoup plus puissante que l'approche directe. Nous démontrons l'existence d'une représentation markovienne sous la forme d'un modèle polynomial affine en l'état; nous donnons des critères pour la minimalité et l'inversibilité de ces représentations. Sur le plan statistique, nous avons montre la convergence presque sure des estimateurs des moindres carrés. D'autres estimateurs sont aussi envisagés permettant de mettre en place des tests d'adéquation de modèles. Certains travaux de l'auteur (huit articles) ont été publiés et sont regroupés dans l'annexe.

Dans cette thèse nous proposons une nouvelle formulation de la procédure de détection et d'isolation de défauts provenant des actionneurs pour les systèmes dynamiques. Habituellement, un système de commande se compose de trois parties : les capteurs, le procédé et les actionneurs. L'actionneur est un dispositif interne avec sa propre structure et ses caractéristiques dynamiques. Dans la majorité des études, il est considéré tout simplement et d'une manière approximative comme des coefficients constants, mais ce type de formulation d'actionneur n'est pas efficace pour l'identification exacte des défauts issus des organes de commande pour les systèmes réels. Dans le but de s'approcher de la réalité et aussi pour améliorer l'efficacité du diagnostic, nous allons considérer l'actionneur comme un sous-système connecté en cascade avec le procédé. En utilisant cette nouvelle formulation, les défauts actionneurs peuvent être modélisés en les considérant comme étant un changement au niveau des paramètres internes de ce sous-système actionneur. Nous supposons que la sortie de l'actionneur qui représente aussi l'entrée du système dynamique est non mesurable, donc nous allons obtenir l'information sur les défauts actionneurs seulement à partir de la variable de sortie du procédé. Une question intéressante peut se poser lors de l'implantation de la procédure de diagnostic des défauts actionneurs: est ce que l'information sur les défauts actionneurs peut être complètement vue à la sortie du système dynamique ? Cet apport informationnel constitue le problème primordial pour concevoir la procédure de diagnostic désirée. Pour décrire cette nouvelle reformulation, nous avons introduit quelques notions sur les systèmes inverses et nous avons donné également une condition de rang pour l'inversibilté à gauche des systèmes linéaires. Le but de l'étude de ces notions est de trouver les conditions satisfaisantes qui vont permettre la détection de défauts provenant de l'actionneur. Pour l'isolation des défauts, nous avons utilisé une approche basée sur les observateurs par intervalles. En effet, cette méthode nous a permis d'isoler les défauts d'une manière très rapide. L'ensemble des résultats présentés ont été illustrés par un exemple de simulation sur un réacteur nucléaire montrant l'efficacité de la méthode pour l'isolation de défaut.