Dans cette thèse nous étudions des sommes exponentielles et des intégrales p-adiques, en utilisant la théorie des modèles et la géométrie. La première partie traite des sommes exponentielles dans des corps P-minimaux. La deuxième partie examine le comportement asymptotique des sommes exponentielles sur les corps p-adiques. Dans la première partie nous commençons par démontrer une théorème de décomposition cellulaire pour tous les corps P-minimaux, c.-à-d. indépendamment de l’existence des fonctions de Skolem définissables. En l’absence de ces fonctions nous introduisons les cellules en grappe régulières, inspirés par la notion classique de cellule p-adique de Denef. Notre décomposition cellulaire utilise les cellules classiques et les cellules en grappe régulières. Ensuite nous étendons la notion de fonction constructible exponentielle des structures semi-algébriques et sous-analytiques à tous les corps P-minimaux. Pour cela nous ajoutons des sommes exponentielles aux algèbres des fonctions constructibles. En utilisant notre décomposition cellulaire, nous démontrons que les fonctions constructibles exponentielles sont stables dans le contexte d’intégration. Cela signifie que l’intégration d’une fonction constructible exponentielle sur certaines de ses variables produit une fonction constructible exponentielle dans les autres variables. Dans la deuxième partie nous démontrons les conjectures d’Igusa, Denef-Sperber et Cluckers-Veys sur le comportement asymptotique des sommes exponentielles pour les polynômes dont le seuil log-canonique ne dépasse pas un demi. Nous apportons deux démonstrations ; l’une utilise l’intégration motivique et l’autre les fonctions zêtas d’Igusa. / In this thesis we study p-adic exponential sums and integrals using ideas from model theory and geometry. The first part of this thesis deals with exponential sums in P-minimal fields. The second part discusses estimates for the asymptotic behaviour of exponential sums over p-adic fields. Our work on P-minimal fields starts with the proof of a cell decomposition theorem that holds in all P-minimal fields, i.e., independently of the existence of definable Skolem functions. For P-minimal fields that lack these functions, we introduce the notion of regular clustered cells. This notion is close to the classical notion of p-adic cells, that was introduced by Denef. Our cell decomposition uses both classical cells and regular clustered cells. Next, we extend the notion of exponential-constructible functions, already defined in the semi-algebraic and subanalytic setting, to all P-minimal fields. We do this by enlarging the algebras of constructible functions with exponential sums. Using our cell decomposition theorem we prove that exponential-constructible functions are stable under integration. This means that the act of integrating an exponential-constructible function over some of its variables produces an exponential-constructible function in the other variables. In our work on estimates for the asymptotic behaviour of exponential sums we prove the Igusa, Denef-Sperber and Cluckers-Veys conjectures for polynomials with log-canonical threshold at most one half. We give two different proofs, one using motivic integration, and the other one using the Igusa zeta functions.

Dans cette thèse, on étudie deux thèmes, a priori différents mais qui rentrent dans le cadre des systèmes dynamiques : les échanges d’intervalles, la résolution d’équations cohomologiques et la description explicite des distributions invariantes par certains difféomorphismes d’un groupe de Lie compact.1 - On établit un critère d'existence de fonctions propres continues non constantes pour les échangesd'intervalles, c'est-à-dire de non mélange faible topologique. On construit pour tout entier m > 3des échanges de m intervalles de rang 2 uniquement ergodiques et non topologiquement faiblementmélangeants. Nous répondons aussi à une question de Ferenczi et Zamboni. On construit aussi pourtout entier pair m ≥ 4 des échanges de m intervalles possédant des valeurs propres irrationnelles et desvaleurs propres rationnelles (avec fonctions propres associées continues par morceaux) et qui sont soituniquement ergodiques, soit non minimaux.2 - On montre qu’un échange d’intervalles affine, dont les pentes sont des puissances d’un mêmeentier n, et dont les coupures et leurs images sont des rationnels , a une dynamique très simple : toutesses orbites sont propres et il possède une orbite périodique ou un cycle périodique.3 - On traite deux questions d’analyse sur un groupe de Lie connexe compact G. i) Soient a ∈ Get γ le difféomorphisme de G donné par γ(x) = ax (translation `a gauche par a). On donne lesconditions nécessaires et suffisantes pour que l’équation cohomologique f − f ◦ γ = g admette dessolutions dans l’espace de Fréchet C∞(G) des fonctions complexes C∞ sur G. ii) Lorsque G est le toreTn, on détermine explicitement les distributions sur Tn invariantes par un automorphisme affine γ i.e.γ(x) = Ax + a avec A ∈ GL(n, Z) et a ∈ Tn.4 - On donne des résultats obtenus dans 3) une application aux déformations infinitésimales d’unfeuilletage obtenu par suspension d’une translation d’un groupe de Lie compact. / In this thesis, we study two subjects, which are priori different but are within the scopeof dynamical systems: interval exchange, the resolution of cohomological equationsand the explicit description of invariant distributions by a diffeomorphism on a compactLie group.1. We prove a criterion for the existence of continuous non constant eigenfunc-tions for interval exchange transformations which are non topologically weakly mixing.We first construct, for any m > 3, uniquely ergodic interval exchange transforma-tions of Q-rank 2 with irrational eigenvalues associated to continuous eigenfunctionswhich are not topologically weakly mixing; this answers a question of Ferenczi andZamboni [5]. Moreover we construct, for any even integer m ≥ 4, interval exchangetransformations of Q-rank 2 with both irrational eigenvalues (associated to continuouseigenfunctions) and non trivial rational eigenvalues (associated to piecewise continu-ous eigenfunctions); these examples can be chosen to be either uniquely ergodic ornon minimal.2. We prove that an affine interval exchange, whose slopes are integer powers ofthe same integer n, and whose cuts and their images are rational, has a very simpledynamic: all its orbits are proper and it has a periodic orbit or a periodic cycle.3. A third section deals with two analytic questions on a connected compact Liegroup G. i) Let a ∈ G and denote by γ the diffeomorphism of G given by γ(x) = ax(left translation by a). We give necessary and sufficient conditions for the existenceof solutions of the cohomological equation f − f ◦ γ = g on the Fr´echet space C∞(G)of complex C∞ functions on G. ii) When G is the torus Tn, we compute explicitly thedistributions on Tn invariant by an affine automorphism γ, that is, γ(x) = Ax+a withA ∈ GL(n, Z) and a ∈ Tn.4. We apply the results of the preceding section to describe the infinitesimaldeformations of a foliation obtained by suspension of a translation associated to anelement on a compact Lie group.

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques aspects de la récurrence de trois classes de systèmes dynamiques : systèmes dynamiques $p$-adiques polynomiaux, systèmes topologiques ayant la propriété de spécification et système de Gauss associé aux fractions continues.<br /><br />Dans une première partie, on étudie d'abord les polynômes à coefficients dans $\mathbb{Z}_p$ d'ordre supérieur à $2$, comme des systèmes dynamiques sur $\mathbb{Z}_p$. Nous prouvons que pour un tel système, $\mathbb{Z}_p$ est composé des composants minimaux et de leurs bassins d'attraction. Pour tout polynôme quadratique sur $\mathbb{Z}_2$, nous exhibons tous ses composants minimaux. On étudie également les polynômes localement dilatants et transitifs. Nous montrons que la restriction d'un tel polynôme sur son ensemble de Julia est conjugué à un sous-shift de type fini.<br /><br />Dans une deuxième partie, nous prouvons que pour un système dynamique compact ayant la propriété de spécification, l'entropie topologique de l'ensemble des points génériques d'une mesure invariante est égale à l'entropie de la mesure. En corollaire, nous établissons un principe variationnel pour le spectre d'entropie topologique des moyennes de Birkhoff à valeurs dans un espace de Banach.<br /><br />La dernière partie est consacrée à l'étude des fractions continues. Nous trouvons en s'appuyant sur la théorie de l'opérateur de Ruelle, les spectres multifractals complets de l'exposant de Khintchine et de l'exposant de Lyapunov, qui ne sont ni concaves ni convexes. Notre résultat sur le spectre de Lyapunov complète celui de Pollicott et Weiss. Nous avons aussi bien étudié les fractions continues extrêmement non-normales et la fréquence des quotients partiels. Notre travail sur la fréquence complète celui de Billingsley et Henningsen.

Cette thèse présente l'étude probabiliste et statistique approfondie des modèles bilinéaires à temps discret. On étudie ces modèles à partir de différentes approches (discrète, markovienne). On trouve tout d'abord une présentation globale des modèles non linéaires, la description des outils probabilistes utiles à l'étude des modèles non linéaires, ainsi qu'une présentation des modèles bilinéaires à partir de simulations permettant de mettre en évidence leurs principales caractéristiques trajectorielles. L'approche markovienne s'avère beaucoup plus puissante que l'approche directe. Nous démontrons l'existence d'une représentation markovienne sous la forme d'un modèle polynomial affine en l'état; nous donnons des critères pour la minimalité et l'inversibilité de ces représentations. Sur le plan statistique, nous avons montre la convergence presque sure des estimateurs des moindres carrés. D'autres estimateurs sont aussi envisagés permettant de mettre en place des tests d'adéquation de modèles. Certains travaux de l'auteur (huit articles) ont été publiés et sont regroupés dans l'annexe.

Cette thèse est consacrée à l'étude de l'existence d'applications holomorphes entre des sous-variétés réelles dans des espaces complexes. On s'intéresse plus particulièrement à la convergence et à l'approximation à la Artin d'applications formelles entre sous-variétés réelles. Tout d'abord, on montre la convergence des applications formelles de jacobien non identiquement nul entre une sous-variété générique analytique réelle minimale et une sous-variété générique analytique réelle holomorphiquement non dégénérée. Grâce à ce résultat, on obtient la convergence de toutes les applications formelles entre une hypersurface analytique réelle minimale holomorphiquement non dégénérée et une hypersurface qui ne contient pas de courbe holomorphe. D'autre part, on établit la convergence de l'application de réflexion associée à une application formelle de jacobien non identiquement nul entre hypersurfaces lorsque l'hypersurface source est minimale. Cela nous permet ensuite de montrer un résultat d'approximation à la Artin dans ce même cas. Pour finir, on prouve un théorème artinien pour des applications CR lisses entre deux sous-variétés dans des espaces complexes de dimensions différentes.

Dans cette thèse, on étudie deux thèmes, a priori différents mais qui rentrent dans le cadre des systèmes dynamiques : les échanges d'intervalles, la résolution d'équations cohomologiques et la description explicite des distributions invariantes par certains difféomorphismes d'un groupe de Lie compact.1 - On établit un critère d'existence de fonctions propres continues non constantes pour les échangesd'intervalles, c'est-à-dire de non mélange faible topologique. On construit pour tout entier m > 3des échanges de m intervalles de rang 2 uniquement ergodiques et non topologiquement faiblementmélangeants. Nous répondons aussi à une question de Ferenczi et Zamboni. On construit aussi pourtout entier pair m ≥ 4 des échanges de m intervalles possédant des valeurs propres irrationnelles et desvaleurs propres rationnelles (avec fonctions propres associées continues par morceaux) et qui sont soituniquement ergodiques, soit non minimaux.2 - On montre qu'un échange d'intervalles affine, dont les pentes sont des puissances d'un mêmeentier n, et dont les coupures et leurs images sont des rationnels , a une dynamique très simple : toutesses orbites sont propres et il possède une orbite périodique ou un cycle périodique.3 - On traite deux questions d'analyse sur un groupe de Lie connexe compact G. i) Soient a ∈ Get γ le difféomorphisme de G donné par γ(x) = ax (translation 'a gauche par a). On donne lesconditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation cohomologique f − f ◦ γ = g admette dessolutions dans l'espace de Fréchet C∞(G) des fonctions complexes C∞ sur G. ii) Lorsque G est le toreTn, on détermine explicitement les distributions sur Tn invariantes par un automorphisme affine γ i.e.γ(x) = Ax + a avec A ∈ GL(n, Z) et a ∈ Tn.4 - On donne des résultats obtenus dans 3) une application aux déformations infinitésimales d'unfeuilletage obtenu par suspension d'une translation d'un groupe de Lie compact.

Les structures o-minimales, introduites dans les années '80 par Van den Dries et largement étudiées par Wilkie et Macintyre répondent à Grothendick en donnant le cadre d'une géométrie modérée. <br /> <br />Cette thèse montre un théorème du complémentaire explicite pour les<br />structures o-minimales polynomialement bornées, ce qui équivault à la modèle-complétude en théorie des modèles.<br /><br />En 1968, Gabrielov montre un théorème du complémentaire pour<br />les sous-analytiques globaux, qui en implique la o-minimalité. Il améliore ce résultat en 96, avec un théorème explicite. Une généralisation de celui-ci est présentée ici.<br /><br />Par des arguments de valuation dus à Lojaciewicz et à Miller, des propriétés de quasi-analycité sont exhibées, qui permettent d'adapter le schéma classique des preuves de modèle-complétude. Ce résultat permet de mieux comprendre la façon dont sont générées les structures o-minimales et donne un langage réduit sur lequel une structure polynomialement bornée est modèle-complète.

Construire des définitions est essentiel dans l'activité de recherche mathématique et interagit dialectiquement avec la formation de concepts. La recherche présentée dans cette thèse s'est intéressée à la double question : est-il possible de faire émerger un concept, auprès d'étudiants, par des problèmes de construction de définitions, et quels sont les apprentissages en jeu ? La complexité des SCD et l'absence de l'étude de telles situations jusqu'alors nous a conduit au développement d'outils théoriques (du triple point de vue : mathématique, épistémologique et didactique) en vue de les construire, de les réaliser en classe et de les analyser. Ces outils théoriques nous ont permis d'établir une typologie des SCD, d'étudier les conceptions sur la définition chez des philosophes et des mathématiciens, d'analyser la place et le rôle des définitions dans les institutions didactiques, et d'extraire de possibles SCD de quelques travaux didactiques existants relatifs au concept de définition. Nous avons ainsi pu mener une étude des conditions pour la dévolution de telles situations, fondée sur des résultats d'expérimentations menées avec des étudiants de 1ère année d'université. Le choix des situations expérimentées relève de la typologie des SCD établie. Les concepts mathématiques en jeu ont été choisis pour leur accessibilité et leur position institutionnelle particulière : le concept d'arbre (qui vient d'entrer dans les programmes de lycée), les concepts de "générateur" et "libre" dans le plan discret (qui peuvent être considérés comme étant "en amont" des ceux des espaces vectoriels), et l'objet géométrique "droite discrète" (que l'on peut référer à la droite réelle). La variété des situations et concepts mathématiques étudiés nous permet, d'une part, de mieux cerner les conceptions sur la définition les plus répandues chez les enseignants et les étudiants et, d'autre part, d'attester la mise en oeuvre de processus de construction de définitions et de concepts. L'ensemble des résultats développés dans cette thèse devrait permettre d'élaborer des SCD, pour l'enseignement secondaire ou supérieur.

Cette thèse est consacrée à l’étude des groupes linéaires définissables dans les corpsp-adiques. Les tores anisotropes jouent un rôle central tout au long de ce travail. Nousdonnons une description modèle-théorique et algébrique des Qp-tores anisotropes dedimension 1.L’étude des sous-groupes de Cartan de SL2(Qp) (où Qp est un corps élémentairementéquivalent à Qp) nous permet de donner une description complète de tous les sous-groupes définissables de SL2(Qp).Nous nous intéressons également aux groupes linéaires définissables dans des enri-chissements p-minimaux d’un corps p-adiquement clos. Nous introduisons une notionde p-connexité pour les groupes. Et nous établissons que tout groupe linéaire com-mutatif p-connexe définissable dans une telle structure est isomorphe à un groupesemi-algébrique.Enfin des résultats sur la généricité et la générosité dans SL2(Qp) sont donnés. / This thesis is dedicated to the study of linear definable groups in p-adic fields. Ani-sotropic tori play an important role in this work. We give a model-theoretic andalgebraic description of anisotropic Qp-tori of dimension 1.The study of Cartan subgroups in SL2(Qp) (where Qp is a field elementarily equi-valent to Qp) permit us to give a complete description of all definable subgroups ofSL2(Qp).We are seeing also linear groups definable in p-minimal expansions of p-adically closedfields. We introduce a notion of p-connexity for groups. We etablish that every linearcommutative p-connected group definable in such structure is isomorphic to a semi-algebraic group.Finally some results on genericity and generosity in SL2(Qp) are given.

Dans cette thèse, nous étudions la minimalité et la propriété chaotique de systèmes dynamiques p-adiques. Nous étudions aussi des propriétés multifractales des séries de Davenport avec translation de phases. Dans la première partie, nous commençons par l'étude des systèmes dynamiques affines sur Zp. Nous trouvons une condition nécessaire et suffisante pour qu'un tel système soit minimal. En outre, nous exhibons toutes ses composantes strictement ergodiques si le système n'est pas minimal. De plus, nous étudions aussi les systèmes monômes sur le groupe 1+pZp. Ensuite nous étudions les polynômes localement dilatants et transitifs. Pour un tel polynôme, limité sur son ensemble de Julia, nous prouvons qu'il est conjugué à un sous-shift de type fini. Dans la deuxième partie, nous étudions les séries de Davenport avec translation de phases. Après avoir calculé le saut d'une telle série à chaque point, nous trouvons l'ensemble des points discontinus et obtenons une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série de Davenport avec translation de phases soit continue sur R. La convergence ponctuelle de la série est aussi étudiée. Ensuite, nous estimons la borne inférieure de l'exposant hölderien de la série de Davenport avec de phase rationnelle et la borne supérieure du spectre de la singularité / In this thesis, we study the minimality and the chaotic property of p-adic dynamical systems and some multifractal properties of phase translated Davenport series. In the first part, we begin with the study of affine dynamical systems on Zp. We find a necessary and sufficient condition for such a system to be minimal. Furthermore, all its strictly ergodic components are exhibited when it is not minimal. In addition, we study monomial systems on the group 1 + pZp. Then transitive locally expanding polynomial systems are studied. It is proved that such a polynomial system, restricted to its Julia set, is conjugate to a subshift of finite type. In the second part, we study phase translated Davenport series. After having calculated the jump of the series at each point, we characterize the set of discontinuous points and get a sufficient and necessary condition for the series to be continuous on R. Furthermore, the pointwise convergence of the series is studied. Then we estimate the lower bound of the Hölder-exponent of rational translated Davenport series and get an upper bound estimation on the spectrum of singularity. The lower bound of the Hölder-exponent are also discussed for some irrational translated series