Construire des définitions est essentiel dans l'activité de recherche mathématique et interagit dialectiquement avec la formation de concepts. La recherche présentée dans cette thèse s'est intéressée à la double question : est-il possible de faire émerger un concept, auprès d'étudiants, par des problèmes de construction de définitions, et quels sont les apprentissages en jeu ? La complexité des SCD et l'absence de l'étude de telles situations jusqu'alors nous a conduit au développement d'outils théoriques (du triple point de vue : mathématique, épistémologique et didactique) en vue de les construire, de les réaliser en classe et de les analyser. Ces outils théoriques nous ont permis d'établir une typologie des SCD, d'étudier les conceptions sur la définition chez des philosophes et des mathématiciens, d'analyser la place et le rôle des définitions dans les institutions didactiques, et d'extraire de possibles SCD de quelques travaux didactiques existants relatifs au concept de définition. Nous avons ainsi pu mener une étude des conditions pour la dévolution de telles situations, fondée sur des résultats d'expérimentations menées avec des étudiants de 1ère année d'université. Le choix des situations expérimentées relève de la typologie des SCD établie. Les concepts mathématiques en jeu ont été choisis pour leur accessibilité et leur position institutionnelle particulière : le concept d'arbre (qui vient d'entrer dans les programmes de lycée), les concepts de "générateur" et "libre" dans le plan discret (qui peuvent être considérés comme étant "en amont" des ceux des espaces vectoriels), et l'objet géométrique "droite discrète" (que l'on peut référer à la droite réelle). La variété des situations et concepts mathématiques étudiés nous permet, d'une part, de mieux cerner les conceptions sur la définition les plus répandues chez les enseignants et les étudiants et, d'autre part, d'attester la mise en oeuvre de processus de construction de définitions et de concepts. L'ensemble des résultats développés dans cette thèse devrait permettre d'élaborer des SCD, pour l'enseignement secondaire ou supérieur.

Une étude de l'enseignement de l'analyse au niveau des dernières classes de l'enseignement secondaire français fait apparaître des variations importantes à chaque réforme depuis 1962, variations qui concernent aussi bien l'objet du savoir que les procédures conseillées par les programmes et les manuels. Les méthodes préconisées conditionnent les connaissances utilisables par les élèves pour effectuer les tâches prescrites, et l'équilibre connaissances / savoirs caractérise la place dévolue à la validation. Nous étudions les possibilités d'établir à ce niveau un rapport effectif au savoir de l'analyse et de permettre à l'élève de construire des connaissances appropriées.<br />Par ailleurs l'examen des registres et des ostensifs disponibles pour construire un milieu propre à l'enseignement des notions de fonction et de limite, fait apparaître des potentialités non exploitées dans les registres graphique et formel. Ceci conduit à construire et à expérimenter dans la classe de première Scientifique, une situation pour l'enseignement de la notion de fonction : la situation « Graphiques et Chemins » , et une situation pour une première approche de la notion de limite de suite : la situation du flocon.<br />Les problèmes rencontrés dans la gestion des situations comportant une dimension a-didactique amènent à s'interroger sur les connaissances que le professeur met en oeuvre pour gérer une situation d'enseignement comportant une telle composante, et sur une modélisation possible du milieu du professeur.<br />Un questionnaire est construit pour l'étude des connaissances sur l'analyse; son traitement statistique a pour but de tester l'effectivité de l'apprentissage.<br />Dans l'enseignement supérieur, l'étude de transcriptions de cours et de copies d'élèves permet de s'interroger sur les connaissances nécessaires à ce niveau, et sur l'articulation avec l'enseignement secondaire. <br />En conclusion, nous proposons quelques pistes de réflexion sur l'équilibre connaissances / savoirs dans l'enseignement des débuts d'une théorie mathématique, et sur l'enseignement possible, au niveau du secondaire, de connaissances requises dans la suite du cursus