Le résultat principal contenu dans cette thèse est la résolution explicite de l'équation d'Abreu pour les quadrilatères convexes étiquetés dont la fonction affine extrémale est équiposée (ceci inclut le cas où cette fonction est constante), confirmant ainsi la conjecture de Donaldson dans ce cas. De plus, nous donnons une classification des orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 admettant une métrique kahlérienne torique compatible avec une 2-forme hamiltonienne non triviale, en termes de classes d'équivalence de quadrilatères convexes étiquetés. Ces résultats conduisent à une classification explicite des métriques toriques extrémales admettant une 2-forme hamiltonienne non triviale sur les orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 (excluant le cas des projectifs à poids, déjà traité par Apostolov, Calderbank, Gauduchon et Tønnesen-Friedman, 2004). Ceci inclut une classification des métriques toriques faiblement Bochner-plates. Comme application, nous obtenons aussi qu'un orbifold symplectique torique dont le polytope moment est un quadrilatère et dont l'invariant de Futaki est nul admet une métrique kahlérienne torique compatible, explicitement donnée via deux polynômes de degré au plus 3, et dont la courbure scalaire est constante. Nous donnons également des familles explicites d'orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 admettant une métrique extrémale, à courbure scalaire constante, faiblement Bochner-plate ou Kahler-Einstein, ainsi que des familles explicites d'orbifolds symplectiques toriques de dimension 4 instables, n'admettant pas de métrique extrémale. Dans le cas sasakien torique, nous dégageons une fonctionnelle, définie sur le cône des champs de Reeb, dont les points critiques sont les champs de Reeb induisant un polytope caractéristique ayant une fonction affine extrémale constante (i.e d'invariant de Futaki transverse-restreint à l'algèbre de Lie du tore-nul). En étudiant cette fonctionnelle, nous obtenons l'existence de tels champs de Reeb sur toute variété de contact compacte torique co-orientée. En raffinant nos calculs en dimension 5, nous en déduisons l'existence d'une métrique sasakienne compatible à courbure scalaire constante sur toute variété de contact compacte torique co-orientée de dimension 5, dont le cône moment a 4 facettes. Finalement, nous exhibons une famille à un paramètre rationnel de structures de contact toriques (bien connues) sur S2 X S3, chacune admettant deux métriques (de même volume) toriques, compatibles et non isométriques. À notre connaissance, ceci constitue le premier exemple connu de non unicité de métriques extrémales sasakiennes compatibles avec la même structure de contact. Les résultats principaux de cette thèse ont donné lieu aux deux articles (Legendre, b) et (Legendre, a). ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : structures kählériennes toriques et sasakiennes toriques, structures kählériennes et sasakiennes extrémales, 2-formes hamiltoniennes, structures orthotoriques, métriques à courbure scalaire constante, équation d'Abreu, polytopes étiquetés, bons cônes.

Après un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein.

Après un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein.

La donnée d'une structure de Poisson sur une variété induit un feuilletage dont les feuilles sont des variétés symplectiques. En chaque point de la variété, il existe un unique invariant local, donné par la structure transverse. Dans ce travail, on s'intéresse aux invariants de nature emi-locale, c'est à dire associés au germe de la structure le ong d'une sous-variété. On s'interesse à deux cas extrêmes: celui d'une sous-variété de singularités sous des hypothèses génériqus, ainsi que celui du voisinage d'une feuille symplectique.

Dans la première partie de la thèse, nous étudions les projections<br />orthogonales d'un couple de demi-surfaces régulières qui<br />se coupent transversalement le long<br />d'une courbe. Nous prenons comme modèle la variété $X=\{ (x,0,z): x\ge<br />0\}\cup \{ (0,y,z): y\ge 0\}$ et classifions les germes d' applications $R^3,0\to<br />R^2,0$ sous l'action des germes de difféomorphismes $R^3,0\to<br />R^3,0$ qui préservent la variété $X$, et calquer difféomorphisme de<br />$R^2,0\to R^2,0$. Nous obtenons toutes les singularités de<br />codimension $\le 3$ et étudions leurs géométrie. Nous généralisons<br />ces résultas pour 3 surfaces dans $R^3$ qui se coupent<br />transversalement en un point.<br /><br />Dans la seconde partie, nous étudions quelque propriétés des<br />courbes plane. Une manière de capter la symétrie réflexionnelle<br />locale d'une courbe $\gamma$ est de considérer les centres des<br />cercles bi-tangents à la courbe. L'ensemble de centres de tous ces<br />cercles est appellé l'ensemble de symétrie de $\gamma$. Nous<br />donnons une autre méthode pour écrire la symétrie réflexionnelle<br />locale de $\gamma$. Celle-ci consiste à trouver les droites du<br />plan telle que la réflexion par rapport à ces droites envoie un<br />point de $\gamma$ et sa tangente à un autre point de la courbe et<br />sa tangente. L'ensemble de toutes ces droites forme la courbe<br />duale de l'ensemble de symétrie de $\gamma$. Nous étudions les<br />singularités génériques de cette courbe duale et les bifurcations de<br />ses singularités de co-dimension 1.<br /><br />Nous introduisons aussi dans cette thèse la réflexion rotationnelle<br />locale de courbes planes. Nous définissons l'ensemble symétrique<br />rotationnel d'une courbe $\gamma$ comme l'ensemble des centres de<br />rotation qui envoie un point $\gamma(t_1)$, sa tangente et son<br />centre de courbure à un autre point $\gamma(t_2)$, sa tangente et<br />son centre de courbure. Nous étudions les propriétés génériques de<br />l'ensemble symétrique rotationnel ainsi que les bifurcations de ses<br />singularités de co-dimension 1.

No description available.

En théorie des singularités, il est important de mieux comprendre la topologie des déformations des paramétrisations des singularités de courbes planes réelles, en particulier celles dont les fibres génériques sont des partages: des immersions d'intervalles dans lesquelles toutes les intersections sont transverses. Cette topologie est encore bien mystérieuse: on ne sait décrire ni les partages, ni les singularités que l'on peut obtenir lors de telles déformations. De plus, on ne connaît que deux méthodes pour fabriquer de tels partages, dues à A'Campo et Gusein-Zade. Dans ma thèse j'ai réussi à décrire avec précision un partage de A'Campo canonique associé à tout type topologique de singularité de courbe plane. Dans le cas où la singularité est irréductible, je retrouve ainsi la description donnée par Schulze-Robbecke en 1976. J'ai aussi décrit les multigermes des singularités des courbes génériques obtenues en appliquant partiellement l'algorithme de A'Campo. Et ceci pour toutes les déformations partielles possibles. Enfin, j'ai étudié de manière très détaillée la topologie des espaces totaux des résolutions plongées des singularités de courbes planes réelles, en donnant une version réelle de l'approche classique via des graphes de plombage, utilisée dans le cas complexe. Tout au long de la thèse, j'ai utilisé de manière essentielle un codage récent du type topologique de la singularité initiale, son lotus, introduit par Popescu-Pampu. Mon travail met ainsi en évidence le fait que dans l'étude des déformations, le lotus est un outil particulièrement bien adapté. / In singularity theory, it is important to understand better the topology of the deformations of the parametrizations of plane curve singularities, particularly those whose fibres are divides: embeddings of intervals such that all intersections are transverse. This topology is still mysterious: one does not know descriptions either of the divides or of the singularities which appear in such deformations. Moreover, one knows only two algorithms whose results are divides, introduced by A'Campo and Gusein-Zade.In my thesis I described a canonical A'Campo divide associated to every topological type of plane curve singularities. In the case where the singularity is irreducible, I rediscovered the description given by Schulze-Robbecke in 1976. I've also described the multi-germ of singularities of curves obtained by partially applying A'Campo's algorithm. And this for every possible partial deformation. In the end, I studied in a detailed way the topology of the embedded resolution spaces of real plane curve singularities. All along my thesis I used in an essential way a recent encoding of the topological type of the initial singularity, its lotus, introduced by Popescu-Pampu. Therefore my work shows that the lotus is a particularly well adapted tool for the understanding of deformations.

Le célèbre théorème de Birkhoff affirme que l'espace Dₙ des matrices doublement stochastiques d'ordre n est un polytope convexe dont les matrices de permutation constituent les points extrémaux. De cette structure particulière émerge une structure géométrique intéressante que nous explorons en détail dans ce mémoire. Plus précisément, nous explorons quelques propriétés géométriques de Dₙ, vu comme un espace métrique muni de deux différents types de normes, à savoir les p-normes de Schatten et les normes d'opérateurs induites par les normes vectorielles ℓᵖ. En particulier, nous étudions la norme des matrices doublement stochastiques ainsi que le rayon de Tchebychev, les centres de Tchebychev et le diamètre de Dₙ. Ce faisant, de nouvelles connexions avec le célèbre problème d'affectation sont établies. Nous utilisons également les propriétés géométriques de Dₙ établies dans ce mémoire pour améliorer un résultat de Štefan Schwarz sur la convergence de produits infinis de matrices doublement stochastiques. / The celebrated Birkhoff theorem states that the space of n × n doubly stochastic matrices Dₙ is a convex polytope whose extreme points are the permutation matrices. From this particular structure emerges an interesting geometric structure that we explore in detail in this dissertation. Specifically, we explore some geometric properties of Dₙ, seen as a metric space equipped with two different type of norms, which are the Schatten p-norms and the operator norms induced by the ℓᵖ vector norms. In particular, we study the norm of the doubly stochastic matrices along with the Chebyshev radius, the Chebyshev centers and the diameter of Dₙ. In doing so, new connections with the well-known assignment problem are made. We also use the geometric properties of Dₙ established in this dissertation to improve a result of Štefan Schwarz about the convergence of infinite product of doubly stochastic matrices.

Le célèbre théorème de Birkhoff affirme que l'espace Dₙ des matrices doublement stochastiques d'ordre n est un polytope convexe dont les matrices de permutation constituent les points extrémaux. De cette structure particulière émerge une structure géométrique intéressante que nous explorons en détail dans ce mémoire. Plus précisément, nous explorons quelques propriétés géométriques de Dₙ, vu comme un espace métrique muni de deux différents types de normes, à savoir les p-normes de Schatten et les normes d'opérateurs induites par les normes vectorielles ℓᵖ. En particulier, nous étudions la norme des matrices doublement stochastiques ainsi que le rayon de Tchebychev, les centres de Tchebychev et le diamètre de Dₙ. Ce faisant, de nouvelles connexions avec le célèbre problème d'affectation sont établies. Nous utilisons également les propriétés géométriques de Dₙ établies dans ce mémoire pour améliorer un résultat de Štefan Schwarz sur la convergence de produits infinis de matrices doublement stochastiques. / The celebrated Birkhoff theorem states that the space of n × n doubly stochastic matrices Dₙ is a convex polytope whose extreme points are the permutation matrices. From this particular structure emerges an interesting geometric structure that we explore in detail in this dissertation. Specifically, we explore some geometric properties of Dₙ, seen as a metric space equipped with two different type of norms, which are the Schatten p-norms and the operator norms induced by the ℓᵖ vector norms. In particular, we study the norm of the doubly stochastic matrices along with the Chebyshev radius, the Chebyshev centers and the diameter of Dₙ. In doing so, new connections with the well-known assignment problem are made. We also use the geometric properties of Dₙ established in this dissertation to improve a result of Štefan Schwarz about the convergence of infinite product of doubly stochastic matrices.

Thurston montre comment munir le complémentaire du noeud de huit dans S³ d'une structure hyperbolique réelle complète en identifiant cet espace au recollement de deux tétraèdres. Falbel prolonge cette méthode dans le cadre CR-sphérique. Il obtient ainsi une géométrisation CR branchée pour le complémentaire du noeud. Cette approche passe par la résolution d'équations polynomiales dont les inconnues sont des invariants caractérisant les tétraèdres. La résolution de ces équations nous a permis de construire des représentations de groupes fondamentaux à valeur dans PU(2,1) pour des variétés non compactes. Dans le cas réel, la rigidité des structures hyperboliques complètes est assurée par le théorème de Mostow, tandis qu'il existe des représentations de variétés CR-sphériques compactes admettant des déformations. Le calcul du rang des équations précédemment évoquées permet de conclure à la rigidité d'une structure CR-sphérique triangulée dès qu'elle existe. Pour les représentations que nous avons construites, le rang des équations est systématiquement maximal. Dans le cas général, nous donnons des minorations du rang. Dans une partie indépendante, nous étudions le corps de trace de sous-groupes de SU(n,1). Nous établissons que pour un groupe G dans SU(2,1) Zariski dense qui contient une transformation parabolique, quitte à conjuguer G, son corps de trace est exactement le corps engendré par les coefficients de ses matrices.