L'objet de cette thèse est d'étudier les liens entre la géométrie discrète et la combinatoire des mots. Le fait que les figures discrètes soient codées par des mots sur l'alphabet à quatre lettres Σ = {0.1.0,1}, codage introduit par Freeman en 1961, justifie l'utilisation de la combinatoire des mots dans leur étude. Les droites discrètes sont des objets bien connus des combinatoriciens, car étant identifiés par les mots Sturmiens. dont on trouve déjà une description assez complète dans les travaux de Christoffel à la fin du XIXe siècle à la suite de travaux précurseurs de Bernouilli et Markov. Alors que l'on comprend bien la structure des droites discrètes, on connait beaucoup moins bien les courbes en général. Cet ouvrage porte sur l'étude de propriétés géométriques de courbes fermées, codées sur l'alphabet Σ . On s'intéresse tout d'abord à la représentation des chemins dans le plan discret Z² et de ceux qui codent les polyominos. Dans un premier temps, l'emploi d'une structure arborescente quaternaire permet d'élaborer un algorithme optimal afin de tester si un mot quelconque sur Σ code un polyomino ou non. Ce résultat est fondamental d'abord parce qu'il est nouveau, élégant et qu'il se généralise en dimension supérieure. En outre, la linéarité de ce test rend les algorithmes subséquents vraiment efficaces. À la suite de résultats précurseurs de Lyndon. Spitzer et Viennot sur la factorisation des mots, il existe une interprétation combinatoire de la convexité discrète. En géométrie algorithmique, des algorithmes linéaires furent établis par McCallum et Avis en 1979, puis par Melkman en 1987, pour calculer l'enveloppe convexe d'un polygone. Debled-Rennesson et al. ont obtenu en 2003, un algorithme linéaire pour décider de la convexité discrète d'un polyomino par des méthodes arithmétiques. Nous avons obtenu grâce aux propriétés spécifiques des mots de Lyndon et de Christoffel un algorithme linéaire pour tester si un polyomino est digitalement convexe. L'algorithme obtenu est extrêmement simple et s'avère dix fois plus rapide que celui de Debled-Rennesson et al. Finalement, le calcul de la plus longue extension commune à deux mots en temps constant -obtenu par Gusfield à l'aide des arbres suffixes -et le théorème de Fine et Wilf permettent d'élaborer de nouveaux algorithmes qui, grâce à la caractérisation de Beauquier-Nivat, testent si un polyomino pave le plan par translation. En particulier, on obtient un algorithme optimal en O(n) pour détecter les pseudo-carrés. Dans le cas des pseudo-hexagones ayant des facteurs carrés pas trop longs on obtient également un algorithme linéaire optimal, tandis que pour les pseudo-hexagones quelconques nous avons obtenu un algorithme en O(n(log n)³) que nous croyons ne pas être optimal. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire des mots, Géométrie discrète, Droites digitales, Pavages du plan, Algorithmique.

Le sujet principal de cette thèse est d'exploiter les structures Spinc dans le but d'étudier la géométrie de certaines sous-variétés. Dans un premier temps, nous commençons par établir des résultats de base pour l'opérateur de Dirac Spinc. On donne ainsi des inégalités de type Hijazi en terme du tenseur d'énergie-impulsion. Ce tenseur intervient dans l'étude des variations du spectre de l'opérateur de Dirac et dans les équations de Dirac-Einstein. L'étude des hypersurfaces des variétés Spinc permet de mieux comprendre ce tenseur puisque ce dernier est le tenseur de Weingarten de l'immersion. Étant des structures naturelles sur les variétés homogènes de dimension 3 dont le groupe d'isométries est de dimension 4, les structures Spinc permettent d'aborder des problèmes riemanniens sur les hypersurfaces de ces variétés. En effet, on donne une correspondance de Lawson pour les surfaces à courbure moyenne constante. Finalement, on caractérise les structures complexes et CR sur une variété par les structures Spinc admettant un champ de spineurs spécial appelé un spineur pur ou bien un spineur transversal. / In this thesis, we aim to make use of Spinc geometry to study special submanifolds. We start by establishing basic results for the Spinc Dirac operator. We give then inequalities of Hijazi type involving the energy-momentum tensor. Studying the energy-momentum tensor on a Spinc manifold is related to several geometric situations. Indeed, it appears in the study of the variations of the spectrum of the Dirac operator and in the Einstein-Dirac equation. The study of hypersurfaces of Spinc manifolds allows us for a better understanding of this tensor since it is the second fundamental form of the immersion. Being natural structures on the 3-homogeneous manifolds with 4-dimensional isometry group, Spinc structures will be investigated in the study of some Riemannian problems on hypersurfaces of these manifolds. In fact, we prove a Lawson correspondence for constant mean curvature surfaces. Finally, we characterize complex structures and CR structures by Spinc structures admitting a special spinor, called pure spinor or transversal spinor

Dans ma thèse, je me suis intéressé à l'étude des sous-groupes discrets $\G$ de $\s$ (resp. de $ßs^{\pm}_{4}(\R)$) qui préservent un ouvert proprement convexe $\O$ de l'espace projectif réel $\P(\R)$ (resp. $\PP^3(\R)$). En dimension 2, j'ai caractérisé le fait que la surface quotient $\Quo$ est de volume fini de différentes façons, notamment à l'aide l'holonomie des pointes de la surface $S$, ou de l'ensemble limite du groupe $\G$. Cette étude m'a permis de montrer que lorsque le quotient $\Quo$ est de volume fini, alors l'ouvert proprement convexe $\O$ est strictement convexe et son bord $\partial \O$ est $C^1$. Enfin, j'ai montré que l'espace des modules des structures projectives proprement convexes de volume fini, sur une surface (de caractéristique d'Euler strictement négative) de genre $g$ et à $p$ pointes est homéomorphe à une boule de dimension $16g-16+6p$. En dimension 3, je me suis intéressé à l'espace des modules des structures projectives proprement convexes sur les 3-orbifolds de Coxeter compact. J'ai dû faire une hypothèse sur la forme de l'orbifold pour montrer que l'espace des modules est une réunion de $n$ boules de dimension $d$, où les entiers $n$ et $d$ se calculent à l'aide de la combinatoire de l'orbifold.

Le thème central de ce mémoire est l'étude des variétés kähleriennes (compactes) dont la courbure sectionnelle est strictement négative. Les exemples connus sont de deux types, selon qu'ils admettent ou non une métrique localement symétrique. Le cas localement symétrique correspond à l'étude des réseaux (uniformes) de PU(n,1). Nous nous intéressons particulièrement à la construction de réseaux non-arithmétiques. Dans le cas non localement symétrique, nous présentons un résultat d'estimation du pincement des métriques kähleriennes sur les surfaces de Mostow-Siu et leurs analogues tri-dimensionnels.

Cette thèse s'articule autour de problématiques liées au domaine récent de l'anatomie numérique dont l'objet est de fournir des cadres à la fois mathématiques et numériques pour estimer la variabilité statistique au sein de populations de formes géométriques. Dans ce travail, on s'intéresse dans un premier temps au cas d'ensemble de courbes, de surfaces ou sous-variétés avec pour premier objectif de définir une représentation et des termes d'attache aux données adéquats pour les problèmes de recalage par grande déformation (LDDMM). Les précédentes approches reposant sur le cadre des courants qui traite le cas d'objets orientés, nous proposons une extension pour des formes géométriques non-orientées via la représentation des varifolds issue de la théorie géométrique de la mesure. Dans un second temps, ce travail se penche sur l'étude d'objets géométrico-fonctionnels aussi baptisés 'formes fonctionnelles', c'est à dire de fonctions ou de signaux définis sur des supports géométriques variables entre les individus. On définit notamment la notion de métamorphoses géométrico-fonctionnelles pour généraliser celle de déformation à ce contexte ainsi que la notion de courant fonctionnel pour mesurer la dissimilarité entre deux formes fonctionnelles. Ceci débouche assez naturellement sur un tout nouveau cadre mathématique et algorithmique permettant d'étendre les outils usuels de recalage difféomorphique. Enfin, on s'intéresse à la situation plus générale de l'estimation et l'analyse d'atlas pour des ensembles de telles structures en proposant en particulier une formulation mathématique bien posée pour de tels problèmes ainsi qu'un algorithme d'estimation simultanée géométrie/fonction puis des outils pour l'analyse statistique et la classification. Ces méthodes sont illustrées sur quelques jeux de données synthétiques et d'autres issues de l'imagerie biomédicale. / This thesis addresses several questions related to the recent field of computational anatomy. Broadly speaking, computational anatomy intends to analyse shape variability among populations of anatomical structures. In this work, we are focused, in the first place, on the case of datasets of curves, surfaces and more generally submanifolds. Our goal is to provide a mathematical and numerical setting to build relevant data attachment terms between those objects in the purpose of embedding it into the large diffeomorphic metric mapping (LDDMM) model for shape registration. Previous approaches have been relying on the concept of currents that represents oriented submanifolds. We first propose an extension of these methods to the situation of non-oriented shapes by adapting the concept of varifolds from geometric measure theory. In the second place, we focus on the study of geometrico-functional structures we call 'functional shapes' (or fshapes), which combine varying geometries across individuals with signal functions defined on these shapes. We introduce the new notion of fshape metamorphosis to generalize the idea of deformation groups in the pure geometrical case. In addition, we define the extended setting of 'functional currents' to quantify dissimilarity between fshapes and thus perform geometrico-functional registration between such objects. Finally, in the last part of the thesis, we move on to the issue of analyzing entire groups of individuals (shapes or fshapes) together. In that perspective, we introduce an atlas estimation variational formulation that we prove to be mathematically well-posed and build algorithms to estimate templates and atlases from populations, as well as tools to perform statistical analysis and classification. All these methods are evaluated on several applications to synthetic datasets on the one hand and real datasets from biomedical imaging on the other.

Le but de cette thèse est d'étudier les structures symplectiques dans la catégorie des variétés linéaires par morceaux (PL). La question centrale est de déterminer si toute variété symplectique lisse $(M,omega)$ peut être triangulée de manière symplectique, au sens où il existe une variété linéaire par morceaux $K$ et une triangulation $h :K -> M$ telle que $h^*omega$ est une forme symplectique constante par morceaux. Nous étudions d'abord un problème plus simple, qui consiste à trianguler les formes volumes lisses. Étant donnée une variété lisse $M$ munie d'une forme volume $Omega$, nous montrons qu'il existe une triangulation lisse $h :K -> M$ telle que $h^*Omega$ est une forme volume constante par morceaux. En particulier, les variétés symplectiques lisses de dimension 2 admettent donc des triangulations symplectiques. Étant donnée une variété symplectique fermée $(M,omega)$, nous montrons ensuite que pour certaines triangulations lisses $h :K -> M$, on peut, par une modification arbitrairement petite du complexe $K$, supposer que la forme $h^*omega$ est de rang maximal le long de tous les simplexes de $K$. Ce résultat permet d'approximer arbitrairement bien toute variété symplectique fermée par une variété symplectique PL. Nous nous intéressons finalement au cas d'une sous-variété symplectique $M$ d'un espace ambiant qui admet lui-même une triangulation symplectique. Nous montrons qu'il est possible de construire un cobordisme entre la sous-variété $M$ considérée et une approximation lisse par morceaux de celle-ci, triangulée par un complexe symplectique. / In this thesis, we study symplectic structures in a piecewise linear (PL) setting. The central question is to determine whether a smooth symplectic manifold can be triangulated symplectically, in the sense that there exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*omega$ is a piecewise constant symplectic form on $K$. We first focus on a simpler related problem, and show that any smooth volume form $Omega$ on $M$ can be triangulated. This means that there always exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*Omega$ is a piecewise constant volume form. In particular, symplectic surfaces admit symplectic triangulations. Given a closed symplectic manifold $(M,omega)$, we then prove that there exists triangulations $h :K -> M$ for which the piecewise smooth form $h^*omega$ has maximal rank along all the simplices of $K$. This result allows to approximate arbitrarily closely any closed symplectic manifold by a PL one. Finally, we investigate the case of a symplectic submanifold $M$ of an ambient space which is itself symplectically triangulated, and give the construction of a cobordism between $M$ and a piecewise smooth approximation of $M$, triangulated by a symplectic complex. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans cette thèse nous étudions deux aspects distincts des variétés toriques, l'un purement géométrique, sur C, et l'autre de nature arithmétique, sur des corps quasi algébriquement clos (corps C1). Les courbes extrémales qui engendrent le cône de Mori d'une variété torique projective sont des courbes primitives (V. Batyrev). En 2009, D. Cox et C. von Renesse ont conjecturé que les courbes primitives engendrent le cône de Mori de toute variété torique dont l'éventail est à support convexe, de dimension maximale. Nous présentons une famille de contre-exemples à cette conjecture et en proposons une nouvelle formulation basée sur la notion de contractibilité locale, généralisant la notion de contractibilité de C. Casagrande. Grâce aux couloirs, outils combinatoires que nous introduisons, nous montrons comment écrire une classe de 1-cycle donnée comme combinaison linéaire à coefficients entiers de classes de courbes toriques. Les couloirs nous permettent de donner une décomposition explicite de toute classe qui n'est pas contractible (couloirs droits) ainsi que de certaines classes contractibles (couloirs circulaires). Les corps C1 sont les corps sur lesquels l'existence de points rationnels dans une variété Y est assurée par le plongement en petit degré de Y dans un espace projectif (par définition) ou dans un espace projectif pondéré (d'après un théorème facile de Kollar). Pour un diviseur ample dans une variété torique dont l'éventail est simplicial et complet, nous montrons qu'il existe encore une notion de petit degré qui assure l'existence de points rationnels. Ceci nous permet notamment de montrer l'existence de points rationnels sur une large classe de variétés rationnellement connexes.

Le sujet principal de cette thèse est d'exploiter les structures Spin$^c$ dans le but d'étudier la géométrie de certaines sous-variétés. Dans un premier temps, nous commençons par établir des résultats de base pour l'opérateur de Dirac Spin$^c$. On donne ainsi des inégalités de type Hijazi en terme du tenseur d'énergie-impulsion. Ce tenseur intervient dans l'étude des variations du spectre de l'opérateur de Dirac et dans les équations de Dirac-Einstein. L'étude des hypersurfaces des variétés Spin$^c$ permet de mieux comprendre ce tenseur puisque ce dernier est le tenseur de Weingarten de l'immersion. Étant des structures naturelles sur les variétés homogènes $E(\kappa, \tau)$ de dimension 3, les structures Spin$^c$ permettent d'aborder des problèmes riemanniens sur les hypersurfaces de ces variétés. En effet, on donne une correspondance de Lawson pour les surfaces à courbure moyenne constante de $E(\kappa, \tau)$. Finalement, on caractérise les structures complexes et CR sur une variété par les structures Spin$^c$ admettant un champ de spineurs spécial appelé un spineur pur ou bien un spineur transversal.

Dans cette thèse, nous utilisons une forme trilinéaire invariante sur une algèbre de Lie simple pour décrire les nappes sous-régulières de l'algèbre de Lie de type G2, et les équations de la compactification magnifique minimale décrite par De Concini et Porcesi lorsque le rang de celle-ci est égale au rang de l'algèbre de Lie. Nous terminons par des exemples en rang 2.

Le sujet de la thèse est la quantification par déformation non formelle des espaces symétriques symplectiques. L’étude est motivée par une conjecture d’Alan Weinstein reliant l’aire symplectique de triangles dits doubles, et la phase de certaines intégrales oscillantes décrivant les quantifications. Nous étudions l’existence et l’unicité des points-milieux et des triangles doubles dans les espaces symétriques, et obtenons un résultat généralisant le théorème de Dixmier-Saito. Nous introduisons de nouveaux outils pour l’étude de la structure des espaces symétriques symplectiques, à savoir les systèmes primitifs, la réduction symplectique et la double extension. Finalement, nous décrivons un nouveau schéma de quantification adapté à ces structures, et obtenons des formules de quantifications explicites pour une nouvelle classe d’espaces. A l’aire de celles-ci, nous donnons de nouvelles déformations universelles non formelles. / The thesis is concerned with the non-formal deformation quantization of solvable symplectic symmetric spaces. The study is motivated by a conjecture of Alan Weinstein relating the symplectic area of the so-called double triangles to the phase of some oscillatory integrals describing the quantizations. We first study the existence and uniqueness of midpoints and double triangles in symmetric spaces, and obtain in the course a result generalizing the Dixmier-Saito theorem to that case. We then introduce new tools in the study of the structure theory of symplectic symmetric spaces, namely primitive systems, symplectic reduction and double extensions. Finally, we devise a new quantization scheme for these spaces which is compatible with the above structures, and compute explicit quantization formulas for a new class of symplectic symmetric spaces. Using these, we provide new non-formal universal deformation formulas for the actions of some associated symplectic Lie groups.