Le théorème de Gauss sur les sommes de 3 carrés relie le nombre de points entiers primitifs sur la sphère de rayon la racine carrée de n au nombre de classes d'un ordre quadratique imaginaire. En 2011, Edixhoven a esquissée une preuve du théorème de Gauss en utilisant une approche de la géométrie arithmétique. Il a utilisé l'action du groupe orthogonal spécial sur la sphère et a donné une bijection entre l'ensemble des SO3(Z)-orbites de tels points, si non vide, avec l'ensemble des classes d'isomorphisme de torseurs sous le stabilisateur. Ce dernier ensemble est un groupe, isomorphe au groupe des classes d'isomorphisme de modules projectifs de rang 1 sur l'anneau Z[1/2, √- n], ce qui donne une structure d'espace affine sur l'ensemble des SO3(Z)-orbites sur la sphère. Au chapitre 3 de cette thèse, nous donnons une démonstration complète du théorème de Gauss suivant les travaux d'Edixhoven. Nous donnons aussi une nouvelle preuve du théorème de Legendre sur l'existence d'une solution entière primitive de l'équation x2 + y2 + z2 = n en utilisant la théorie des faisceaux. Nous montrons au chapitre 4 comment obtenir explicitement l'action, donnée par la méthode des faisceaux, du groupe des classes sur l'ensemble des SO3(Z)-orbites sur la sphère en termes de SO3(Q). / Gauss's theorem on sums of 3 squares relates the number of primitive integer points on the sphere of radius the square root of n with the class number of some quadratic imaginary order. In 2011, Edixhoven sketched a different proof of Gauss's theorem by using an approach from arithmetic geometry. He used the action of the special orthogonal group on the sphere and gave a bijection between the set of SO3(Z)-orbits of such points, if non-empty, with the set of isomorphism classes of torsors under the stabilizer group. This last set is a group, isomorphic to the group of isomorphism classes of projective rank one modules over the ring Z[1/2, √- n]. This gives an affine space structure on the set of SO3(Z)-orbits on the sphere. In Chapter 3 we give a complete proof of Gauss's theorem following Edixhoven's work and a new proof of Legendre's theorem on the existence of a primitive integer solution of the equation x2 + y2 + z2 = n by sheaf theory. In Chapter 4 we make the action given by the sheaf method of the Picard group on the set of SO3(Z)-orbits on the sphere explicit, in terms of SO3(Q). / De stelling van Gauss over sommen van 3 kwadraten relateert het aantal primitieve gehele punten op de bol van straal de vierkantswortel van n aan het klassengetal van een bepaalde imaginaire kwadratisch orde. In 2011 schetste Edixhoven een ander bewijs van deze stelling van Gauss metbehulp van aritmetische meetkunde. Hij gebruikte de actie van de special orthogonale groep op de bol en gaf een bijectie tussen de verzameling van SO3(Z)-banen van dergelijke punten, als die niet leeg is, met de verzameling van isomor_e klassen van torsors onder de stabilisator groep. Deze laatste verzameling is een groep, isomorf met de groep van isomor_e klassen van projectieve rang _e_en modulen over de ring Z[1/2, √- n]. Dit geeft een a_ene ruimte structuur op de verzameling van SO3(Z)-banen op de bol. In Hoofdstuk 3 geven we een volledig bewijs van de stelling van Gauss zoals geschetst door Edixhoven, en een nieuw bewijs van Legendre's stelling over het bestaan van een primitieve gehele oplossing van de vergelijking x2 +y2 +z2 = n met schoven theorie. In hoofdstuk 4 maken we de werking gegeven door de schoven theorie van de Picard groep op de verzameling van SO3(Z)-banen op de bol expliciet, in termen van SO3(Q).

Cette thèse présente quelques résultats portant sur l'arithmétique de variétés rationnellement connexes et, plus spécifiquement, des hypersurfaces cubiques, dans trois directions principales : l'équivalence rationnelle, la R-équivalence, et l'approximation faible. Dans la première partie, on décrit de façon explicite la spécialisation de la R-équivalence. La seconde est consacrée à la nullité du groupe de Chow de 0-cycles de degré 0 sur une hypersurface cubique ayant bonne réduction sur les p-adiques. La troisième montre un résultat d'approximation faible aux places de bonne réduction sur les surfaces cubiques sur les corps de fonctions. La quatrième montre la R-trivialité des hypersurfaces cubiques de grande dimension sur les p-adiques. La cinquième partie explicite par un calcul la non-nullité du groupe de Chow de 0-cycles de degré 0 d'une hypersurface cubique de dimension 3 sur un corps de dimension 2. Enfin, on étudie la R-équivalence très libre sur les variétés toriques.

L'étude de la distribution des points rationnels sur les variétés algébriques est un sujet classique de la géométrie diophantienne. Le programme proposé par V. Batyrev et Y. Manin dans des années 90 donne une prédiction sur l'ordre de croissance tandis que sa version ultérieure dûe à E. Peyre conjecture l'existence d'une distribution globale. Dans cette thèse nous nous proposons une étude de la distribution locale des points rationnels de hauteur bornée sur les variétés algébriques. Ceci envisage une description plus fine que celle globale en dénombrant les points le plus proche d'un point fixé. Nous nous plaçons sur le cadre récent du travail de D. McKinnon et M. Roth qui met en évidence que la géométrie de la variété gouverne l'approximation diophantienne sur elle et nous reprenons les résultats de S. Pagelot. L'ordre de croissance espéré et l'existence d'une mesure asymptotique sur certaines surfaces toriques sont démontrés, alors que démontrons-nous un résultat totalement différent pour une autre surface sur laquelle il n'y pas de mesure asymptotique et les meilleurs approximants génériques s'obtiennent sur des courbes rationnelles nodales. Ces deux phénomènes sont de nature radicalement différente au point de vu de l'approximation diophantienne. / The study of the distribution of rational points on algebraic varieties is a classic subject of Diophantine geometry. The program proposed by V. Batyrev and Y. Manin in the 1990s gives a prediction on the order of growth whereas its later version due to E. Peyre conjectures the existence of a global distribution. In this thesis we propose a study of the local distribution of rational points of bounded height on algebraic manifolds. This aims at giving a description finer than the global one by counting the points closest to a fixed point. We set ourselves on the recent framework of the work of D. McKinnon and M. Roth who prefers that the geometry of the variety governs the Diophantine approximation on it and we take up the results of S. Pagelot. The expected order of growth and the existence of an asymptotic measure on some toric surfaces are demonstrated, while we demonstrate a totally different result for another surface on which there is no asymptotic measure and the best generic approximates are obtained on nodal rational curves. These two phenomena are of a radically different nature from the point of view of the Diophantine approximation.

Dans cette thèse on étudie certains phénomènes d'interactions entre caractéristique positive et caractéristique nulle. Dans un premier temps on s'occupe du problème de relèvement locale d'actions de groupes. On y montre des conditions nécessaires pour l'existence de relèvement de certains actions du groupe Z/pZ x Z/pZ. Pour une action d'un groupe fini quelconque, on y étudie les arbres de Hurwitz, en montrant que chaque arbre de Hurwitz admet un plongement dans le disque unitaire fermé de Berkovich et que ses données de Hurwitz peuvent être décrites de façon analytique. Dans une deuxième partie nous construisons un analogue de la représentation de Weil à coefficients dans un anneau intègre, et nous montrons que cela satisfait les mêmes propriétés que dans le cas de coefficients complexes / In this thesis, we study the interplay between positive and zero characteristic. In a first instance, we deal with the local lifting problem of lifting actions of curves. We show necessary conditions for the existence of liftings of some actions of Z/pZ x Z/pZ. Then, for an action of a general finite group, we study the associated Hurwitz tree, showing that every Hurwitz tree has a canonical metric embedding in the Berkovich closed unit disc, and that the Hurwitz data can be described analytically.In the last chapter, we define an analog of the Weil representation with coefficients in an integral domain, showing that such representation satisfies the same properties than in the case with complex coefficients

Nous démontrons un résultat d'équidistribution sur les courbes modulaires: les orbites galoisiennes d'invariants modulaires a l'intérieur d'une même classe d'isogénie non~CM se répartissent le long de la mesure de Poincaré sur la courbe modulaire. Un corollaire est que la hauteur des points considérés diverge, retrouvant là un résultat de Szpiro et Ullmo. Pour obtenir cet énoncé nous combinons des propriétés galoisiennes (le théorème de Serre sur l'action du groupe de Galois sur les points de division) et des propriétés ergodiques (le théorème de Ratner sur les flots unipotents dans les espaces de réseaux, ou plutôt l'équidistribution des points de Hecke). Nous généralisons notre méthode dans le cadre des variétés de Shimura. Dans ce cadre, en~revanche, l'un de nos ingrédients repose sur une forme de la conjecture de Mumford-Tate. Cela nous amène à étudier, dans une seconde partie, des raffinements de l'équidistribution des points de Hecke. Apparaissent alors certaines questions de divergence dans les espaces de réseaux. La méthode de linéarisation de Dani-Margulis ramène cette question à un énoncé géométrique. Nous apportons une réponse à cette question. Dans le cas réel, il s'agit d'une collaboration avec Nimish Shah. Dans le cas p-adique, nous sommes amenés à utiliser la géométrie ultramétrique récemment développée par Berkovich, en relation avec la théorie de Bruhat-Tits, et plus particulièrement des résultats recents de B. Remy, A. Thuillier et A. Werner. Nous sommes amenés en particulier à démontrer - des propriétés de décomposition des immeubles inspirées des théorème de décomposition de Mostow sur les espaces symétriques; - des propriétés de convexité sur les immeubles de fonctions analytiques, au sens ultramétrique, sur le groupe associé. Nous illustrons enfin comment nos résultats, en combinaison avec les travaux de D. Kleinbock et G. Tomanov, et le théorème de Ratner, s'appliquent à l'étude de problèmes S-arithmétiques dans les espaces de réseaux.

Dans cette thèse nous étudions deux aspects distincts des variétés toriques, l'un purement géométrique, sur C, et l'autre de nature arithmétique, sur des corps quasi algébriquement clos (corps C1). Les courbes extrémales qui engendrent le cône de Mori d'une variété torique projective sont des courbes primitives (V. Batyrev). En 2009, D. Cox et C. von Renesse ont conjecturé que les courbes primitives engendrent le cône de Mori de toute variété torique dont l'éventail est à support convexe, de dimension maximale. Nous présentons une famille de contre-exemples à cette conjecture et en proposons une nouvelle formulation basée sur la notion de contractibilité locale, généralisant la notion de contractibilité de C. Casagrande. Grâce aux couloirs, outils combinatoires que nous introduisons, nous montrons comment écrire une classe de 1-cycle donnée comme combinaison linéaire à coefficients entiers de classes de courbes toriques. Les couloirs nous permettent de donner une décomposition explicite de toute classe qui n'est pas contractible (couloirs droits) ainsi que de certaines classes contractibles (couloirs circulaires). Les corps C1 sont les corps sur lesquels l'existence de points rationnels dans une variété Y est assurée par le plongement en petit degré de Y dans un espace projectif (par définition) ou dans un espace projectif pondéré (d'après un théorème facile de Kollar). Pour un diviseur ample dans une variété torique dont l'éventail est simplicial et complet, nous montrons qu'il existe encore une notion de petit degré qui assure l'existence de points rationnels. Ceci nous permet notamment de montrer l'existence de points rationnels sur une large classe de variétés rationnellement connexes.

Cette thèse est divisée en huit chapitres. D’abord, dans le Chapitre 1, on présente des résultats et des outils déjà connus qu’on utilisera dans la suite de la thèse. Le Chapitre 2 est consacré à résumer de maniére uniforme les nouveaux résultats présentés dans ce manuscrit.Les six chapitre restants sont originals. Dans les Chapitres 3 et 4 on démontre la chose suivante: soit $f:Yrightarrow X$ un morphisme lisse et prope sur une base $X$ lisse et géométriquament connexe sur un corps infini, finiment engendré et de caractéristique positive. Alors il y a beaucoup de points fermées $xin |X|$ tels que le rang du groupe de Néron-Severi de la fibre géometrique de $f$ en $x$ est le même du groupe de Néron-Severi de la fibre géométrique générique. On preuve ça de la façon suivante: on étudie la spécialisation du faisceau lisse $ell$-adique $R^2f_*Ql(1)$ ($ellneq p$); en suite, on le relit avec la spécialisation du F-isocristal $R^2f_{*,cris}mathcal O_{Y/K}(1)$ en passant par la catégorie des F-isocristaux surconvergents. Au final, la conjecture de Tate varationelle dans la cohomologie cristalline, nous permet de déduire le résultat sur les groupes de Néron-Severi depuis le résultat sur $R^2f_{*,cris}mathcal O_{Y/K}(1)$. Cela étend en caractéristique positive les résultats de Cadoret-Tamagawa et André en caractéristique zero.Les Chapitres 5 et 6 sont consacrés à l’étude des groupes de monodromie des F-isocristaux (sur)convergents. En particulier, les résultats dans le Chapitre 5 sont un travail en common avec Marco D'Addezio. On étude les tores maximaux des groupes de monodromie des F-isocristaux (sur)convergents et on utilise ça pour démontrer un cas particulier d’un conjecture de Kedlaya sur les homomorphismes de $F$-isocristeaux convergents. En utilisant ce cas particulier, on démontre que si $A$ est une variété abélienne sans facteurs d'isogonie isotrivial sur un corps de fonctions $F$ sur $overline{F}_p$, alors le groupe $A(F^{mathrm{perf}})_{tors}$ est fini. Cela peut être considéré comme une extension du théoreme de Lang—Néron et donne une réponse positive a une question d'Esnault. Dans le Chapitre 6, on défini une catégorie $overline Q_p$-linéaire des $F$-isocristeaux surconvergents et les groupes de monodromie de ces objets. En exploitant la théorie des compagnons pour les $F$-isocristeaux surconvergents et les faisceaux lisses, on étudie la théorie de spécialisation de ces groupes de monodromie en transférant les résultats du Chapitre 3 dans ce contexte.Les derniers deux chapitres complètent et affinent les résultats des chapitres précédents. Dans le Chapitre 7, on démontre que la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les corps finiment engendrés et de caractéristique $p>0$ est une conséquence de la conjecture de Tate pour les diviseurs sur les corps finis de caractéristique $p>0$. Dans le Chapitre 8, on démontre des résultats de borne uniforme en caractéristique positive pour le groupes de Brauer des formes des variétés qui satisfasse la conjecture de Tate $ell$-adique pour les diviseurs. Cela étend en caractéristique positive un résultat de Orr-Skorobogatov en caractéristique zéro. / This thesis is divided in 8 chapters. Chapter ref{chapterpreliminaries} is of preliminary nature: we recall the tools that we will use in the rest of the thesis and some previously known results. Chapter ref{chapterpresentation} is devoted to summarize in a uniform way the new results obtained in this thesis.The other six chapters are original. In Chapters ref{chapterUOIp} and ref{chapterneron}, we prove the following: given a smooth proper morphism $f:Yrightarrow X$ over a smooth geometrically connected base $X$ over an infinite finitely generated field of positive characteristic, there are lots of closed points $xin |X|$ such that the rank of the N'eron-Severi group of the geometric fibre of $f$ at $x$ is the same of the rank of the N'eron-Severi group of the geometric generic fibre. To prove this, we first study the specialization of the $ell$-adic lisse sheaf $R^2f_*Ql(1)$ ($ellneq p$), then we relate it with the specialization of the F-isocrystal $R^2f_{*,crys}mathcal O_{Y/K}(1)$ passing trough the category of overconvergent F-isocrystals. Then, the variational Tate conjecture in crystalline cohomology, allows us to deduce the result on the N'eron-Severi groups from the results on $R^2f_{*,crys}mathcal O_{Y/K}(1)$. These extend to positive characteristic results of Cadoret-Tamagawa and Andr'e in characteristic zero.Chapters ref{chaptermarcuzzo} and ref{chapterpadic} are devoted to the study of the monodromy groups of (over)convergent F-isocrystals. Chapter ref{chaptermarcuzzo} is a joint work with Marco D'Addezio. We study the maximal tori in the monodromy groups of (over)convergent F-isocrystals and using them we prove a special case of a conjecture of Kedlaya on homomorphism of convergent $F$-isocrystals. Using this special case, we prove that if $A$ is an abelian variety without isotrivial geometric isogeny factors over a function field $F$ over $overline{F}_p$, then the group $A(F^{mathrm{perf}})_{tors}$ is finite. This may be regarded as an extension of the Lang--N'eron theorem and answer positively to a question of Esnault. In Chapter ref{chapterpadic}, we define $overline Q_p$-linear category of (over)convergent F-isocrystals and the monodromy groups of their objects. Using the theory of companion for overconvergent F-isocrystals and lisse sheaves, we study the specialization theory of these monodromy groups, transferring the result of Chapter ref{chapterUOIp} to this setting via the theory of companions.The last two chapters are devoted to complements and refinement of the results in the previous chapters. In Chapter ref{chaptertate}, we show that the Tate conjecture for divisors over finitely generated fields of characteristic $p>0$ follows from the Tate conjecture for divisors over finite fields of characteristic $p>0$. In Chapter ref{chapterbrauer}, we prove uniform boundedness results for the Brauer groups of forms of varieties in positive characteristic, satisfying the $ell$-adic Tate conjecture for divisors. This extends to positive characteristic a result of Orr-Skorobogatov in characteristic zero.