Le sujet de la thèse est la quantification par déformation non formelle des espaces symétriques symplectiques. L’étude est motivée par une conjecture d’Alan Weinstein reliant l’aire symplectique de triangles dits doubles, et la phase de certaines intégrales oscillantes décrivant les quantifications. Nous étudions l’existence et l’unicité des points-milieux et des triangles doubles dans les espaces symétriques, et obtenons un résultat généralisant le théorème de Dixmier-Saito. Nous introduisons de nouveaux outils pour l’étude de la structure des espaces symétriques symplectiques, à savoir les systèmes primitifs, la réduction symplectique et la double extension. Finalement, nous décrivons un nouveau schéma de quantification adapté à ces structures, et obtenons des formules de quantifications explicites pour une nouvelle classe d’espaces. A l’aire de celles-ci, nous donnons de nouvelles déformations universelles non formelles. / The thesis is concerned with the non-formal deformation quantization of solvable symplectic symmetric spaces. The study is motivated by a conjecture of Alan Weinstein relating the symplectic area of the so-called double triangles to the phase of some oscillatory integrals describing the quantizations. We first study the existence and uniqueness of midpoints and double triangles in symmetric spaces, and obtain in the course a result generalizing the Dixmier-Saito theorem to that case. We then introduce new tools in the study of the structure theory of symplectic symmetric spaces, namely primitive systems, symplectic reduction and double extensions. Finally, we devise a new quantization scheme for these spaces which is compatible with the above structures, and compute explicit quantization formulas for a new class of symplectic symmetric spaces. Using these, we provide new non-formal universal deformation formulas for the actions of some associated symplectic Lie groups.

Cette thèse se place dans le cadre d'une généralisation CAT(0) des espaces riemanniens symétriques à courbure négative. En particulier, nos espaces ne seront pas nécessairement localement compacts. Un espace CAT(0) symétrique est un espace CAT(0) complet, sans branchement géodésique et possédant une involution isométrique en chaque point fixant uniquement ce point. Avec l'hypothèse supplémentaire de compacité locale, on retrouve les espaces riemanniens symétriques à courbure négative classés par E. Cartan. Nous nous intéressons à une famille particulière des espaces CAT(0) symétriques qui possèdent la propriété remarquable d'ˆetre de dimension infinie et de rang fini. C'est une famille d'espaces (Xp)p∈N∗ où Xp = O(p, ∞)/ (O(p) × O(∞)) . Nous montrons que ces espaces sont des espaces CAT(0) symétriques de dimension télescopique p. Ce qui implique, par exemple, que tout groupe moyennable agissant continûment par isométries sur Xp, fixe un point au bord ou laisse invariant un sous-espace isométrique à un espace euclidien. Inspir ́es par le théorème de superrigidité de G. Margulis, nous montrons l'existence d'applications de Furstenberg, ce qui constitue la première étape dans un programme de superrigidité pour ces espaces symétriques de dimension infinie mais de rang fini.

La première partie de la thèse concerne certaines compactifications. On se donne un espace symétrique à courbure négative et on cherche à déterminer ses compactifications différentiables, c'est-à-dire les plongement de l'espace dans une variété à bord pour lesquels l'action des isométries se prolonge de façon différentiable. Les résultats principaux sont : la classification de ces compactifications dans le cas de l'espace hyperbolique réel, et l'inexistence d'une telle compactification dans le cas des espaces de rang supérieur.<br /> La seconde partie concerne les remplissages holomorphes. On se donne une variété CR compacte M et un sous-groupe d'automorphismes F. La question est alors de déterminer quelles sont les variétés compactes à bord X dont le bord est M et telles que l'action de F se prolonge par biholomorphismes sur tout X. On montre sous des hypothèses de convexité, de dimension et de taille de F un résultat d'unicité (à éclatement près).

Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes géométriques liés aux domaines bornés symétriques réels. Ces espaces sont des espaces D=G/K riemanniens symétriques non compacts, obtenus à partir de domaines bornés hermitiens symétriques. Lorsque le domaine D=G/K est de type Cr ou Dr, G opère transitivement sur chaque composante connexe de l'ensemble [sigma] des tripotents maximaux du système triple de Jordan réel positif T0D. Dans le cas complexe, cet ensemble est connexe et est appelé frontière de Shilov du domaine. Dans le cas réel, [sigma] n'est en général pas connexe. Nous fixons donc une composante connexe S de [sigma]. Alors l'action de G sur S x S possède un nombre fini d'orbites et nous donnons un système explicite de représentants. Si le domaine est de type Cs ou D2s, alors parmi ces orbites, il y a celle des couples d'éléments transverses. Sous ces hypothèses, nous pouvons alors définir l'ensemble des triplets d'éléments de S transverses deux à deux, sur lequel G opère. Là encore, nous déterminons les orbites de cette action. Enfin, nous nous intéressons à un problème analytique concernant un système de Hua. Nous montrons que pour toute fonction continue [phi] sur S, la transformée de poisson f=P[sigma phi]:=[intégrale]SP(.,u)[sigma phi](u)du est solution du système de Hua Hf(x)=(2n-/r)2[sigma]([sigma]-1)f(x)Id, où P(.,.) est le noyau de Poisson sur D x S et où n- désigne la dimension de V-. / In this thesis, we are interested in geometric problems related with \emph{real bounded symmetric domains}. These spaces are Riemannian symmetric spaces $\mathcal{D}=G/K$ of noncompact type, constructed from \emph{hermitian bounded symmetric domains}. When $\mathcal{D}=G/K$ is of type $C_r$ or $D_r$, we prove that $G$ acts transitively on each connected component of the set $\Sigma$ of \emph{maximal tripotents} in the \emph{compact Jordan triple system} $T_0\mathcal{D}$. In the hermitian case, this set is connected and is called \emph{the Shilov boundary}. In the real case, $\Sigma$ is not necessarily connected, thus we choose a connected component $\mathcal{S}$ of $\Sigma$. Then the action of $G$ in $\mathcal{S}\times\mathcal{S}$ as a finite number of orbits for wich we give representative elements. If $\mathcal{D}$ is of type $C_s$ or $D_{2s}$, then the set of couples of transversal elements of $\mathcal{S}$ is a $G$-orbit in $\mathcal{S}\times\mathcal{S}$. Under these assumptions, $G$ acts on the set of transversal triples in $\mathcal{S}\times\mathcal{S}\times\mathcal{S}$ and we determine the orbits for this action. Finally, we are interested in Hua differential systems. We prove that for any continuous function $\varphi$ on $\mathcal{S}$, the Poisson transform $f=\mathcal{P}_\sigma\varphi:=\int_\mathcal{S}\mathcal{P}(\cdot,u)^\sigma\varphi(u)du$ is a solution of the Hua system $\mathcal{H}f(x)=(\frac{2n^-}{r})^2\sigma(\sigma-1)f(x)\textnormal{Id}$, where $\mathcal{P}(\cdot,\cdot)$ is the Poisson kernel on $\mathcal{D}\times\mathcal{S}$ and $n^-$ is the dimension of $V^-$.

Résumé de la thèse :ce travail porte sur la notion d'espace symétrique symplectique extrinsèque. Ces espaces sont des espaces symétriques symplectiques dont la structure est induite par le plongement dans variété symplectique ambiante munie d'une connexion.<p><p>Par analogie à la théorie standard des espaces symétriques, nous démontrons un théorème d'équivalence entre les espaces symétriques symplectiques extrinsèques d'une variété qui est elle-même un espace symétrique symplectique.<p><p>La définition d'un espace symétrique symplectique extrinsèque fait intervenir l'existence d'affinités globales de la variété ambiante, les ``symétries extrinsèques', qui induisent la structure symétrique de la sous-variété ;ceci mène à poser une question du type :quelles sont les variétés possédant ``beaucoup' de ces affinités~? Une question précise ainsi qu'une réponse sont fournies dans un contexte où la variété ambiante est seulement supposée munie d'une structure<p>symplectique et d'une connexion symplectiques. Nous considérons également le cas où ces symétries commutent avec un champ $K$ d'endomorphismes symplectiques fixé de la variété, de carré $pmId$. Nous définissons une notion de courbure sectionnelle pour plans $K$-stables et montrons que les espaces à $K$-courbure sectionnelle constantes sont localement symétriques de type Ricci.<p><p>Par suite nous étudions les espaces symétriques symplectiques extrinsèques dans un espace vectoriel symplectique. Nous montrons par exemple qu'un tel espace, s'ils est de dimension deux, est forcément intrinsèquement plat (c.-à-d. à courbure intrinsèque nulle), mais que son image n'est pas forcément un plan affin de l'espace vectoriel ambiant. Nous décrivons en fait explicitement tous les espaces<p>symétriques symplectiques extrinsèques, dans un espace vectoriel, dont la courbure intrinsèque s'annule identiquement. Nous décrivons également une famille d'exemples d'espaces extrinsèques, dont nous montrons qu'elle fournit la totalité des espaces extrinsèques de codimension $2$, dans un espace vectoriel.<p><p>Enfin, nous décrivons quelques exemples d'espaces symétriques symplectiques extrinsèques qui sont totalement géodésiques, dans un espace de type Ricci particulier.<p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Ce mémoire porte sur l’étude des équations d’évolution sur des variétés à coubure non nulle, plus particulièrement l’équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact.Des propriétés de dispersion des solutions du problème de Cauchy homogène sont démontrées. Ces propriétés sont ensuite utilisées pour établir des estimations dites estimations de Strichartz. L’examen de ces estimées permet de déduire que le problème de Cauchy non linéaire avec des non-linéarités de type puissance est globalement bien posé pour des données initiales petites et localement bien posé pour des données arbitraires.Après un chapitre introductif dédié aux définitions, propriétés algébriques et géométriques des espaces symétriques et à quelques aspects élémentaires d’analyse harmonique sphérique sur ces espaces, un article est présenté : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. Cet article contient nos résultats principaux. Dans le dernier chapitre nous présentons en détail deux problèmes ouverts qui prolongent nos travaux. Il s’agit respectivement d’établir le lien entre le comportement asymptotique des estimées et les orbites nilpotentes, et l’étude de l’équation des ondes pour les formes différentielles sur les espaces symétriques. / In this memoir we study evolution equations on curved manifolds. In particular we are interested in the wave equation on Riemannian symmetric spaces of the noncompact type.Dispersive properties of solutions of homogeneous Cauchy problem are proved. These properties are then used to establish Strichartz-type estimates. A closer study of these estimates shows that the nonlinear Cauchy problem with power-like nonlinearities is globally well posed for small initial data and locally well posed for arbitrary initial data.The first chapter is devoted to definitions, algebraic and geometric properties of symmetric spaces and to few elementary aspects of spherical analysis on these spaces. Then our main results are represented in an article : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. In the last chapter we present in detail two open problems for future work. One issue is to establish a link between the asymptotic behavior of the estimates and nilpotent orbits, while another issue is the study of wave equation for differential forms on symmetric spaces.