Cette thèse a pour objet les ordres, les valuations et les C-relations sur les groupes, ainsi que les corps différentiels valués tels qu’étudiés par Rosenlicht. Elle accomplit trois objectifs principaux. Le premier est d’introduire et d’étudier une notion de quasi-ordre sur les groupes qui a pour but de réunir les ordres et les valuations dans un même cadre. Nous donnons un théorème de structure des groupes munis d’un tel quasi-ordre, ce qui nous permet ensuite de donner un “théorème de plongement de Hahn” pour ces groupes. Le second objectif de cette thèse est de décrire les C-groupes à l’aide des quasi-ordres. Nous donnons un théorème de structure pour les C-groupes, qui énonce que tout C-groupe est un “mélange” de groupes ordonnés et de groupes valués. Nous utilisons ensuite ce résultat pour caractériser les groupes C-minimaux à l’intérieur de la classe des C-groupes. Le troisième objectif de cette thèse est d’introduire et d’étudier une notion de rang différentiel d’un corps différentiel valué. Nous définissons cette notion par analogie avec les notions de rang exponentiel d’un corps exponentiel et de rang de différence d’un corps aux différences. Nous montrons que cette notion de rang n’est pas tout à fait satisfaisante, et introduisons donc une meilleure notion de rang appelée le rang différentiel déployé. Nous donnons ensuite une méthode pour définir une dérivation “de type Hardy” sur un corps de séries formelles généralisées, ce qui nous permet de construire des corps différentiels valués dont le rang différentiel et le rang différentiel déployé ont été arbitrairement choisis. / This thesis deals with orders, valuations and C-relations on groups, and with differential-valued fields à la Rosenlicht. It achieves three main objectives. The first one is to introduce and study a notion of quasi-order on groups meant to encompass orders and valuations in a common framework. We give a structure theorem for groups endowed with such a quasi-order, which then allows us to give a “Hahn’s embedding theorem” for these groups. The second objective of this thesis is to describe C-groups via quasi-orders. We give a structure theorem for C-groups, which basically states that any C-group is a “mix” of ordered groups and valued groups. We then use this result to characterize C-minimal groups inside the class of C-groups. The third objective of this thesis is to introduce and study a notion of differential rank for differential-valued fields. We define this notion by analogy with the exponential rank of an exponential field and with the difference rank of a difference field. We show that this notion of rank is not quite satisfactory, so we introduce a better notion of rank called the unfolded differential rank. We then give a method to define “Hardy-type” derivations on fields of generalized power series, which allows us to build differential-valued fields of arbitrary given differential rank and unfolded differential rank.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de l'arithmétique et de la géométrie des variétés de Shimura. Cette thèse s'est essentiellement organisée autour de trois volets. Dans la première partie, on étudie certaines applications de la théorie des modèles en théorie des nombres. En 2014, Pila et Tsimerman ont donné une preuve de la conjecture d'Ax-Schanuel pour la fonction j et, avec Mok, ont récemment annoncé une preuve de sa généralisation à toute variété de Shimura. Nous nous référons à cette généralisation comme à la conjecture d'Ax-Schanuel hyperbolique. Dans ce projet, nous cherchons à généraliser les idées de Habegger et Pila pour montrer que, sous un certain nombre d'hypothèses arithmétiques, la conjecture d'Ax-Schanuel hyperbolique implique, par une extension de la stratégie de Pila-Zannier, la conjecture de Zilber-Pink pour les variétés de Shimura. Nous concluons en vérifiant toutes ces hypothèses arithmétiques à l'exception d'une seule dans le cas d'un produit de courbes modulaires, en admettant la conjecture dite des grandes orbites de Galois. Il s'agit d'un travail en commun avec Christopher Daw. La seconde partie est consacrée à un résultat cohomologique en direction de la conjecture de Zilber-Pink. Étant donné un groupe algébrique semi-simple sur un corps de nombres F contenu dans ℝ, nous démontrons que deux sous-groupes algébriques semi-simples définis sur F sont conjugués sur F, si et seulement s'il le sont sur une extension réelle finie de F de degré majoré indépendamment des sous-groupes choisis. Il s'agit d'un travail en commun avec Mikhail Borovoi et Christopher Daw. La troisième partie étudie la distribution des variétés de Shimura compactes. On rappelle qu'une variété de Shimura S de dimension 1 est toujours compacte sauf si S est une courbe modulaire. Nous généralisons cette observation en définissant une fonction de hauteur dans l'espace des variétés de Shimura associée à un groupe réductif réel donné. Dans le cas des groupes unitaires, on prouve que la densité des variétés de Shimura non-compactes est nulle. / In this thesis, we study some arithmetic and geometric problems for Shimura varieties. This thesis consists of three parts. In the first part, we study some applications of model theory to number theory. In 2014, Pila and Tsimerman gave a proof of the Ax-Schanuel conjecture for the j-function and, with Mok, have recently announced a proof of its generalization to any (pure) Shimura variety. We refer to this generalization as the hyperbolic Ax-Schanuel conjecture. In this article, we show that the hyperbolic Ax-Schanuel conjecture can be used to reduce the Zilber-Pink conjecture for Shimura varieties to a problem of point counting. We further show that this point counting problem can be tackled in a number of cases using the Pila-Wilkie counting theorem and several arithmetic conjectures. Our methods are inspired by previous applications of the Pila-Zannier method and, in particular, the recent proof by Habegger and Pila of the Zilber-Pink conjecture for curves in abelian varieties. This is joint work with Christopher Daw. The second part is devoted to a Galois cohomological result towards the proof of the Zilber-Pink conjecture. Let G be a linear algebraic group over a field k of characteristic 0. We show that any two connected semisimple k-subgroups of G that are conjugate over an algebraic closure of kare actually conjugate over a finite field extension of k of degree bounded independently of the subgroups. Moreover, if k is a real number field, we show that any two connected semisimple k-subgroups of G that are conjugate over the field of real numbers ℝ are actually conjugate over a finite real extension of k of degree bounded independently of the subgroups. This is joint work with Mikhail Borovoi and Christopher Daw. Finally, in the third part, we consider the distribution of compact Shimura varieties. We recall that a Shimura variety S of dimension 1 is always compact unless S is a modular curve. We generalize this observation by defining a height function in the space of Shimura varieties attached to a fixed real reductive group. In the case of unitary groups, we prove that the density of non-compact Shimura varieties is zero.

Cette thèse est centrée autour des problèmes concernant les constructions causatives du français et du chinois, elle se veut une contribution empirique et théorique à l’étude formelle des systèmes verbaux du français et du chinois. Il sera montré que la défectivité en traits des têtes de phases joue un rôle important motivant la formation des constructions au sein de ces deux langues. Concernant la construction causative en faire du francais, nous allons utiliser l’interprétation de respectivement comme test pour justifier son statut bi-propositionnel? et l’examen des relations quantificationnelles va montrer que le vP causativisé dans le complément de faire constitue une phase défective, sélectionnée par une autre tête fonctionnelle phasale. De plus, la défectivité du vP causativisé et les traits-phi intégrés aux clitiques donnent lieu aux distributions des différents clitiques. A la différence de la construction causative du francais qui implique un TP défectif dans une structure bi-propositionnelle, les verbes causatifs du chinois sélectionnent directement un v*P phasal et il n’y a plus de projection fonctionnelle intervenante. Il sera montré que le chinois fait aussi la distinction entre les Temps fini et infinitif, bien qu’une telle distinction ne se manifeste pas sur les formes morphologiques des verbes. Cette thèse va aussi examiner la corrélation entre les verbes rang/jiao/gei, nous allons montrer que leurs fonctions causative et passive désignent différentes structures argumentales, et il n’y a pas de relation dérivationnelle entre ces deux structures argumentales de ces verbes. En ce qui concerne la perspective théorique, il sera montré qu’il y a quatre structures phasales possibles correspondantes à de différentes structures argumentales des verbes causatifs du francais et du chinois? et cette thèse va aussi explorer la pertinence de la condition d’impénétrabilité de phase et de la condition de minimalité par rapport aux différentes opérations de la syntaxe étroite. / This dissertation concentrates on the problems concerning the causative constructions in French and in Chinese, it constitutes empirical and theoretical contributions to the formal study of French and Chinese verbal systems. It will be shown that the feature defectivity of phasal heads plays a key role motivating the formation of constructions in the two languages. Concerning the causative construction of faire in French, we will use the interpretation of Respectively as test to justify its bi-clausal status; and the exploration of the quantificational relations will show that the causativized vP in the complement of faire determines a defective phase, selected by another phasal functional head. In addition, the defectivity of the causativized vP and the phi-features integrated in the clitics result in the distribution of different types of clitics. Different from the causative construction in French involving a defective TP in a bi-clausal structure, Chinese causative verbs sub-categorize directly a phasal causativized v*P, and there is no other intervening phasal projections. It will be shown that Chinese distinguishes finite and infinitive Tenses as well, even such a distinction may not be manifested on verb forms. Concerning the verbs rang/jiao/gei in Chinese, we will show that their causative and passive functions carry out the different argument structures; and there is no derivational relation between the two argument structures of these verbs. Concerning the theoretic perspective, it will be shown that there are four phasal structures corresponding to the different argument structures of the causative verbs in French and in Chinese. In addition, this thesis will also explore the performance of the phase impenetrability condition and of the minimality condition with respect on different operations of the narrow syntax.

La conjecture de Zilber-Pink est une conjecture diophantienne concernant les intersections atypiques dans les variétés de Shimura mixtes. C’est une généralisation commune de la conjecture d’André-Oort et de la conjecture de Mordell-Lang. Le but de cette thèse est d’étudier Zilber-Pink. Plus concrètement, nous étudions la conjecture d’André-Oort, selon laquelle une sous-variété d’une variété de Shimura mixte est spéciale si son intersection avec l’ensemble des points spéciaux est dense, et la conjecture d’André-Pink-Zannier, selon laquelle une sous-variété d’une variété de Shimura mixte est faiblement spéciale si son intersection avec une orbite de Hecke généralisée est dense. Cette dernière conjecture généralise Mordell-Lang comme expliqué par Pink.Dans la méthode de Pila-Zannier, un point clef pour étudier la conjecture de Zilber-Pink est de démontrer le théorème d’Ax-Lindemann qui est une généralisation du théorème classique de Lindemann-Weierstrass dans un cadre fonctionnel. Un des résultats principaux de cette thèse est la démonstration du théorème d’Ax-Lindemann dans sa forme la plus générale, c’est- à-dire le théorème d’Ax-Lindemann mixte. Ceci généralise les résultats de Pila, Pila-Tsimerman, Ullmo-Yafaev et Klingler-Ullmo-Yafaev concernant Ax-Lindemann pour les variétés de Shimura pures.Un autre résultat de cette thèse est la démonstration de la conjecture d’André-Oort pour une grande collection de variétés de Shimura mixtes : in- conditionnellement pour une variété de Shimura mixte arbitraire dont la par- tie pure est une sous-variété de AN6 (par exemple les produits des familles universelles des variétés abéliennes de dimension 6 et le fibré de Poincaré sur A6) et sous GRH pour toutes les variétés de Shimura mixtes de type abélien. Ceci généralise des théorèmes connus de Klinger-Ullmo-Yafaev, Pila, Pila-Tsimerman et Ullmo pour les variétés de Shimura pures.Quant à la conjecture d’André-Pink-Zannier, nous démontrons plusieurs cas valables lorsque la variété de Shimura mixte ambiante est la famille universelle des variétés abéliennes. Tout d’abord nous démontrons l’intersection d’André-Oort et André-Pink-Zannier, c’est-à-dire que l’on étudie l’orbite de Hecke généralisée d’un point spécial. Ceci généralise des résultats d’Edixhoven-Yafaev et Klingler-Ullmo-Yafaev pour Ag. Nous prouvons ensuite la conjecture dans le cas suivant : une sous-variété d’un schéma abélien au dessus d’une courbe est faiblement spéciale si son intersection avec l’orbite de Hecke généralisée d’un point de torsion d’une fibre non CM est Zariski dense. Finalement pour une orbite de Hecke généralisée d’un point algébrique arbitraire, nous démontrons la conjecture pour toutes les courbes. Ces deux derniers cas généralisent des résultats de Habegger-Pila et Orr pour Ag.Dans toutes les démonstrations, la théorie o-minimale, en particulier le théorème de comptage de Pila-Wilkie, joue un rôle important. / The Zilber-Pink conjecture is a diophantine conjecture concerning unlikely intersections in mixed Shimura varieties. It is a common generalization of the André-Oort conjecture and the Mordell-Lang conjecture. This dissertation is aimed to study the Zilber-Pink conjecture. More concretely, we will study the André-Oort conjecture, which predicts that a subvariety of a mixed Shimura variety having dense intersection with the set of special points is special, and the André-Pink-Zannier conjecture which predicts that a subvariety of a mixed Shimura variety having dense intersection with a generalized Hecke orbit is weakly special. The latter conjecture generalizes the Mordell-Lang conjecture as explained by Pink.In the Pila-Zannier method, a key point to study the Zilber-Pink conjec- ture is to prove the Ax-Lindemann theorem, which is a generalization of the functional analogue of the classical Lindemann-Weierstrass theorem. One of the main results of this dissertation is to prove the Ax-Lindemann theorem in its most general form, i.e. the mixed Ax-Lindemann theorem. This generalizes results of Pila, Pila-Tsimerman, Ullmo-Yafaev and Klingler-Ullmo-Yafaev concerning the Ax-Lindemann theorem for pure Shimura varieties.Another main result of this dissertation is to prove the André-Oort conjecture for a large class of mixed Shimura varieties: unconditionally for any mixed Shimura variety whose pure part is a subvariety of AN6 (e.g. products of universal families of abelian varieties of dimension 6 and the Poincaré bundle over A6) and under GRH for all mixed Shimura varieties of abelian type. This generalizes existing theorems of Klinger-Ullmo-Yafaev, Pila, Pila-Tsimerman and Ullmo concerning pure Shimura varieties.As for the André-Pink-Zannier conjecture, we prove several cases when the ambient mixed Shimura variety is the universal family of abelian varieties. First we prove the overlap of André-Oort and André-Pink-Zannier, i.e. we study the generalized Hecke orbit of a special point. This generalizes results of Edixhoven-Yafaev and Klingler-Ullmo-Yafaev for Ag. Secondly we prove the conjecture in the following case: a subvariety of an abelian scheme over a curve is weakly special if its intersection with the generalized Hecke orbit of a torsion point of a non CM fiber is Zariski dense. Finally for the generalized Hecke orbit of an arbitrary algebraic point, we prove the conjecture for curves. These generalize existing results of Habegger-Pila and Orr for Ag.In all these proofs, the o-minimal theory, in particular the Pila-Wilkie counting theorems, plays an important role.

L'objectif de cette thèse est, d'une part, de fournir des méthodes de planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes, et d'autre part, d'étudier la contrôlabilité spectrale pour les équations de Schrödinger linéarisées. Nous avons apporté une double contribution au problème de la planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes. Fondé sur la géométrie sous-riemannienne, nous avons conçu un nouvel algorithme qui résout complètement le problème dans un cadre général. Nous avons également proposé une implémentation numérique de la méthode de continuation qui fournit des solutions satisfaisantes au problème de la planification du roulement sur le plan, un exemple classique de systèmes non-holonomes à deux entrées. Nous avons donné des conditions nécessaires et suffisantes de contrôlabilité spectrale en temps fini des équations de Schrödinger linéarisées en dimension 2 et 3. Leur généricité par rapport au domaine a été étudiée par une technique originale basée sur les équations intégrales.