Neste trabalho consideramos ações parciais torcidas de um grupo G sobre um anel A. Além disso, estudamos ações parciais torcidas que admitem envolvente. No caso em que A e semiprimo, estendemos a ação parcial torcida ao anel de quocientes maximal de A. Com isso, encontramos condições necessárias e suficientes para que o produto cruzado parcial A ∗α G seja um anel semiprimo de Goldie a esquerda. Também, introduzimos o conceito de ação parcial torcida X - externa estudando algumas propriedades que se transferem de A para A ∗α G quando a ação e deste tipo. / In this work we consider twisted partial actions of a group G on a ring A. Firstly we study twisted partial actions with enveloping action. Next we assume that A is semiprime. In this case we extend the twisted partial action to the maximal left rings of quotients of A. Using this we find necessary and suficient conditions for the partial crossed product A ∗α G to be a semiprime Goldie ring. Finally we introduce the concept of the twisted partial action X -outer and study some properties that transfer from A to A ∗α G when the action is of this type.

Neste trabalho consideramos ações parciais torcidas de um grupo G sobre um anel A. Além disso, estudamos ações parciais torcidas que admitem envolvente. No caso em que A e semiprimo, estendemos a ação parcial torcida ao anel de quocientes maximal de A. Com isso, encontramos condições necessárias e suficientes para que o produto cruzado parcial A ∗α G seja um anel semiprimo de Goldie a esquerda. Também, introduzimos o conceito de ação parcial torcida X - externa estudando algumas propriedades que se transferem de A para A ∗α G quando a ação e deste tipo. / In this work we consider twisted partial actions of a group G on a ring A. Firstly we study twisted partial actions with enveloping action. Next we assume that A is semiprime. In this case we extend the twisted partial action to the maximal left rings of quotients of A. Using this we find necessary and suficient conditions for the partial crossed product A ∗α G to be a semiprime Goldie ring. Finally we introduce the concept of the twisted partial action X -outer and study some properties that transfer from A to A ∗α G when the action is of this type.

Neste trabalho consideramos ações parciais torcidas de um grupo G sobre um anel A. Além disso, estudamos ações parciais torcidas que admitem envolvente. No caso em que A e semiprimo, estendemos a ação parcial torcida ao anel de quocientes maximal de A. Com isso, encontramos condições necessárias e suficientes para que o produto cruzado parcial A ∗α G seja um anel semiprimo de Goldie a esquerda. Também, introduzimos o conceito de ação parcial torcida X - externa estudando algumas propriedades que se transferem de A para A ∗α G quando a ação e deste tipo. / In this work we consider twisted partial actions of a group G on a ring A. Firstly we study twisted partial actions with enveloping action. Next we assume that A is semiprime. In this case we extend the twisted partial action to the maximal left rings of quotients of A. Using this we find necessary and suficient conditions for the partial crossed product A ∗α G to be a semiprime Goldie ring. Finally we introduce the concept of the twisted partial action X -outer and study some properties that transfer from A to A ∗α G when the action is of this type.

Nessa dissertação, apresentamos os Teoremas de Dualidade de Cohen e Montgomery, [4]. Discutimos também a construção de um contexto de Morita para uma álgebra graduada por um grupo finito. Como aplicação dos resultados desenvolvidos no texto, estudamos a relação entre o radical de Jacobson e o radical de Jacobson graduado de álgebras graduadas, apresentando a solução de Cohen e Montgomery para uma conjectura de Bergman. / In this work, we will present the Cohen and Montgomery's Duality Theorems, [4]. We also discuss the construction of a Morita context to an algebra graded by a nite group. As an application of the results developed in the text, we studied the relations between the Jacobson radical and the graded Jacobson radical of graded algebras, presenting to Cohen and Montgomery's solution for a Bergman's conjecture.

Nessa dissertação, apresentamos os Teoremas de Dualidade de Cohen e Montgomery, [4]. Discutimos também a construção de um contexto de Morita para uma álgebra graduada por um grupo finito. Como aplicação dos resultados desenvolvidos no texto, estudamos a relação entre o radical de Jacobson e o radical de Jacobson graduado de álgebras graduadas, apresentando a solução de Cohen e Montgomery para uma conjectura de Bergman. / In this work, we will present the Cohen and Montgomery's Duality Theorems, [4]. We also discuss the construction of a Morita context to an algebra graded by a nite group. As an application of the results developed in the text, we studied the relations between the Jacobson radical and the graded Jacobson radical of graded algebras, presenting to Cohen and Montgomery's solution for a Bergman's conjecture.

Nessa dissertação, apresentamos os Teoremas de Dualidade de Cohen e Montgomery, [4]. Discutimos também a construção de um contexto de Morita para uma álgebra graduada por um grupo finito. Como aplicação dos resultados desenvolvidos no texto, estudamos a relação entre o radical de Jacobson e o radical de Jacobson graduado de álgebras graduadas, apresentando a solução de Cohen e Montgomery para uma conjectura de Bergman. / In this work, we will present the Cohen and Montgomery's Duality Theorems, [4]. We also discuss the construction of a Morita context to an algebra graded by a nite group. As an application of the results developed in the text, we studied the relations between the Jacobson radical and the graded Jacobson radical of graded algebras, presenting to Cohen and Montgomery's solution for a Bergman's conjecture.

The problem with which this investigation is concerned is that of determining the properties of three radicals defined on an arbitrary ring and determining when these radicals coincide. The three radicals discussed are the nil radical, the Jacobsson radical, and the Brown-McCoy radical.

The main purpose of this paper is to examine the road towards the structure of simple and semi-simple Artinian rings. We refer to these structure theorems as the Wedderburn-Artin theorems. On this journey, we will discuss R-modules, the Jacobson radical, Artinian rings, nilpotency, idempotency, and more. Once we reach our destination, we will examine some implications of these theorems. As a fair warning, no ring will be assumed to be commutative, or to have unity. On that note, the reader should be familiar with the basic findings from Group Theory and Ring Theory.

The Jacobson radical of a ring was first formally studied in 1945 by Nathan Jacobson and is an important object in modern abstract algebra. The analogous notion of the Jacobson radical for a module is referred to as the radical of a module. The radical of a module is the intersection of all its maximal submodules. In general, the radical of a module is simpler than the module itself and contains important information about the module. The study of the radical of a module often appears as an incidental to other investigations. This thesis represents work towards understanding the radical of a module extension. Given a ring $R$ and $R$-modules $A,B,X$ such that $X$ is an extension of $B$ by $A$ as in the short exact sequence $$0 rightarrow A rightarrow X rightarrow B rightarrow 0 ,$$ we seek to determine properties of the radical of $X$, denoted $rad{X}$. These properties are dependent on the ring $R$ and properties of the modules $A$ and $B$. In this thesis we examine several different types of extensions and discuss a phenomenon in which a non-zero radical implies a split sequence. We work in the context of rings and their ideals. Extensions of abelian groups provide motivation for the results we prove about injectivity of radicals of extensions involving divisible modules and torsion modules. We are able to prove such properties of the radical for extensions of modules over principal ideal domains and Dedekind domains. Expanding upon these cases, we explore a more general construction of an extension and use it to explain our motivating abelian group results. We use the theorems proven about this construction to remark on possible generalizations to other types of rings and modules. We conclude with plans to generalize our statements by translating into terms of infinite matrices and $h$-local rings.

O objetivo desta dissertação é estudar o radical de Jacobson de anéis de polinômios diferenciais. Mostramos um resultado de M. Ferrero, K. Kishimoro, K. Motose, que mostra que no caso geral, o radical de um anel de polinômios diferenciais é um anel de polinômios diferenciais sobre algum ideal do anel dos coeficientes. Assumindo que o anel dos coeficientes satisfaça uma identidade polinomial, mostramos seguindo B. Madill que este ideal é um ideal nil. Se o anel dos coeficientes é adicionalmente localmente nilpotente, seguindo J. Bell, B. Madill, F. Shinko, mostramos que o anel de polinômios diferenciais será localmente nilpotente. Ainda seguindo J. Bell et al, se o anel dos coeficientes é uma álgebra sobre um corpo de característica zero e tal álgebra satisfaz uma identidade polinomial, mostramos que o ideal nil é o radical de Köthe. Para tais demonstrações, cobriremos os tópicos preliminares necessários para entender os enunciados: radical nil, radical de Levitzki, radical de Baer, radical de Jacobson e propriedades, anéis PI, polinômios centrais, teorema de Kaplansky. / The aim of this work is to study the Jacobson radical of differential polynomial rings. We show a result of M. Ferrero, K. Kishimoto, K. Motose, which shows that in general, the radical of a differential polynomial ring is a differential polynomial ring over some ideal of the ring of coefficients. Assuming that the ring of coefficients satisfies a polynomial identity, we show following B. Madill that this ideal is nil. If the ring of coefficients is additionally locally nilpotent, following J. Bell, B. Madill, F. Shinko, we show that the differential polynomial ring is locally nilpotent. Still following J. Bell et al, if the ring of coefficients is an algebra over a field of zero characteristic and this algebra satisfies a polynomial identity, we show that the nil ideal is the Köthe radical. For the proofs, we cover the preliminary topics necessary for understanding the statements: nil radical, Levitzki radical, Baer radical, Jacobson radical and its properties, PI-rings, central polynomials, Kaplanskys theorem.