Nous donnons dans cette thèse une preuve du problème de l’entropie volumique minimale dans les quotients compacts de H2_H2. Une conjecture de Gromov et Katok prétend en effet que, sur un espace localement symétrique (M; g0), la métrique de plus petite entropie volumique parmi les métriques de volume fixé est la métrique g0. Le texte se veut relativement abordable. C’est pourquoi nous avons intégré un premier chapitre qui contient une bonne partie du matériel qui sera utilisé par la suite. Puis nous passons en revue les preuves des différents cas du problème déjà traités. Le cas des quotients compacts de H2_H2 n’était pas connu avant ce travail ; nous en détaillons minutieusement la preuve. Notre démarche consiste à faire fonctionner la méthode de calibration imaginée dans [BCG95]. Nous présentons aussi les principales applications qui découlent de la preuve de la conjecture de Gromov et Katok. Nous concluons par une discussion heuristique qui explique les enjeux du problème que nous étudions. / In this thesis we give an overview of the volume entropy rigidity problem. A conjecture by Gromov and Katok states that, on a locally symmetric space (M; g0), the symmetric metric g0 has minimal volume entropy among metrices with the same total volume. The text is self-contained, assuming a basic knowledge in differential geometry. Therefore we discuss in the first chapter some background material used in the sequel. The case of compact quotients of H2 _ H2 was unknown before this work ; we give a fully detailled proof. The key-point is to build a calibrating form as in [BCG95]. As a by-product, we present some applications provided by the proof of the volume entropy rigidity conjecture. We conclude by an informal section explaining the motivations of the problem to a non-mathematical reader.

Estudamos exemplos de métricas Finsler simétricas e não-simétricas em S^n, CP^n e HP^n com uma quantidade finita de geodésicas fechadas ou com uma quantidade pequena de geodésicas fechadas \"curtas\". São os chamados exemplos de Katok. Usamos como referência o artigo \"Geometry of the Katok examples\" de Wolfgang Ziller. Verificamos que existem métricas Finsler cujo número de geodésicas fechadas é 2n (no caso de S^ e S^), n(n+1) (no caso de CP^n) e 2n(n+1) (no caso de CP^n). Tais exemplos são construídos numa vizinhança qualquer da métrica Riemanniana canônica dessas variedades. / We study examples of symmetric and non-symmetric Finsler metrics on S^n, CP^n and HP^n with a finite number of closed geodesics or with a small number of \"short\" closed geodesics. These are the well known Katok\'s examples. We use Ziller\'s article Geometry of the Katok examples. We exhibit Finsler metrics whose number of closed geodesics is 2n (in the case of S^ and S^), n(n+1) (in the case of CP^n) and 2n(n+1) (in the case of HP^n). Such examples are found in any neighborhood of the canonical Riemannian metric on these manifolds.

Estudamos exemplos de métricas Finsler simétricas e não-simétricas em S^n, CP^n e HP^n com uma quantidade finita de geodésicas fechadas ou com uma quantidade pequena de geodésicas fechadas \"curtas\". São os chamados exemplos de Katok. Usamos como referência o artigo \"Geometry of the Katok examples\" de Wolfgang Ziller. Verificamos que existem métricas Finsler cujo número de geodésicas fechadas é 2n (no caso de S^ e S^), n(n+1) (no caso de CP^n) e 2n(n+1) (no caso de CP^n). Tais exemplos são construídos numa vizinhança qualquer da métrica Riemanniana canônica dessas variedades. / We study examples of symmetric and non-symmetric Finsler metrics on S^n, CP^n and HP^n with a finite number of closed geodesics or with a small number of \"short\" closed geodesics. These are the well known Katok\'s examples. We use Ziller\'s article Geometry of the Katok examples. We exhibit Finsler metrics whose number of closed geodesics is 2n (in the case of S^ and S^), n(n+1) (in the case of CP^n) and 2n(n+1) (in the case of HP^n). Such examples are found in any neighborhood of the canonical Riemannian metric on these manifolds.

Cette thèse traite de quelques questions de dynamique différentiable. Elle se compose de deux parties relativement indépendantes, comprenant chacune deux chapitres. La première partie établit des estimées de la conjugaison à des rotations de difféomorphismes du cercle, et en obtient des applications. La seconde partie porte sur la méthode de construction par conjugaisons successives et le problème de réalisation différentiable. Le premier chapitre part d'un théorème célèbre de Herman et Yoccoz, qui affirme que si un difféomorphisme $C^\infty$ du cercle $f$ a un nombre de rotation $\alpha$ qui satisfait à une condition diophantienne, alors $f$ est $C^\infty$-conjugué à une rotation. Nous établissons des relations explicites entre les normes $C^k$ de cette conjugaison et la condition diophantienne sur $\alpha$. Pour obtenir ces estimées, nous modifions convenablement la preuve de Yoccoz. Dans le deuxième chapitre, nous utilisons certaines de ces estimées pour montrer deux résultats. Le premier porte sur le problème de quasi-réductibilité: pour un ensemble Baire-dense de nombres $\alpha$, pour tout difféomorphisme $f$ de nombre de rotation $\alpha$, il est possible d'accumuler $R_\alpha$ avec une suite $h_n f h_n^{-1}$, $h_n$ étant un difféomorphisme. Le second résultat de ce chapitre est: pour un ensemble Baire-dense de nombres $\alpha$, étant donnés deux difféomorphismes $f$ and $g$ qui commutent, tels que $f$ a $\alpha$ pour nombre de rotation, il est possible d'approcher chacun d'eux par des difféomorphismes $f_n$ et $g_n$ qui commutent, et qui sont conjugués de manière différentiable à des rotations. Le troisième chapitre traite du problème de réalisation lisse non-standard de translations du tore. Sur certaines variétés admettant une action du cercle, nous construisons des difféomorphismes préservant le volume, et métriquement isomorphes à des translations ergodiques du tore, tels qu'une coordonnée de la translation soit un nombre de Liouville arbitraire. Pour obtenir ce résultat, nous déterminons des conditions suffisantes sur des vecteurs de translation du tore qui permettent de construire explicitement la suite de conjugaisons successives dans la méthode d'Anosov-Katok, avec des estimées convenables de leur norme. %we introduce and study the problem of non-standard couples of angles. W Dans le quatrième chapitre, sur les mêmes variétés que précédemment, et pour certains angles de Liouville $\alpha$, nous montrons que l'adhérence lisse de la classe de conjugaison lisse et préservant le volume de la rotation $S_\alpha$ contient un difféomorphisme lisse et préservant le volume $T$ qui est métriquement isomorphe à une rotation irrationnelle du cercle $R_\beta$, avec $\alpha \not\eq \pm \beta$, et avec $\alpha$ et $\beta$ choisis rationnellement dépendants ou rationnellement indépendants. En particulier, l'anneau fermé $[0,1] \times \varmathbb{T}^1$ admet une pseudo-rotation lisse ergodique $T$ d'angle $\alpha$ qui est métriquement isomorphe à une rotation $R_\beta$.

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