Efficient Implementation of 3D Finite Difference Schemes on Recent Processors Abstract In this paper a solver is introduced that solves a problem set modelled by the Burgers equation using the finite difference method: forward in time and central in space. The solver is parallelized and optimized for Intel Xeon Phi 7120P as well as Intel Xeon E5-2699v3 processors to investigate differences in terms of performance between the two architectures. Optimized data access and layout have been implemented to ensure good cache utilization. Loop tiling strategies are used to adjust data access with respect to the L2 cache size. Compiler hints describing aligned memory access are used to support vectorization on both processors. Additionally, prefetching strategies and streaming stores have been evaluated for the Intel Xeon Phi. Parallelization was done using OpenMP and MPI. The parallelisation for native execution on Xeon Phi is based on OpenMP and yielded a raw performance of nearly 100 GFLOP/s, reaching a speedup of almost 50 at a 83\% parallel efficiency. An OpenMP implementation on the E5-2699v3 (Haswell) processors produced up to 292 GFLOP/s, reaching a speedup of almost 31 at a 85\% parallel efficiency. For comparison a mixed implementation using interleaved communications with computations reached 267 GFLOP/s at a speedup of 28 with a 87\% parallel efficiency. Running a pure MPI implementation on the PDC's Beskow supercomputer with 16 nodes yielded a total performance of 1450 GFLOP/s and for a larger problem set it yielded a total of 2325 GFLOP/s, reaching a speedup and parallel efficiency at resp. 170 and 33,3\% and 290 and 56\%. An analysis based on the roofline performance model shows that the computations were memory bound to the L2 cache bandwidth, suggesting good L2 cache utilization for both the Haswell and the Xeon Phi's architectures. Xeon Phi performance can probably be improved by also using MPI. Keeping technological progress for computational cores in the Haswell processor in mind for the comparison, both processors perform well. Improving the stencil computations to a more compiler friendly form might improve performance more, as the compiler can possibly optimize more for the target platform. The experiments on the Cray system Beskow showed an increased efficiency from 33,3\% to 56\% for the larger problem, illustrating good weak scaling. This suggests that problem sizes should increase accordingly for larger number of nodes in order to achieve high efficiency. Frederick Ceder / Effektiv implementering av finita differensmetoder i 3D på moderna processorarkitekturer Sammanfattning Denna uppsats diskuterar implementationen av ett program som kan lösa problem modellerade efter Burgers ekvation numeriskt. Programmet är byggt ifrån grunden och använder sig av finita differensmetoder och applicerar FTCS metoden (Forward in Time Central in Space). Implementationen paralleliseras och optimeras på Intel Xeon Phi 7120P Coprocessor och Intel Xeon E5-2699v3 processorn för att undersöka skillnader i prestanda mellan de två modellerna. Vi optimerade programmet med omtanke på dataåtkomst och minneslayout för att få bra cacheutnyttjande. Loopblockningsstrategier används också för att dela upp arbetsminnet i mindre delar för att begränsa delarna i L2 cacheminnet. För att utnyttja vektorisering till fullo så används kompilatordirektiv som beskriver minnesåtkomsten, vilket ska hjälpa kompilatorn att förstå vilka dataaccesser som är alignade. Vi implementerade också prefetching strategier och streaming stores på Xeon Phi och disskuterar deras värde. Paralleliseringen gjordes med OpenMP och MPI. Parallelliseringen för Xeon Phi:en är baserad på bara OpenMP och exekverades direkt på chipet. Detta gav en rå prestanda på nästan 100 GFLOP/s och nådde en speedup på 50 med en 83% effektivitet. En OpenMP implementation på E5-2699v3 (Haswell) processorn fick upp till 292 GFLOP/s och nådde en speedup på 31 med en effektivitet på 85%. I jämnförelse fick en hybrid implementation 267 GFLOP/s och nådde en speedup på 28 med en effektivitet på 87%. En ren MPI implementation på PDC's Beskow superdator med 16 noder gav en total prestanda på 1450 GFLOP/s och för en större problemställning gav det totalt 2325 GFLOP/s, med speedup och effektivitet på respektive 170 och 33% och 290 och 56%. En analys baserad på roofline modellen visade att beräkningarna var minnesbudna till L2 cache bandbredden, vilket tyder på bra L2-cache användning för både Haswell och Xeon Phi:s arkitekturer. Xeon Phis prestanda kan förmodligen förbättras genom att även använda MPI. Håller man i åtanke de tekniska framstegen när det gäller beräkningskärnor på de senaste åren, så preseterar både arkitekturer bra. Beräkningskärnan av implementationen kan förmodligen anpassas till en mer kompilatorvänlig variant, vilket eventuellt kan leda till mer optimeringar av kompilatorn för respektive plattform. Experimenten på Cray-systemet Beskow visade en ökad effektivitet från 33,3% till 56% för större problemställningar, vilket visar tecken på bra weak scaling. Detta tyder på att effektivitet kan uppehållas om problemställningen växer med fler antal beräkningsnoder. Frederick Ceder