Denna rapport är skriven som en del av ett kandidatarbete inom civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik på Uppsala universitet, vårterminen 2022. Målet med arbetet var att jämföra två olika matematiska verktyg, Monte Carlo- och Kvasi-Monte Carlo-metoder och se vilken ut av dessa som var effektivast när det kommer till att beräkna svårlösta integraler. Monte Carlo-simuleringar har använts frekvent inom matematiken sedan 1940-talet och är ett samlingsbegrepp för statistiska simuleringar där pseudoslumptalssekvenser används för att beräkna komplicerade numeriska problem. Kvasi-Monte Carlo-metodens algoritm är den samma som för Monte Carlo, med undantaget att i stället för att använda pseudoslumptalssekvenser vid lösningen, används sekvenser med låg diskrepans, t.ex. Sobolsekvensen. Genom att använda programmeringsprogrammet Matlab kunde den högdimensionella integralen av Rosenbrocks funktion, den endimensionella integralen som används för att prissätta europeiska köp- och säljoptioner samt den högdimensionella integralen som används för att prissätta asiatiska köpoptioner beräknas med hjälp av Monte Carlo- och Kvasi-Monte Carlo-metoden. Således kunde dessa metoders konvergens undersökas. Det visade sig, som tidigare forskning också gett stöd för, att Kvasi-Monte Carlo-metoden konvergerade betydligt snabbare mot det analytiska värdet än vad Monte Carlo-metoden gjorde, för samtliga tre problem.  För framtida bruk av Monte Carlo-metoder när integraler skall beräknas rekommenderas det att i stället för att använda pseudoslumptalssekvenser, använda tal från sekvenser med låg diskrepans, gärna en sobolsekvens. Detta då lösningen både konvergerar snabbare mot det analytiska värdet och är mer exakt, trots höga dimensioner.

We present the notions of uniform distribution and discrepancy of sequences contained in the unit interval, as well as an important application of discrepancy in numerical integration by way of the quasi-Monte Carlo method. Some fundamental (and other interesting) results with regards to these notions are presented, along with some detalied and instructive examples and comparisons (some of which not often provided by the literature). We go on to analytical and numerical investigations of the asymptotic behaviour of the discrepancy (in particular for the van der Corput-sequence), and for the general error estimates of the quasi-Monte Carlo method. Using the discoveries from these investigations, we give a conditional proof of the van der Corput theorem. Furthermore, we illustrate that by using low discrepancy sequences (such as the vdC-sequence), a rather fast convergence rate of the quasi-Monte Carlo method may still be achieved, even for situations in which the famous theoretical result, the Koksma inequality, hasbeen rendered unusable. / Vi presenterar begreppen likformig distribution och diskrepans hos talföljder på enhetsintervallet, såväl som en viktig tillämpning av diskrepans inom numerisk integration via kvasi-Monte Carlo metoden. Några fundamentala (och andra intressanta) resultat presenteras med avseende på dessa begrepp, tillsammans med några detaljerade och instruktiva exempel och jämförelser (varav några sällan presenterade i litteraturen). Vi går vidare med analytiska och numeriska undersökningar av det asymptotiska beteendet hos diskrepansen (särskilt för van der Corput-följden), såväl som för den allmänna feluppskattningen hos kvasi-Monte Carlo metoden. Utifrån upptäckterna från dessa undersökningar ger vi ett villkorligt bevis av van der Corput's sats, samt illustrerar att man genom att använda lågdiskrepanstalföljder (som van der Corput-följden) fortfarande kan uppnå tämligen snabb konvergenshastighet för kvasi-Monte Carlo metoden. Detta även för situationer där de kända teoretiska resultatet, Koksma's olikhet, är oandvändbart.