Um dos problemas enfrentados pelos cientistas para o confinamento de plasma em Tokamaks, para se obter fusão termonuclear controlada, é o transporte radial de partículas pela borda do plasma. Nessa dissertação, estudamos o transporte através de um modelo que relaciona as flutuações eletrostáticas na borda do plasma às ondas de deriva. Essas ondas criam no plasma regiões de fluxo convectivo, formando ilhas que são, eventualmente, separadas por barreiras. Para apenas uma onda, o sistema é integrável e todas as trajetórias do plano de fase são curvas invariantes que, se não existirem barreiras, estão em ilhas divididas por separatrizes. Foi verificado que, quando uma segunda onda com velocidade de fase diferente da primeira é utilizada, o sistema não é mais integrável e a região anteriormente ocupada pelas separatrizes torna-se caótica. Com a quebra de separatrizes ocorre o transporte caótico de partículas. Quando uma separatriz é quebrada, surge em seu lugar uma estrutura que ainda preserva algumas características da separatriz, mas se modifica no espaço de fases ao longo do tempo. Essa estrutura é conhecida como Estrutura Lagrangiana Coerente (ELC). Nessa dissertação verificamos que as ELCs, por um lado, funcionam como barreiras de transporte, pois nenhuma trajetória consegue atravessa-la e, por outro lado, criam regiões no espaço de fases onde o transporte é alto, pois trajetórias próximas a elas tendem a ser aceleradas. Uma das principais contribuições obtidas ao se estudar ELCs no problema de duas ondas de deriva, aplicado ao confinamento de plasmas em Tokamaks, é a possibilidade de se prever a existência de ilhas, que funcionem como barreiras de transporte, no plano de fases que, por sua vez, são um importante mecanismo de aprisionamento de partículas. / One of the problems facing scientists in the confinement of plasma in tokamaks, to obtain controlled thermonuclear fusion, is the radial transport of particles at the plasma edge. In this dissertation, we study particle transport through a model that relates the electrostatic fluctuations at the edge of the plasma with drift waves. These waves create regions inside the plasma with convective flow, forming islands that are eventually separated by barriers. For one wave, the system is integrable and all the trajectories of phase space are invariant curves that are divided by separatrices. It was found that when a second wave with phase velocity different from the first is used, the system is no longer integrable and the region previously occupied by the separatrix becomes chaotic. With the destruction of the separatrix the transport of particles is chaotic. When a separatrix is broken, appears in its place a structure that preserves some features of the separatrix, but it is changing in phase space over time. This structure is known as Lagrangian Coherent Structure (LCS). In this dissertation we found that the LCSs, on the one hand, act as transport barriers, since no trajectory can cross it and, moreover, creates regions in phase space where particle transport is high, because trajectories close to them tend to be accelerated. One of the main contributions obtained by studying LCSs in the problem of two drift waves, applied to the confinement of plasma in tokamaks, is the ability to predict the existence of islands, which act as transport barriers, which are an important mechanism of trapping particles.

Nesta tese foi estudado o transporte de partículas na borda do plasma confinado magneticamente em tokamaks a partir de um modelo para ondas de deriva proveniente de flutuaçõoes eletrostáticas geradas pela não uniformidade do plasma. Para investigar esse problema, consideramos o modelo com duas ondas de deriva, que possui uma complexa dinâmica não linear onde podemos encontrar tanto transporte anômalo quanto transporte difusivo. Para a encontras no plano de fases as Estruturas Lagrangianas Coerentes (ELCs) e os jatos, foram confeccionados mapas de Poincaré, diagramas de expoente de Lyapunov a tempo finito, diagramas de deslocamento quadrático, diagramas de autocorrelação da velocidade e o diagrama de retorno. Para avaliar o impacto dessas ELCs no transporte de partículas foram analisados a série temporal do desvio padrão médio, da dispersão relativa e dos saltos dentro do mapa de Poincar´e e também foram confeccionados histogramas com a distribuição desses saltos. Foi encontrado que, com duas ondas de deriva e para uma determinada combinação de parâmetros, surgem correntes de jato, que persistem por longos períodos, imersas na região caótica. Verificamos que, assim como nas ilhas, a região interna às correntes de jato são inacessíveis às ELCs. Também foi encontrado que, quando existe uma corrente de jato, o transporte observado na região caótica não é simétrico com uma pequena deriva na direção contraria ao jato. Esse fenômeno observado ocorre em contrapartida ao caso típico de sistemas com mistura em que as ELCs tem acesso a todo o plano de fase e o transporte é difusivo. / In this thesis we studied the particle transport in the edge of magnetically confined plasma in tokamaks using a model of drift waves due to electrostatic fluctuations generated by the non-uniformity of the plasma. To investigate this issue, we consider the model with two drift waves, which has a complex nonlinear dynamics where we can find both anomalous and diffusive transport. To find the Lagrangian Coherent Structures (LCSs) and the jets, we used Poincaré maps, Finite time Lyapunov exponent diagrams, quadratic displacement diagrams, autocorrelation velocity diagrams and return displacement diagram. To evaluate the impact of LCSs in the transport of particles, we analyzed the time series of both average standard deviation and relative dispertion and also histograms of the distribution of these jumps. It was found that, with two drift waves and for a given combination of parameters, a jet streams appear in the phase space and persist for long periods of time immersed in the chaotic region. We found that, as well as on the islands, the inner region of the jet streams are inaccessible to LCSs. It was also found that when there is a jet stream, the transport observed in the chaotic region is not symmetrical and have a small drift in the opposite direction to the jet. This phenomenon is observed in contrast to the typical case of systems with mixing in wich the LCSs have access to all the phase space and the trasnport is diffusive.

Este trabalho tem como objetivo a classificação simplética de germes de curvas parametrizadas e de estrelas lagrangianas por meio do método das restrições algébricas. Classificamos simpleticamente germes de curvas parametrizadas com semigrupos (4; 5; 6); (4; 5; 7) e (4; 5; 6; 7). Introduzimos um invariante para distinguir restrições algébricas a germes de curvas parametrizadas quase homogêneas: a parte de quase grau mínimo proporcional. Através do método das restrições algébricas, este invariante é capaz de distinguir diferentes órbitas de germes de curvas parametrizadas quase homogêneas sob a ação dos germes de simplectomorfismos. Classificamos estrelas lagrangianas duas a duas transversais com respeito ao grupo dos simplectomorfismos. / This work aims the symplectic classification of parametrized curve-germs and Lagrangian stars using the method of algebraic restrictions. We classify simplecticaly parametrized curve-germs with semigroups (4; 5; 6); (4; 5; 7) e (4; 5; 6; 7) We introduce an invariant for algebraic restrictions to quasi-homogeneous parametrized curve-germs: the proportional minimum quasi degree part. By the method of algebraic restrictions, this invariant is able to distinguish different orbits of parameterized quasi-homogeneous curve-germs under the action of symplectomorphisms. We classify Lagrangian stars two to two transversal with respect to the group of simplectomorphisms.

Nesta tese foi estudado o transporte de partículas na borda do plasma confinado magneticamente em tokamaks a partir de um modelo para ondas de deriva proveniente de flutuaçõoes eletrostáticas geradas pela não uniformidade do plasma. Para investigar esse problema, consideramos o modelo com duas ondas de deriva, que possui uma complexa dinâmica não linear onde podemos encontrar tanto transporte anômalo quanto transporte difusivo. Para a encontras no plano de fases as Estruturas Lagrangianas Coerentes (ELCs) e os jatos, foram confeccionados mapas de Poincaré, diagramas de expoente de Lyapunov a tempo finito, diagramas de deslocamento quadrático, diagramas de autocorrelação da velocidade e o diagrama de retorno. Para avaliar o impacto dessas ELCs no transporte de partículas foram analisados a série temporal do desvio padrão médio, da dispersão relativa e dos saltos dentro do mapa de Poincar´e e também foram confeccionados histogramas com a distribuição desses saltos. Foi encontrado que, com duas ondas de deriva e para uma determinada combinação de parâmetros, surgem correntes de jato, que persistem por longos períodos, imersas na região caótica. Verificamos que, assim como nas ilhas, a região interna às correntes de jato são inacessíveis às ELCs. Também foi encontrado que, quando existe uma corrente de jato, o transporte observado na região caótica não é simétrico com uma pequena deriva na direção contraria ao jato. Esse fenômeno observado ocorre em contrapartida ao caso típico de sistemas com mistura em que as ELCs tem acesso a todo o plano de fase e o transporte é difusivo. / In this thesis we studied the particle transport in the edge of magnetically confined plasma in tokamaks using a model of drift waves due to electrostatic fluctuations generated by the non-uniformity of the plasma. To investigate this issue, we consider the model with two drift waves, which has a complex nonlinear dynamics where we can find both anomalous and diffusive transport. To find the Lagrangian Coherent Structures (LCSs) and the jets, we used Poincaré maps, Finite time Lyapunov exponent diagrams, quadratic displacement diagrams, autocorrelation velocity diagrams and return displacement diagram. To evaluate the impact of LCSs in the transport of particles, we analyzed the time series of both average standard deviation and relative dispertion and also histograms of the distribution of these jumps. It was found that, with two drift waves and for a given combination of parameters, a jet streams appear in the phase space and persist for long periods of time immersed in the chaotic region. We found that, as well as on the islands, the inner region of the jet streams are inaccessible to LCSs. It was also found that when there is a jet stream, the transport observed in the chaotic region is not symmetrical and have a small drift in the opposite direction to the jet. This phenomenon is observed in contrast to the typical case of systems with mixing in wich the LCSs have access to all the phase space and the trasnport is diffusive.

Um dos problemas enfrentados pelos cientistas para o confinamento de plasma em Tokamaks, para se obter fusão termonuclear controlada, é o transporte radial de partículas pela borda do plasma. Nessa dissertação, estudamos o transporte através de um modelo que relaciona as flutuações eletrostáticas na borda do plasma às ondas de deriva. Essas ondas criam no plasma regiões de fluxo convectivo, formando ilhas que são, eventualmente, separadas por barreiras. Para apenas uma onda, o sistema é integrável e todas as trajetórias do plano de fase são curvas invariantes que, se não existirem barreiras, estão em ilhas divididas por separatrizes. Foi verificado que, quando uma segunda onda com velocidade de fase diferente da primeira é utilizada, o sistema não é mais integrável e a região anteriormente ocupada pelas separatrizes torna-se caótica. Com a quebra de separatrizes ocorre o transporte caótico de partículas. Quando uma separatriz é quebrada, surge em seu lugar uma estrutura que ainda preserva algumas características da separatriz, mas se modifica no espaço de fases ao longo do tempo. Essa estrutura é conhecida como Estrutura Lagrangiana Coerente (ELC). Nessa dissertação verificamos que as ELCs, por um lado, funcionam como barreiras de transporte, pois nenhuma trajetória consegue atravessa-la e, por outro lado, criam regiões no espaço de fases onde o transporte é alto, pois trajetórias próximas a elas tendem a ser aceleradas. Uma das principais contribuições obtidas ao se estudar ELCs no problema de duas ondas de deriva, aplicado ao confinamento de plasmas em Tokamaks, é a possibilidade de se prever a existência de ilhas, que funcionem como barreiras de transporte, no plano de fases que, por sua vez, são um importante mecanismo de aprisionamento de partículas. / One of the problems facing scientists in the confinement of plasma in tokamaks, to obtain controlled thermonuclear fusion, is the radial transport of particles at the plasma edge. In this dissertation, we study particle transport through a model that relates the electrostatic fluctuations at the edge of the plasma with drift waves. These waves create regions inside the plasma with convective flow, forming islands that are eventually separated by barriers. For one wave, the system is integrable and all the trajectories of phase space are invariant curves that are divided by separatrices. It was found that when a second wave with phase velocity different from the first is used, the system is no longer integrable and the region previously occupied by the separatrix becomes chaotic. With the destruction of the separatrix the transport of particles is chaotic. When a separatrix is broken, appears in its place a structure that preserves some features of the separatrix, but it is changing in phase space over time. This structure is known as Lagrangian Coherent Structure (LCS). In this dissertation we found that the LCSs, on the one hand, act as transport barriers, since no trajectory can cross it and, moreover, creates regions in phase space where particle transport is high, because trajectories close to them tend to be accelerated. One of the main contributions obtained by studying LCSs in the problem of two drift waves, applied to the confinement of plasma in tokamaks, is the ability to predict the existence of islands, which act as transport barriers, which are an important mechanism of trapping particles.

Este trabalho tem como objetivo a classificação simplética de germes de curvas parametrizadas e de estrelas lagrangianas por meio do método das restrições algébricas. Classificamos simpleticamente germes de curvas parametrizadas com semigrupos (4; 5; 6); (4; 5; 7) e (4; 5; 6; 7). Introduzimos um invariante para distinguir restrições algébricas a germes de curvas parametrizadas quase homogêneas: a parte de quase grau mínimo proporcional. Através do método das restrições algébricas, este invariante é capaz de distinguir diferentes órbitas de germes de curvas parametrizadas quase homogêneas sob a ação dos germes de simplectomorfismos. Classificamos estrelas lagrangianas duas a duas transversais com respeito ao grupo dos simplectomorfismos. / This work aims the symplectic classification of parametrized curve-germs and Lagrangian stars using the method of algebraic restrictions. We classify simplecticaly parametrized curve-germs with semigroups (4; 5; 6); (4; 5; 7) e (4; 5; 6; 7) We introduce an invariant for algebraic restrictions to quasi-homogeneous parametrized curve-germs: the proportional minimum quasi degree part. By the method of algebraic restrictions, this invariant is able to distinguish different orbits of parameterized quasi-homogeneous curve-germs under the action of symplectomorphisms. We classify Lagrangian stars two to two transversal with respect to the group of simplectomorphisms.

Fayos Sancho, J. (2008). Dinámica estructural de cuerpos de revolución rotatorios: aplicación al eje de un vehículo ferroviario [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/1994

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