Un stable (ou ensemble indépendant) est un ensemble de sommets qui sont deux à deux non adjacents. De nombreux résultats classiques en optimisation combinatoire portent sur le nombre de stabilité (défini comme la plus grande taille d'un stable), et les stables se classent certainement parmi les structures les plus simples et fondamentales en théorie des graphes. La thèse est divisée en deux parties, toutes deux liées à la notion de stables dans un graphe. Dans la première partie, nous étudions un problème de coloration de graphes, c'est à dire de partition en stables, où le but est de minimiser l'entropie de la partition. C'est une variante du problème classique de minimiser le nombre de couleurs utilisées. Nous considérons aussi une généralisation du problème aux couvertures d'ensembles. Ces deux problèmes sont appelés respectivement minimum entropy coloring et minimum entropy set cover, et sont motivés par diverses applications en théorie de l'information et en bioinformatique. Nous obtenons entre autres une caractérisation précise de la complexité de minimum entropy set cover : le problème peut être approximé à une constante lg e (environ 1.44) près, et il est NP-difficile de faire strictement mieux. Des résultats analogues sont prouvés concernant la complexité de minimum entropy coloring. Dans la deuxième partie de la thèse, nous considérons les graphes dont le nombre de stabilité augmente dès qu'une arête est enlevée. Ces graphes sont dit être "alpha-critiques", et jouent un rôle important dans de nombreux domaines, comme la théorie extrémale des graphes ou la combinatoire polyédrique. Nous revisitons d'une part la théorie des graphes alpha-critiques, donnant à cette occasion de nouvelles démonstrations plus simples pour certains théorèmes centraux. D'autre part, nous étudions certaines facettes du polytope des ordres totaux qui peuvent être vues comme une généralisation de la notion de graphe alpha-critique. Nous étendons de nombreux résultats de la théorie des graphes alpha-critiques à cette famille de facettes.

This thesis presents several algorithms that update the vertex separation of a tree after the tree is modified; the vertex separation of a graph measures the largest number of vertices to the left of and including a vertex that are adjacent to vertices to the right of the vertex, when the vertices in the graph are arranged in the best possible linear ordering. Vertex separation was introduced by Lipton and Tarjan and has since been applied mainly in VLSI design. The tree is modified by either attaching another tree or removing a subtree. The first algorithm handles the special case when another tree is attached to the root, and the second algorithm updates the vertex separation after a subtree of the root is removed. The last two algorithms solve the more general problem when subtrees are attached to or removed from arbitrary vertices; they have good running time performance only in the amortized sense. The running time of all our algorithms is sublinear in the number of vertices in the tree, assuming certain information is precomputed for the tree. This improves upon current algorithms by Skodinis and Ellis, Sudborough, and Turner, both of which have linear running time for this problem. Lower and upper bounds on the vertex separation of a general graph are also derived. Furthermore, analogous bounds are presented for the cutwidth of a general graph, where the cutwidth of a graph equals the maximum number of edges that cross over a vertex, when the vertices in the graph are arranged in the best possible linear ordering.

This thesis presents several algorithms that update the vertex separation of a tree after the tree is modified; the vertex separation of a graph measures the largest number of vertices to the left of and including a vertex that are adjacent to vertices to the right of the vertex, when the vertices in the graph are arranged in the best possible linear ordering. Vertex separation was introduced by Lipton and Tarjan and has since been applied mainly in VLSI design. The tree is modified by either attaching another tree or removing a subtree. The first algorithm handles the special case when another tree is attached to the root, and the second algorithm updates the vertex separation after a subtree of the root is removed. The last two algorithms solve the more general problem when subtrees are attached to or removed from arbitrary vertices; they have good running time performance only in the amortized sense. The running time of all our algorithms is sublinear in the number of vertices in the tree, assuming certain information is precomputed for the tree. This improves upon current algorithms by Skodinis and Ellis, Sudborough, and Turner, both of which have linear running time for this problem. Lower and upper bounds on the vertex separation of a general graph are also derived. Furthermore, analogous bounds are presented for the cutwidth of a general graph, where the cutwidth of a graph equals the maximum number of edges that cross over a vertex, when the vertices in the graph are arranged in the best possible linear ordering.

This thesis presents a novel approach to reconstructing ancestral genomes of a number of descendant species related by a phylogeny. Traditional methods face challenges due to cycles of whole genome doubling followed by fractionation in plant lineages. In response, the thesis proposes a new approach that first accumulates a large number of candidate gene adjacencies specific to each ancestor in a phylogeny. A subset of these which to produces long ancestral contigs are chosen through maximum weight matching. The strategy results in more complete reconstructions than existing methods, and a number of quality measures are deployed to assess the results. The thesis also presents a new computational technique for estimating the ancestral monoploid number of chromosomes, involving a "g-mer" analysis to resolve a bias due to long contigs and gap statistics to estimate the number. The method is applied to a set of phylogenetically related descendant species, and the monoploid number is found to be 9 for all rosid and asterid orders. Additionally, the thesis demonstrates that this result is not an artifact of the method, by deriving a monoploid number of approximately 20 for the metazoan ancestor. The reconstructed ancestral genomes are functionally annotated and visualized through painting ancestral projections on descendant genomes and highlighting syntenic ancestor-descendant relationships. The proposed method is applied to genomes drawn from a broad range of plant orders. The Raccroche pipeline reconstructs ancestral gene orders and chromosomal contents of the ancestral genomes at all internal vertices of a phylogenetic tree, and constructs chromosomes by counting the frequencies of ancestral contig co-occurrence on the extant genomes, clustering these for each ancestor, and ordering them. Overall, this thesis presents a significant contribution to the field of ancestral genome reconstruction, offering a new approach that produces more complete reconstructions and provides valuable insights into the evolutionary process giving rise to the gene content and order of extant genomes.

Un stable (ou ensemble indépendant) est un ensemble de sommets qui sont deux à deux non adjacents. De nombreux résultats classiques en optimisation combinatoire portent sur le nombre de stabilité (défini comme la plus grande taille d'un stable), et les stables se classent certainement parmi les structures les plus simples et fondamentales en théorie des graphes.<p><p>La thèse est divisée en deux parties, toutes deux liées à la notion de stables dans un graphe. Dans la première partie, nous étudions un problème de coloration de graphes, c'est à dire de partition en stables, où le but est de minimiser l'entropie de la partition. C'est une variante du problème classique de minimiser le nombre de couleurs utilisées. Nous considérons aussi une généralisation du problème aux couvertures d'ensembles. Ces deux problèmes sont appelés respectivement minimum entropy coloring et minimum entropy set cover, et sont motivés par diverses applications en théorie de l'information et en bioinformatique. Nous obtenons entre autres une caractérisation précise de la complexité de minimum entropy set cover :le problème peut être approximé à une constante lg e (environ 1.44) près, et il est NP-difficile de faire strictement mieux. Des résultats analogues sont prouvés concernant la complexité de minimum entropy coloring.<p><p>Dans la deuxième partie de la thèse, nous considérons les graphes dont le nombre de stabilité augmente dès qu'une arête est enlevée. Ces graphes sont dit être "alpha-critiques", et jouent un rôle important dans de nombreux domaines, comme la théorie extrémale des graphes ou la combinatoire polyédrique. Nous revisitons d'une part la théorie des graphes alpha-critiques, donnant à cette occasion de nouvelles démonstrations plus simples pour certains théorèmes centraux. D'autre part, nous étudions certaines facettes du polytope des ordres totaux qui peuvent être vues comme une généralisation de la notion de graphe alpha-critique. Nous étendons de nombreux résultats de la théorie des graphes alpha-critiques à cette famille de facettes.<p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished