In this thesis, we study the compatibility between local and global Langlands correspondences for \(GL_n\). This generalizes the compatibility between local and global class field theory and is related to deep conjectures in algebraic geometry and harmonic analysis, such as the Ramanujan-Petersson conjecture and the weight monodromy conjecture. Let L be a CM field. We consider the case when \(\Pi\) is a cuspidal automorphic representation of \(GL_n(\mathbb{A}_L^\infty)\), which is conjugate self-dual and regular algebraic. Under these assumptions, there is an l-adic Galois representation \(R_l(\Pi)\) associated to \(\Pi\), which is known to be compatible with the local Langlands correspondence in most cases (for example, when n is odd) and up to semisimplification in general. In this thesis, we complete the proof of the compatibility when \(l \neq p\) by identifying the monodromy operator N on both the local and the global sides. On the local side, the identification amounts to proving the Ramanujan-Petersson conjecture for \(\Pi\) as above. On the global side it amounts to proving the weight-monodromy conjecture for part of the cohomology of a certain Shimura variety. / Mathematics

Cette thèse est consacrée à deux aspects du programme de Langlands local p-adique et de la compatibilité local-global p-adique.Dans la première partie, j'étudie la question de savoir comment extraire, d'un certain sous-espace Hecke-isotypique de formes automorphes modulo p, suffisament d'invariants d'une représentation galoisienne. Soient p un nombre premier, n>2 un entier, et F un corps à multiplication complexe dans lequel p est complètement décomposé. Supposons qu'une représentation galoisienne automorphe continue r-:Gal(Q-/F)→GLn(F-p) est triangulaire supérieure et suffisament générique ( dans un certain sens ) en une place w au-dessus de p. On montre, en admettant un résultat d'élimination de poids de Serre prouvé dans [LLMPQ], que la classe d'isomorphisme de r-|_Gal(Q-p/Fw) est déterminée par l'action de GLn(Fw) sur un espace de formes automorphes modulo p découpé par l'idéal maximal associée à r- dans une algèbre de Hecke. En particulier, on montre que la partie sauvagement ramifiée de r-|_Gal(Q-p/Fw) est déterminée par l'action de sommes de Jacobi ( vus comme éléments de Fp[GLn(Fp)] ) sur cet espace.La deuxième partie de ma thèse vise à établir une relation entre les résultats précédents de [Schr11], [Bre17] and [BD18]. Soient E une extension finie de Qp suffisamment grande et ρp: Gal(Q-p/Qp)→GL3(E) une représentation p-adique semi-stable telle que la représentation de Weil-Deligne WD(ρp) associée a un opérateur de monodromie N de rang 2 et que la filtration de Hodge associée est non-critique. On sait que la filtration de Hodge de ρp dépend de trois invariants dans E. On construit une famille de représentations localement analytiques Σ^min(λ, L1, L2, L3) qui dépend de trois invariants L1, L2, L3 dans E et telle que chaque représentation contient la représentation localement algébrique Algotimes Steinberg déterminée par ρp. Quand ρp provient, pour un groupe unitaire convenable G/Q, d'une représentation automorphe π de G(A_Q) avec un niveau fixé U^p premier avec p, on montre ( sous quelques hypothèses techniques ) qu'il existe une unique représentation localement analytique dans la famille ci-dessus qui est une sous-représentation du sous-espace Hecke-isotypique associé dans la cohomologie complétée de niveau U^p. On rappelle que [Bre17] a construit une famille de représentations localement analytiques qui dépend de quatre invariants (voir (4) dans [Bre17]) avec une propriété similaire. On donne un critère purement de théorie de représentation: si une représentation Π dans la famille de Breuil se plonge dans un certain sous-espace Hecke-isotypique de la cohomologie complétée, alors elle se plonge nécessairement dans une Σ^min(λ, L1, L2, L3) pour certains choix de L1, L2, L3 dans E qui sont déterminés explicitement par Π. De plus, certains sous-quotients naturels de Σ^min(λ, L1, L2, L3) permettent de construite un complexe de représentations localement analytiques qui "réalise" l'objet dérivé abstrait Σ(λ, underline{L}) defini dans [Schr11]. / This thesis is devoted to two aspects of the p-adic local Langlands program and p-adic local-global compatibility.In the first part, I study the problem of how to capture enough invariants of a local Galois representation from a certain Hecke-isotypic subspace of mod p automorphic forms. Let p be a prime number, n>2 an integer, and F a CM field in which p splits completely. Assume that a continuous automorphic Galois representation r-:Gal(Q-/F)→GLn(F-p) is upper-triangular and satisfies certain genericity conditions at a place w above p, and that every subquotient of r-|_Gal(Q-p/Fw) of dimension >2 is Fontaine-Laffaille generic. We show that the isomorphism class of r-|_Gal(Q-p/Fw) is determined by GLn(Fw)-action on a space of mod p algebraic automorphic forms cut out by the maximal ideal of a Hecke algebra associated to r-, assuming a weight elimination result which is now a theorem to appear in [LLMPQ]. In particular, we show that the wildly ramified part of r-|_Gal(Q-p/Fw) is determined by the action of Jacobi sum operators ( seen as elements of Fp[GLn(Fp)] ) on this space.The second part of my thesis aims at clarifying the relation between previous results in [Schr11], [Bre17] and [BD18]. Let E be a sufficiently large finite extension of Qp and ρp be a p-adic semi-stable representation Gal(Q-p/Qp)→GL3(E) such that the Weil-Deligne representation WD(ρp) associated with it has rank two monodromy operator N and the Hodge filtration associated with it is non-critical. We know that the Hodge filtration of ρp depends on three invariants in E. We construct a family of locally analytic representations Σ^min(λ, L1, L2, L3) of GL3(Qp) depending on three invariants L1, L2, L3 in E with each of the representation containing the locally algebraic representation Algotimes Steinberg determined by ρp. When ρp comes from an automorphic representation π of G(A_Q) with a fixed level U^p prime to p for a suitable unitary group G/Q, we show ( under some technical assumption ) that there is a unique locally analytic representation in the above family that occurs as a subrepresentation of the associated Hecke-isotypic subspace in the completed cohomology with level U^p. We recall that [Bre17] constructed a family of locally analytic representations depending on four invariants ( cf. (4) in [Bre17] ) with a similar property. We give a purely representation theoretic criterion: if a representation Π in Breuil's family embeds into a certain Hecke-isotypic subspace of completed cohomology, then it must equally embed into Σ^min(λ, L1, L2, L3) for certain choices of L1, L2, L3 in E determined explicitly by Π. Moreover, certain natural subquotients of Σ^min(λ, L1, L2, L3) give a true complex of locally analytic representations that realizes the derived object Σ(λ, underline{L}) [Schr11]. Consequently, the family of locally analytic representations Σ^min(λ, L1, L2, L3) give a relation between the higher L-invariants studied in [Bre17] as well as [BD18] and the p-adic dilogarithm function which appears in the construction of Σ^min(λ, L1, L2, L3) in [Schr11].

Cette thèse s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local p-adique. Soient L une extension finie de Q_p, \rho_L une représentation p-adique de dimension 2 du groupe de Galois Gal(\overline{Q_p}/L) de L, lorsque \rho_L provient d'une représentation \rho globale et modulaire (i.e. \rho apparaît dans la cohomologie étale des courbes de Shimura), on sait associer à \rho une représentation de Banach admissible de \GL_2(L), notée \widehat{\Pi}(\rho), en utilisant la théorie de la cohomologie étale complétée d'Emerton. Localement, lorsque \rho_L est cristalline (et assez générique), d'après Breuil, on sait associer à \rho_L une représentation localement analytique de \GL_2(L), notée \Pi(\rho_L). Dans cette thèse, on montre divers résultats sur la compatibilité entre les représentations \widehat{\Pi}(\rho) et \Pi(\rho_L), qui s'appelle la compatibilité local-global, dans la cas des courbes de Shimura unitaires. Par la théorie des représentations localement analytiques de \GL_2(L), le problème de compatibilité local-global se ramène à l'étude des variétés de Hecke X construites à partir du H^1-complété des courbes de Shimura unitaires. On montre des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas non-critique en utilisant la théorie de la triangulation globale. On étudie ainsi les formes modulaires p-adiques sur les courbes de Shimura unitaires, à partir desquelles on peut construire des sous-espaces rigides de X à la manière de Coleman-Mazur. On montre l'existence des formes compagnons surconvergentes sur les courbes de Shimura unitaires en utilisant les théorèmes de comparaison p-adique, d'où on déduit des résultats sur la compatibilité local-global dans le cas critique. / The subject of this thesis is in the p-adic Langlands programme. Let L be a finite extension of \Q_p, \rho_L a 2-dimensional p-adic representation of the Galois group \Gal(\overline{\Q_p}/L) of L, if \rho_L is the restriction of a global modular Galois representation \rho (i.e. \rho appears in the étale cohomology of Shimura curves), one can associate to \rho an admissible Banach representation \widehat{\Pi}(\rho) of \GL_2(L) by using Emerton's completed cohomology theory. Locally, if \rho_L is crystalline (and sufficiently generic), following Breuil, one can associate to \rho_L a locally analytic representation \Pi(\rho_L) of \GL_2(L). In this thesis, we prove results on the compatibility of \widehat{\Pi}(\rho) and \Pi(\rho_L), called local-global compatibility, in the unitary Shimura curves case. By locally analytic representations theory (for \GL_2(L)), the problem of local-global compatibility can be reduced to the study of eigenvarieties X constructed from the completed H^1 of unitary Shimura curves. We prove results on local-global compatibility in non-critical case by using global triangulation theory. We also study the p-adic modular forms over unitary Shimura curves, from which we construct some closed rigid subspaces of X by Coleman-Mazur's method. We prove the existence of overconvergent companion forms (over unitary Shimura curves) by using p-adic comparison theorems, from which we deduce some results on local-global compatibility in critical case.