Dans cette thèse nous nous intéressons a l'approximation numérique des équations incompressibles de Navier-Stokes évoluant dans un domaine en mouvement par la méthode des éléments spectraux et des intégrateurs en temps d'ordre élève. Dans une première phase, nous présentons la méthode des éléments spectraux et les outils de base pour effectuer des discrétisations spectrales du type Galerkin ou Galerkin avec intégration numérique (G-NI). Nous couvrons un large éventail de possibilités concernant les éléments de référence, fonctions de base, points d'interpolation et points de quadrature. Dans cette approche, l'intégration et la différentiation des fonctions polynomiales est faite numériquement grâce a l'aide d'ensembles de points convenables. En ce qui concerne la différenciation, nous présentons une étude numérique des points qui doivent être utilisés pour atteindre une meilleure stabilité numérique (parmi les choix que nous avons actuellement). Deuxièmement, nous introduisons les équations incompressibles stationnaires et non-stationnaires de Stokes et de Navier-Stokes et son approximation spectrale. Dans le cas non-stationnaire, nous introduisons une combinaison de la méthode Backward Différentiation Formula (BDF) et une formule d'extrapolation du même ordre pour l'intégration par rapport au temps. Une fois les équations discrétisées, un système linéaire doit être résolu pour obtenir la solution approchée. Dans ce contexte, nous resolvons ce système avec un préconditionneur par blocs. Nous montrons que le préconditionneur est optimal par rapport au nombre d'iterations utilisées par la méthode GMRES dans le cas stationnaire, mais pas dans le cas non-stationnaire. Une autre alternative est d'utiliser les méthodes de factorization algébrique de type Yosida et séparer le calcul de la vitesse et de la pression. Un cas test est présente pour déterminer les proprietes de convergence de ce type de méthodes dans notre contexte. Troisièmement, nous 'tendons les algorithmes développés dans le cas ou le domaine est fixe au cadre de la formulation Arbitraire Lagrange-Euler (ALE). La question de la définition d'une carte ALE d'ordre élevé est aborée. Cela permet de construire un domaine de calcul qui est d'ecrit avec des éléments courbes. Un cas test utilisant une méthode directe et les méthodes Yosida-q pour resoudre le système linéaire est présente pour montrer les ordres de convergence de la méthode proposée. Finalement, nous appliquons la méthode développée pour résoudre une un problème d'interaction fluide-structure pour un exemple simple bidimensionnel d'hémodynamique. Nous considérons deux approches: une implicite entièrement couplée et une semi-implicite.

Le but général de cette thèse est d'exploiter des modélisations asymptotiques pour la résolution de problèmes de diffraction inverse en électromagnétisme. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas des conditions d'impédance généralisée qui modélisent notamment des matériaux fortement absorbants ou des revêtements de faible épaisseur. L'expression "impédance généralisée" signifie que la condition au bord fait intervenir un opérateur surfacique. Les conditions dites d'impédance classique entrent dans cette famille de conditions aux bord, dans ce cas, l'opérateur surfacique se réduit à la multiplication par une fonction. Dans le cadre des problèmes inverses, l'utilisation de modèles approchés permet de simplifier aussi bien la résolution numérique que l'analyse mathématique. De nombreux travaux ont été menés en diffraction inverse sur l'utilisation d'une condition d'impédance classique, nous les avons étendus pour des opérateurs surfaciques plus complexes faisant intervenir des dérivées tangentielles. Une partie importante de la thèse est consacrée à la mise en oeuvre des méthodes d'optimisation pour retrouver un obstacle ainsi que les paramètres définissant l'opérateur d'impédance. Nous présentons en particulier un calcul de dérivée de forme dans le cas où les équations de l'électromagnétisme se simplifient en une équation scalaire, nous étendons ensuite ce calcul aux équations de Maxwell vectorielles. Des exemples numériques de reconstruction de forme et de paramètres d'impédance viennent illustrer l'applicabilité des méthodes d'optimisation à notre problème inverse. Afin de compléter cette étude, nous avons utilisé une méthode qualitative - la méthode de factorisation - pour identifier un objet diffractant caractérisé par une condition d'impédance généralisée. Enfin, en relation avec les méthodes qualitatives, nous nous sommes penché sur l'utilisation des valeurs propres de transmission associées au problème de diffraction par des couches minces pour obtenir des informations sur la couche. Dans ce but, nous avons calculé et justifié le développement asymptotique de la première valeur propre de transmission intérieure par rapport à la faible épaisseur du revêtement. Ce développement donne une manière simple de calculer l'épaisseur du revêtement à partir du champ diffracté pour plusieurs fréquences.