L'objectif de ce travail est la résolution des équations intégrales singulières à noyau Cauchy. On y traite les équations singulières de Cauchy de première espèce par la méthode des approximations successives. On s'intéresse aussi aux équations intégrales à noyau de Cauchy de seconde espèce, en utilisant les polynômes trigonométriques et les techniques de Fourier. Dans la même perspective, on utilise les polynômes de Tchebychev de quatrième degré pour résoudre une équation intégro différentielle à noyau de Cauchy. Ensuite, on s'intéresse à une autre équation intégro-différentielle à noyau de Cauchy, en utilisant les polynômes de Legendre, ce qui a donné lieu à développer deux méthodes basées sur une suite de projections qui converge simplement vers l'identité. En outre, on exploite les méthodes de projection pour les équations intégrales avec des opérateurs intégraux bornés non compacts et on a appliqué ces méthodes à l'équation intégrale singulière à noyau de Cauchy de deuxième espèce / The purpose of this thesis is to develop and illustrate various new methods for solving many classes of Cauchy singular integral and integro-differential equations. We study the successive approximation method for solving Cauchy singular integral equations of the first kind in the general case, then we develop a collocation method based on trigonometric polynomials combined with a regularization procedure, for solving Cauchy integral equations of the second kind. In the same perspective, we use a projection method for solving operator equation with bounded noncompact operators in Hilbert spaces. We apply a collocation and projection methods for solving Cauchy integro-differential equations, using airfoil and Legendre polynomials

Ce rapport de thèse a pour but de résumer le travail de recherche sur la commande non linéaire de canaux à surface libre, basé sur un modèle de dimension finie, obtenu par une méthode de collocation orthogonale. Il est divisé en trois grandes parties. Une première partie présente les systèmes de distribution d'eau en général, ainsi que quelques notions d'automatisation et un état de l'art sur le sujet. La deuxième partie présente le modélisation de biefs de canaux ouverts par les équations de Saint-Venant, ainsi que trois méthodes d'intégration numérique de ces équations. Les méthodes présentées sont deux méthodes de différences finies, une explicite et une autre implicite dite de Preissmann, et une troisième est la méthode de collation orthogonale, utilisée par la suite pour la commande. La troisième partie est dédiée au développement de lois de commande non linéaires pour le modèle de canal à surface libre obtenu par la méthode de collation orthogonale. Trois méthodes sont utilisées ici pour la commande : linéarisation entrée-sortie, linéarisation entrée-sortie dynamique et backstepping. De plus afin de s'affranchir de la nécessité de mesurer tous les états, un observateur de débit et infiltration a été développé. Enfin, quelques avavcées sur la commande de briefs interconnectés sont présentés.

L'objectif de ce travail est la résolution des équations intégrales singulières à noyau Cauchy. On y traite les équations singulières de Cauchy de première espèce par la méthode des approximations successives. On s'intéresse aussi aux équations intégrales à noyau de Cauchy de seconde espèce, en utilisant les polynômes trigonométriques et les techniques de Fourier. Dans la même perspective, on utilise les polynômes de Tchebychev de quatrième degré pour résoudre une équation intégro différentielle à noyau de Cauchy. Ensuite, on s'intéresse à une autre équation intégro-différentielle à noyau de Cauchy, en utilisant les polynômes de Legendre, ce qui a donné lieu à développer deux méthodes basées sur une suite de projections qui converge simplement vers l'identité. En outre, on exploite les méthodes de projection pour les équations intégrales avec des opérateurs intégraux bornés non compacts et on a appliqué ces méthodes à l'équation intégrale singulière à noyau de Cauchy de deuxième espèce