This paper studies the differences and similarities between the discrete annuity divisor of the income pension compared to the continuous annuity divisor of the premium pension in Sweden. First discrete and continuous annuity divisors are compared and found to be equivalent given the same underlying mortality. The income divisor is based on observed mortality in a period setting while the premium divisor which is based on projected mortality in a cohort setting. The expected performance of the two methods is studied by constructing prediction intervals based on Lee-Carter models with either a Binomial or Poisson distribution. Prediction intervals are constructed using either residual bootstrap or parametric bootstrap. The premium annuity divisor is found to outperform the income annuity divisor, there is a large risk that the latter underestimates the future mortality. / Den här uppsatsen studerar skillnader och likheter mellan inkomstpensionens diskreta delningstal och premiepensionens kontinuerliga delningstal i Sverige. Först jämförs diskreta och kontinuerliga delningstal och finns vara likvärdiga när de baseras på samma dödlighet. Inkomstpensionens delningstal är baserad på observerad period-dödlighet medan premiepensionens delningstal är baserad på projekterad kohort-dödlighet. Prediktionsintervall används för att skatta hur bra de två metoderna är. Med hjälp av Lee-Carter-modellen baserad på antingen poissonfördelning eller binomialfördelning konstrueras prediktionsintervall. Bootstrap, antingen parametrisk eller baserad på residualerna, används för att skapa prediktionsintervallen. Premiumpensionens delningstal stämmer väl överens med prediktionsintervallen medan det för inkomstpensionens delningstal finns en stor risk att framtida dödlighet underskattas.

This study aims to investigate if taking individuals' chosen time of withdrawing occupational pension into account can be used to better predict the future mortality intensities which describes the probability of death in a given time interval. The main underlying hypothesis for why there would be a difference lies in the fact that some individuals could receive more pension benefits by choosing a withdrawal time based on his or her own expectation of remaining lifespan. In particular individuals that do not expect to live long after retirement could receive more benefits before death by choosing to withdraw his or her money as fast as possible. To explore if such a relationship exists and is significant enough data provided by Alecta is analyzed. This data provides among others the chosen withdrawal time and recorded deaths. Based on this dataset three models are created each with their own advantages and disadvantages.  The first model is a pure empirical model which simply shows the processed data after calculations have been made, showing the exact data in a more comprehensive form. The second model is a Makeham model which assumes that the mortality intensity is distributed according to the Makeham formula in the studied age range. This model allows random noise to be smoothed out and allows predictions of the mortality intensity in ages not studied. The third model is a Logistic regression model. This model considers two cases, death or no death and based on observed data the model predicts the probability that an individual will die given an age and withdrawal time. The logistic regression model is a robust model which allows stable predictions even where data is scarce. From the results of the three models it was concluded that for men there is a clear difference in mortality intensity between limited withdrawal times where shorter withdrawal times have higher mortality intensity and longer withdrawal times have lower mortality intensity. For women there were signs that the same is also true, however the evidence for this was weak.  The difference in mortality intensity was more pronounced in the first years after retirement and in particular longer withdrawal times had a very low mortality intensity. This was seen for both men and women.  When the mortality intensity was weighed based on the size of individuals' benefits the differences were much more pronounced for both men and women. Indicating that those with larger benefits to a greater extent chose their withdrawal time based on his or her own expectation of remaining lifespan. Almost all results agreed with what would be expected based on the underlying hypothesis with one exception, lifelong withdrawal. For lifelong withdrawal both men and women had a significantly higher mortality intensity that would be expected if individuals aim to maximize their received benefits. This was likely explained by lifelong serving as a default or safe option for many individuals which would lead to the option being dominated by these individuals rather than those aiming to maximize their received benefits. / Syftet med den här studien är att undersöka om vetskapen om individers val av tjänstepensionens utbetalningstid kan användas för att bättre förutsäga en grupps framtida dödlighetsintensitet. Den primära underliggande hypotesen för varför ett sådant samband skulle finnas beror på att det finns individer som skulle kunna få ut mer pengar från sin tjänstepension genom att välja en utbetalningstid baserat på deras egna kännedom om sin förväntade återstående livslängd. Ett tydligt exempel på detta är en individ som har starka skäl att tro att hen inte kommer att leva länge efter att ha gått i pension. Genom att välja en kort utbetalningstid skulle denna individ få större utbetalningar under de åren utbetalningstiden gäller.  För att utröna om ett sådant förhållande finns och är signifikant så analyseras data från Alecta. Denna data innehåller bland annat information om vald utbetalningstid och noterade dödsfall. Baserat på denna underliggande data skapas tre modeller, var och en med styrkor och svagheter.  Den första modellen är en ren empirisk modell som visar behandlad data efter att beräkningar gjorts på denna. Detta innebär att modellen visar den exakta datan i en annan för analysens skull mer användbar form. Den andra modellen är en Makeham modell vilken antar att dödlighetsintensiteten följer Makehams formel under de studerade åldrarna. Denna modell möjliggör utslätning av avvikelser orsakade av slump, dessutom möjliggör det förutsägelser där data saknas. Den tredje modellen är en logistisk regressionsmodell vilken beaktar två fall, dödsfall eller icke dödsfall. Baserat på tillgänglig data förutspår modellen sannolikheten att en individ kommer att dö vid en given ålder med given utbetalningstid. Detta är en robust modell som möjliggör stabila uppskattningar även där mängden data är begränsad. Baserat på de tre modellernas resultat kunde slutsatsen dras att det finns en tydlig skillnad i dödlighetsintensitet mellan olika utbetalningstider för män. Särskilt kunde det ses att kortare utbetalningstider hade högre dödlighetsintensitet och längre utbetalningstider hade lägre dödlighetsintensitet. För kvinnor fanns det tecken på att samma sak gäller, men resultaten hade i detta fall låg tillförlitlighet. När man istället vägde resultatet baserat på storleken av individernas totala tjänstepension blev skillnaden mycket större både för män och kvinnor. Detta indikerar att de individer som har stora förmåner i större utsträckning väljer en tjänstepension baserat på deras egna förväntningar på sin återstående livslängd. Resultaten stämmer i stor utsträckning överens med vad som förväntades baserat på den underliggande hypotesen med ett undantag, livslångt uttag. Av de män och kvinnor som valde livslångt uttag observerades en dödlighetsintensitet som var betydligt högre än förväntat utifrån vad som förväntades utifrån ett antagande om att individer försöker maximera hur mycket de får utbetalt. Sannolikt kan detta resultat förklaras med att många som hade livslångt uttag gjorde det antingen för att det var standard eller för att det är det säkra alternativet. Detta skulle innebära att alternativet domineras av dessa individer snarare än individer som försöker maximera hur mycket tjänstepension de får utbetalt.

Studier av livslängder och dödssannolikheter är avgörande för livförsäkring. Betalningar gällande livförsäkringar är helt beroende av om en individ lever eller ej, eller befinner sig i olika hälsotillstånd. För att kunna prissätta premier korrekt och avsätta reserver är det därför av stort intresse att modellera livslängden på ett så korrekt sätt som möjligt. Försäkringsbranschen använder idag historiskt beprövade och välfungerande modeller som går så långt bak i tiden som 200 år. Det finns modeller ännu längre bak i tiden, men de modeller som används idag är främst Gompertz (1826), Makeham (1860) och Lee-Carter (1992). Även om dessa modeller presterar bra är det alltid nödvändigt att undersöka om det kan finnas alternativa modeller som modellerar dödligheten bättre. I detta examensarbete tillämpas affina korträntemodeller för modellering av dödlighetsintensiteten som ligger till grund för flertalet intressanta aktuariella storheter. Då dessa modeller introducerar stokastisk dödlighet kan osäkerheten och beroendet över tid därmed beskrivas. De korträntemodeller som undersöks i arbetet och som är vanligt förekommande inom den finansiella teorin; är Ornstein-Uhlenbeck, Feller och Hull-White. Dessa modeller jämförs sedan mot varandra vad gäller modellerad dödlighetsintensitet samt förväntad återstående livslängd och ettårig dödssannolikhet. En aspekt av stokastisk dödlighetsmodellering som ej återfinns i befintlig litteratur men som undersöks i detta examensarbete är modellering av dödlighet över tid då detta är en av de mest väsentliga aspekterna inom det livförsäkringsmatematiska arbetet. Till sist i valideringssyfte utvärderas samtliga korträntemodeller genom back-testing. Den andra huvudsakliga delen av arbetet består i att generera resultat för samma storheter som ovan baserat på DUS-metoden för att på så sätt jämföra en kommersiell metod mot en mer teoretisk mindre beprövad sådan. Resultaten visar på en stor potential hos flera av korträntemodellerna kontra DUS både vad gäller modellering över åldrar och kalenderår. Däremot är inte resultaten helt felfria för enstaka kalenderår där stora spikar uppstår på grund av parametermässig felanpassning. Modelleringen av korträntemodellerna över tid var över förväntan då modellerna inte är konstruerade för att fånga avtagande trender. Detta är något som kan betraktas som en stor flexibilitet hos korträntemodellerna då de står sig väl mot Lee-Cartermodellen som används i DUS, både vad gäller ålders- och tidsmodellering av dödlighet. / Studies of life expectancy and death probabilities are crucial for life insurance. Payments for life insurance are completely dependent on whether an individual is alive or not, or is in various health conditions. In order to be able to price premiums correctly and set aside reserves, it is therefore of great importance to model life expectancy in the most accurate way possible. The insurance industry today uses historically proven well-functioning models that go as far back in time as 200 years. There are models even further back in time, but the models used today are mainly Gompertz (1826), Makeham (1860) and Lee-Carter (1992). Although these models perform well, it is always necessary to investigate whether there may be alternative models that model mortality better. In this thesis, affine short-term interest rate models are applied for modeling the force of mortality that forms the basis for most interesting actuarial variables. As these models introduce stochastic mortality, the uncertainty and dependence over time can thus be described. The three short-term interest rate models examined in this project, which are common in financial theory; are Ornstein-Uhlenbeck, Feller and Hull-White. These models are then compared against each other in terms of the modeled force of mortality as well as the expected remaining life expectancy and the one-year probability of death. One aspect of stochastic mortality modeling that is not found in the existing literature but which is examined in this thesis is the modeling of mortality over time as this is one of the most important aspects in the life insurance mathematical industry. Finally, for validation purposes, all short-term interest rate models are evaluated using back-testing. The second main part of the work consists of generating results for the same quantities as above based on the DUS method in order to compare a commercial method with more theoretical and less approved ones. The results show a great potential in several of the short-term interest rate models versus DUS both in terms of modeling over ages and calendar years. However, the results are not completely impeccable for individual calendar years where large spikes occur due to inaccurate parameter calibration. The satisfactory modeling of the short-term interest rate models over time was above the expectations as the models are not designed to capture decreasing trends. This is something that can be considered a great flexibility of the short-term interest rate models as they are more or less as accurate as the Lee-Carter model used in DUS, both in terms of age and time modeling of mortality.