Inositolpyrophosphate (PP-InsPs) sind eine wichtige Gruppe eukaryotischer Botenstoffe, die mit verschiedenen Prozessen wie Apoptose, Phosphathomeostase und Insulinsignalkaskaden verknüpft sind. Trotz ihrer Entdeckung vor mehr als 20 Jahren bleibt es eine Herausforderung, die Signalmechanismen dieser Moleküle zu verstehen. Ursachen dafür sind der limitierte Zugang zu synthetischen PP-InsPs und ein Mangel an allgemein zugänglichen analytischen Methoden. Daher wurden in dieser Arbeit chemische und analytische Verfahren entwickelt, um unser Verständnis von diesen Molekülen sowohl auf ein biochemischer als auch auf zelluläre Ebene zu verbessern. Um der Knappheit an synthetischen PP-InsPs entgegen zu wirken, wurde eine hocheffiziente chemoenzymatische Synthese entwickelt, bei der mehr als 100 mg aller wesentlichen PP-InsPs aus Säugern hergestellt werden konnten. Parallel wurde ein neues analytisches Werkzeug entwickelt, dass Konzentrationen von PP-InsPs in komplexen Proben quantifizieren konnte. Mittels Enzymkatalyse konnten 13C-markiertes myo-inositol und 13C-markierte PP-InsPs hergestellt werden und niedrige Konzentrationen mit nuklearer Magnetresonanzspektroskopie detektiert werden. In vitro waren diese Verbindungen sehr nützlich, um PP-InsP Kinasen von Pflanzen und Säugern zu charakterisieren. Endogene Konzentrationen von PP-InsPs konnten durch metabolisches Markieren mit 13C-markiertem myo-inositol in humanen Zelllinien quantifiziert werden. Letztendlich wurde mittels eines neuen entwickelten proteomischen Ansatzes endogene Proteinpyrophosphorilierung, eine von PP-InsP eingebaute posttranslationale Proteinmodifikation, in menschlichen Zelllinien zum ersten Mal nachgewiesen. Zusammenfassend haben die aufgelisteten chemischen und analytischen Werkzeuge ein hohes Potenzial unser Verständnis der Signalmechanismen hinter den diversen Phänotypen der PP-InsPs zu stärken und Forschungsarbeit in dieser Richtung zu beschleunigen. / Inositol pyrophosphates (PP-InsPs) are an important group of second messengers that intersect with a wide range of processes in eukaryotic cells including phosphate homeostasis, insulin signaling and apoptosis. Despite their discovery more than two decades ago, elucidating the underlying signaling mechanisms remains a significant challenge. Therefore, a new set of chemical and analytical methods was developed here to improve our understanding of these intriguing molecules on the biochemical and cellular level. To overcome the shortage of synthetic PP-InsPs, a highly efficient and scalable chemoenzymatic approach was designed and the major mammalian PP-InsPs could be obtained in hundreds of milligram quantities and in high purity. In parallel, a new analytical tool was developed to quantify levels of PP-InsPs in complex samples. Chemoenzymatic access to 13C-labeled myo-inositol and 13C-labeled PP-InsPs enabled the detection of low concentrations of PP-InsPs using nuclear magnetic resonance spectroscopy. In vitro, these compounds were of great use for the biochemical characterization of PP-InsPs kinases from mammals and plants. Endogenous pools of PP-InsPs from human cell lines were identified and quantified by metabolic labeling with 13C-labeled myo-inositol. Finally, a new proteomics workflow towards the detection of protein pyrophosphorylation, a posttranslational modification mediated by PP-InsPs, using mass spectrometry was optimized and endogenously modified mammalian proteins could be identified for the first time and with high confidence. Taken together, the chemical and analytical tools presented here have great potential to accelerate the understanding of PP-InsP signaling and metabolism. Access to large amounts of PP-InsPs together with a reliable quantification method and the detection of endogenous protein pyrophosphorylation sites will be essential to unravel the signaling mechanisms underlying the diverse phenotypes associated with these metabolites.

Die Least-Squares Finite-Elemente-Methoden (LSFEMn) basieren auf der Minimierung des Least-Squares-Funktionals, das aus quadrierten Normen der Residuen eines Systems von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung besteht. Dieses Funktional liefert einen a posteriori Fehlerschätzer und ermöglicht die adaptive Verfeinerung des zugrundeliegenden Netzes. Aus zwei Gründen versagen die gängigen Methoden zum Beweis optimaler Konvergenzraten, wie sie in Carstensen, Feischl, Page und Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014) zusammengefasst werden. Erstens scheinen fehlende Vorfaktoren proportional zur Netzweite den Beweis einer schrittweisen Reduktion der Least-Squares-Schätzerterme zu verhindern. Zweitens kontrolliert das Least-Squares-Funktional den Fehler der Fluss- beziehungsweise Spannungsvariablen in der H(div)-Norm, wodurch ein Datenapproximationsfehler der rechten Seite f auftritt. Diese Schwierigkeiten führten zu einem zweifachen Paradigmenwechsel in der Konvergenzanalyse adaptiver LSFEMn in Carstensen und Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) für das 2D-Poisson-Modellproblem mit Diskretisierung niedrigster Ordnung und homogenen Dirichlet-Randdaten. Ein neuartiger expliziter residuenbasierter Fehlerschätzer ermöglicht den Beweis der Reduktionseigenschaft. Durch separiertes Markieren im adaptiven Algorithmus wird zudem der Datenapproximationsfehler reduziert. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert diese Techniken auf die drei linearen Modellprobleme das Poisson-Problem, die Stokes-Gleichungen und das lineare Elastizitätsproblem. Die Axiome der Adaptivität mit separiertem Markieren nach Carstensen und Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) werden in drei Raumdimensionen nachgewiesen. Die Analysis umfasst Diskretisierungen mit beliebigem Polynomgrad sowie inhomogene Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen. Abschließend bestätigen numerische Experimente mit dem h-adaptiven Algorithmus die theoretisch bewiesenen optimalen Konvergenzraten. / The least-squares finite element methods (LSFEMs) base on the minimisation of the least-squares functional consisting of the squared norms of the residuals of first-order systems of partial differential equations. This functional provides a reliable and efficient built-in a posteriori error estimator and allows for adaptive mesh-refinement. The established convergence analysis with rates for adaptive algorithms, as summarised in the axiomatic framework by Carstensen, Feischl, Page, and Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014), fails for two reasons. First, the least-squares estimator lacks prefactors in terms of the mesh-size, what seemingly prevents a reduction under mesh-refinement. Second, the first-order divergence LSFEMs measure the flux or stress errors in the H(div) norm and, thus, involve a data resolution error of the right-hand side f. These difficulties led to a twofold paradigm shift in the convergence analysis with rates for adaptive LSFEMs in Carstensen and Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) for the lowest-order discretisation of the 2D Poisson model problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions. Accordingly, some novel explicit residual-based a posteriori error estimator accomplishes the reduction property. Furthermore, a separate marking strategy in the adaptive algorithm ensures the sufficient data resolution. This thesis presents the generalisation of these techniques to three linear model problems, namely, the Poisson problem, the Stokes equations, and the linear elasticity problem. It verifies the axioms of adaptivity with separate marking by Carstensen and Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) in three spatial dimensions. The analysis covers discretisations with arbitrary polynomial degree and inhomogeneous Dirichlet and Neumann boundary conditions. Numerical experiments confirm the theoretically proven optimal convergence rates of the h-adaptive algorithm.