Le krigeage est une méthode stochastique d'interpolation spatiale qui prévoit la valeur d'un phénomène naturel en des sites non échantillonnés par une combinaison linéaire sans biais et à variance minimale des observations du phénomène en des sites voisins. Ce mémoire se consacre à l'étude de cette méthode. Elle y est d'abord comparée à d'autres méthodes d'interpolation spatiale et ses fondements mathématiques sont exa- minés. La résolution des équations du krigeage est donc détaillée et commentée. L'ana- lyse variographique, étape préalable au krigeage, est aussi présentée. En plus d'avoir pour objectif l'approfondissement de la théorie du krigeage, ce mémoire vise à expli- citer son utilisation. Ainsi, une méthodologie de mise en oeuvre du krigeage est pro- posée et illustrée. Les performances du krigeage sont ensuite comparées à celle d'autres méthodes, et ce, pour résoudre une problématique d'interpolation spatiale multivariable de données de précipitations dans un cadre de modélisation hydrologique. / Inscrite au Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures

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Une des applications des équations de réaction-diffusion est leur utilisation pour la génération de motifs, analogues en particulier à ceux sur le pelage de certains animaux. L'utilisation à cette fin de ce type d'équations remontent aux travaux d'Alan Turing dans les années 50. Dans ce mémoire nous considérons un système simple d'équations de réaction-diffusion pour étudier la formation de motifs. Nous approchons ces solutions en utilisant une discrétisation spatiale par éléments finis. Nous montrons comment choisir les paramètres pour atteindre un motif choisi sur un domaine rectangulaire fixe. Après avoir validé les méthodes numériques utilisées dans nos simulations, nous nous intéressons à l'évolution de motifs sur des domaines qui croissent dans le temps. En particulier, nous examinons l'influence de la condition initiale et de la vitesse de croissance du domaine sur les motifs apparaissant au terme de la croissance.

Initialement, la théorie du risque supposait l’indépendance entre les différentes variables aléatoires et autres paramètres intervenant dans la modélisation actuarielle. De nos jours, cette hypothèse d’indépendance est souvent relâchée afin de tenir compte de possibles interactions entre les différents éléments des modèles. Dans cette thèse, nous proposons d’introduire des modèles de dépendance pour différents aspects de la théorie du risque. Dans un premier temps, nous suggérons l’emploi des copules comme structure de dépendance. Nous abordons tout d’abord un problème d’allocation de capital basée sur la Tail-Value-at-Risk pour lequel nous supposons un lien introduit par une copule entre les différents risques. Nous obtenons des formules explicites pour le capital à allouer à l’ensemble du portefeuille ainsi que la contribution de chacun des risques lorsque nous utilisons la copule Farlie-Gumbel-Morgenstern. Pour les autres copules, nous fournissons une méthode d’approximation. Au deuxième chapitre, nous considérons le processus aléatoire de la somme des valeurs présentes des sinistres pour lequel les variables aléatoires du montant d’un sinistre et de temps écoulé depuis le sinistre précédent sont liées par une copule Farlie-Gumbel-Morgenstern. Nous montrons comment obtenir des formes explicites pour les deux premiers moments puis le moment d’ordre m de ce processus. Le troisième chapitre suppose un autre type de dépendance causée par un environnement extérieur. Dans le contexte de l’étude de la probabilité de ruine d’une compagnie de réassurance, nous utilisons un environnement markovien pour modéliser les cycles de souscription. Nous supposons en premier lieu des temps de changement de phases de cycle déterministes puis nous les considérons ensuite influencés en retour par les montants des sinistres. Nous obtenons, à l’aide de la méthode d’erlangisation, une approximation de la probabilité de ruine en temps fini. / Initially, it was supposed in risk theory that the random variables and other parameters of actuarial models were independent. Nowadays, this hypothesis is often relaxed to take into account possible interactions. In this thesis, we propose to introduce some dependence models for different aspects of risk theory. In a first part, we use copulas as dependence structure. We first tackle a problem of capital allocation based on the Tail- Value-at-Risk where the risks are supposed to be dependent according to a copula. We obtain explicit formulas for the capital to be allocated to the overall portfolio but also for the contribution of each risk when we use a Farlie-Gumbel-Morenstern copula. For the other copulas, we give an approximation method. In the second chapter, we consider the stochastic process of the discounted aggregate claims where the random variables for the claim amount and the time since the last claim are linked by a Farlie-Gumbel- Morgenstern copula.We show how to obtain exact expressions for the first two moments and for the moment of order m of the process. The third chapter assumes another type of dependence that is caused by an external environment. In the context of the study of the ruin probability for a reinsurance company, we use a Markovian environment to model the underwriting cycles. We suppose first deterministic cycle phase changes and then that these changes can also be influenced by the claim amounts. We use the erlangization method to obtain an approximation for the finite time ruin probability.

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En théorie du risque, la tâche principale de l'actuaire consiste à gérer les risques souscrits par l'entreprise afin qu'elle soit à tout moment en mesure de remplir ses obligations. Les mesures de risque sont de précieux outils à cet effet. Dans cette thèse, les mesures de risque et méthodes d'allocation de capital en fonction de la dépendance entre les risques sont étudiées. Aussi, de nouvelles mesures de risque et méthodes d'allocation de capital sont développées, dans le cadre de portefeuilles multivariés partiellement agrégés avec dépendance entre les risques. L'introduction présente une revue de la littérature ainsi que les concepts traités dans cette thèse. Dans un second chapitre, l'allocation de capital basée sur la mesure Tail Value-at-Risk (TVaR) pour un portefeuille de risques agrégés, suivant des distributions composées multivariées avec sévérités continues est présentée. Le troisième chapitre fait l'étude de la mesure Value-at-Risk (VaR) bivariée. Cette dernière est redéfinie, afin de pouvoir étudier son comportement, en fonction de la dépendance entre les risques. Plusieurs résultats sur les conditions de convexité et par rapport aux ordres de concordance ainsi qu'aux bornes en fonction de cette mesure sont montrés. Une application intéressante en assurance est aussi présentée. Les nouvelles mesures de risque TVaR bivarié de quadrant inférieur et supérieur sont présentées dans le quatrième chapitre. Ces mesures sont motivées, étudiées et appliquées pour des annuités liées à des actifs. Le cinquième chapitre fait part de méthodes numériques efficaces pour calculer des bornes inférieures et supérieures d'une fonction de répartition représentant une somme de variables aléatoires. Cet algorithme permet aussi le calcul de bornes pour la VaR d'une somme de variables aléatoires. Une brève conclusion rappelle les apports de cette thèse et suggère quelques avenues de recherche intéressantes en lien avec les sujets traités. / In risk theory, the main task of the actuary is to manage the risks underwritten by the company so that, at any time, it will be able to fulfill its obligations. Risk measures are valuable tools for this purpose. In this thesis, risk measures and capital allocation methods based on the dependence between multivariate risks are studied. Also, new measures of risk and capital allocation methods are developed within the framework of multivariate portfolios with partially aggregated dependencies between risks. The introduction presents a literature review and the concepts discussed in this thesis. In the second chapter, the capital allocation based on the measure Tail Value-at- Risk (TVaR) for a portfolio of risks following multivariate distributions with continuous severities is presented. The third chapter is the study of the bivariate Value-at-Risk (VaR). The latter is studied and illustrated, according to the dependence between risks. Several results on the conditions of convexity and relative to concordance orders and bounds of this metric are set. An interesting application in insurance is also presented. The new bivariate lower and upper orthant TVaR are presented in chapter four. These measures are motivated, studied and applied to Equity Indexed Annuities associated with correlated assets. The fifth chapter presents a numerical algorithm in order to calculate lower and upper bounds for sums of random variables. The method suggested is concise and parsimonious. It also allows to compute bounds for the VaR for sums of random variables. A brief conclusion recalls the contributions of this thesis and suggests some interesting research venues in connection with topics discussed in the previous chapters.

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