Nesta tese de doutorado estudamos polinômios multivariados. Começamos fazendo uma revisão bibliográfica sobre o teorema da irredutibilidade de Hilbert. Abordamos com detalhes as demonstrações da versão clássica feita pelo próprio Hilbert e das versões efetivas feitas por Erich Kaltofen e Shuhong Gao. Desenvolvemos um novo algoritmo para fatoração de polinômios multivariados inteiros usando logaritmo discreto. Nosso método é baseado em novos tipos de reduções de polinômios multivariados para polinômios bivariados, as quais têm como principal característica manter a esparsidade do polinômio. Nosso método mostrou-se eficiente quando usado para fatorar polinômios multivariados que possuem apenas fatores esparsos e quando usado para extrair fatores esparsos de polinômios multivariados que têm fatores esparsos e densos. Terminamos essa tese trabalhando com o máximo divisor comum (mdc) de polinômios. Estudamos critérios geométricos de politopos para determinar coprimalidade entre polinômios multivariados. Desenvolvemos um novo algoritmo que trabalha em tempo polinomial (sobre o número de monômios) para detectar coprimalidade entre polinômios multivariados usando seus politopos de Newton associados. Esse método geométrico tem a vantagem de determinar a coprimalidade entre famílias de polinômios, pois podemos mudar arbitrariamente os coeficientes dos polinômios desde que certos coeficientes permaneçam não nulos. Além disso, os polinômios permanecerão coprimos sobre qualquer corpo. Terminamos mostrando como construir o mdc entre dois polinômios bivariados usando seus polígonos de Newton associados. / In this dissertation we study multivariate polynomials. We begin with a bibliographical review on the Hilbert irreducibility theorem. We cover in detail the demonstrations of the classic version due to Hilbert himself and effective versions due to Erich Kaltofen and Shuhong Gao. We developed a new algorithm for factoring multivariate integral polynomials using discrete logarithm. Our method is based on new types of reductions, from multivariate polynomias to bivariate polynomials, whose main feature is to maintain the sparsity of the polynomial. Our method has proved to be eficient when used for factoring multivariate polynomials that have only sparse factors and when used to extract sparse factors of multivariate polynomials that have sparse and dense factors. We finish this dissertation studying the greatest common divisor (gcd) of polynomials. We study geometric criteria of polytopes to determine coprimality between multivariate polynomials. We developed a new algorithm that works in polynomial time (on the number of monomials) to detect coprimality between multivariate polynomials using their associated Newton polytopes. This geometric method has the advantage of determining the coprimality between families of polynomials, since we can arbitrarily change the polynomial coeficients as long as some coeficients remain nonzero. Moreover, the coprime polynomials shall remain coprime on anyfield. We ended up showing how to build the gcd between two bivariate polynomials using their associated Newton polygons.

Nesta tese de doutorado estudamos polinômios multivariados. Começamos fazendo uma revisão bibliográfica sobre o teorema da irredutibilidade de Hilbert. Abordamos com detalhes as demonstrações da versão clássica feita pelo próprio Hilbert e das versões efetivas feitas por Erich Kaltofen e Shuhong Gao. Desenvolvemos um novo algoritmo para fatoração de polinômios multivariados inteiros usando logaritmo discreto. Nosso método é baseado em novos tipos de reduções de polinômios multivariados para polinômios bivariados, as quais têm como principal característica manter a esparsidade do polinômio. Nosso método mostrou-se eficiente quando usado para fatorar polinômios multivariados que possuem apenas fatores esparsos e quando usado para extrair fatores esparsos de polinômios multivariados que têm fatores esparsos e densos. Terminamos essa tese trabalhando com o máximo divisor comum (mdc) de polinômios. Estudamos critérios geométricos de politopos para determinar coprimalidade entre polinômios multivariados. Desenvolvemos um novo algoritmo que trabalha em tempo polinomial (sobre o número de monômios) para detectar coprimalidade entre polinômios multivariados usando seus politopos de Newton associados. Esse método geométrico tem a vantagem de determinar a coprimalidade entre famílias de polinômios, pois podemos mudar arbitrariamente os coeficientes dos polinômios desde que certos coeficientes permaneçam não nulos. Além disso, os polinômios permanecerão coprimos sobre qualquer corpo. Terminamos mostrando como construir o mdc entre dois polinômios bivariados usando seus polígonos de Newton associados. / In this dissertation we study multivariate polynomials. We begin with a bibliographical review on the Hilbert irreducibility theorem. We cover in detail the demonstrations of the classic version due to Hilbert himself and effective versions due to Erich Kaltofen and Shuhong Gao. We developed a new algorithm for factoring multivariate integral polynomials using discrete logarithm. Our method is based on new types of reductions, from multivariate polynomias to bivariate polynomials, whose main feature is to maintain the sparsity of the polynomial. Our method has proved to be eficient when used for factoring multivariate polynomials that have only sparse factors and when used to extract sparse factors of multivariate polynomials that have sparse and dense factors. We finish this dissertation studying the greatest common divisor (gcd) of polynomials. We study geometric criteria of polytopes to determine coprimality between multivariate polynomials. We developed a new algorithm that works in polynomial time (on the number of monomials) to detect coprimality between multivariate polynomials using their associated Newton polytopes. This geometric method has the advantage of determining the coprimality between families of polynomials, since we can arbitrarily change the polynomial coeficients as long as some coeficients remain nonzero. Moreover, the coprime polynomials shall remain coprime on anyfield. We ended up showing how to build the gcd between two bivariate polynomials using their associated Newton polygons.

Nesta tese de doutorado estudamos polinômios multivariados. Começamos fazendo uma revisão bibliográfica sobre o teorema da irredutibilidade de Hilbert. Abordamos com detalhes as demonstrações da versão clássica feita pelo próprio Hilbert e das versões efetivas feitas por Erich Kaltofen e Shuhong Gao. Desenvolvemos um novo algoritmo para fatoração de polinômios multivariados inteiros usando logaritmo discreto. Nosso método é baseado em novos tipos de reduções de polinômios multivariados para polinômios bivariados, as quais têm como principal característica manter a esparsidade do polinômio. Nosso método mostrou-se eficiente quando usado para fatorar polinômios multivariados que possuem apenas fatores esparsos e quando usado para extrair fatores esparsos de polinômios multivariados que têm fatores esparsos e densos. Terminamos essa tese trabalhando com o máximo divisor comum (mdc) de polinômios. Estudamos critérios geométricos de politopos para determinar coprimalidade entre polinômios multivariados. Desenvolvemos um novo algoritmo que trabalha em tempo polinomial (sobre o número de monômios) para detectar coprimalidade entre polinômios multivariados usando seus politopos de Newton associados. Esse método geométrico tem a vantagem de determinar a coprimalidade entre famílias de polinômios, pois podemos mudar arbitrariamente os coeficientes dos polinômios desde que certos coeficientes permaneçam não nulos. Além disso, os polinômios permanecerão coprimos sobre qualquer corpo. Terminamos mostrando como construir o mdc entre dois polinômios bivariados usando seus polígonos de Newton associados. / In this dissertation we study multivariate polynomials. We begin with a bibliographical review on the Hilbert irreducibility theorem. We cover in detail the demonstrations of the classic version due to Hilbert himself and effective versions due to Erich Kaltofen and Shuhong Gao. We developed a new algorithm for factoring multivariate integral polynomials using discrete logarithm. Our method is based on new types of reductions, from multivariate polynomias to bivariate polynomials, whose main feature is to maintain the sparsity of the polynomial. Our method has proved to be eficient when used for factoring multivariate polynomials that have only sparse factors and when used to extract sparse factors of multivariate polynomials that have sparse and dense factors. We finish this dissertation studying the greatest common divisor (gcd) of polynomials. We study geometric criteria of polytopes to determine coprimality between multivariate polynomials. We developed a new algorithm that works in polynomial time (on the number of monomials) to detect coprimality between multivariate polynomials using their associated Newton polytopes. This geometric method has the advantage of determining the coprimality between families of polynomials, since we can arbitrarily change the polynomial coeficients as long as some coeficients remain nonzero. Moreover, the coprime polynomials shall remain coprime on anyfield. We ended up showing how to build the gcd between two bivariate polynomials using their associated Newton polygons.

Neste trabalho estudamos resultados sobre elementos independentes em relação a um ideal de um anel noetheriano comutativo com unidade. Começamos mostrando, num resultado devido a G. VALLA, que o supremo de um ideal (número máximo de elementos independentes nesse ideal) está entre a profundidade e a altura do mesmo. Demonstramos então um teorema, devido a N.V. TRUNG, que relaciona o supremo de um ideal com o comportamento do ideal nulo de completamentos de localizações do anel em primos associados a este ideal. Como aplicação desse resultado provamos que o completamento de um anel local (R, m) possui um ideal primo associado (mÍnimo) ao ideal nulo de coaltura r se e somente se em R existir um ideal m-primário (inteiramente fechado) cujo supremo é r. / We prove results concerning independent elements with respect to an ideal of a commutative Noetherian ring with unity. First we prove a. result dueto G. VALLA: the supremum of a.n ideal, tha.t is, the maximum number of independent elements of an ideal with respect to itself, is bounded below by the depth and above by the height of the ideal. Next we prove a cha.ra.cterization theorem of N.V. TRUNG which relates the supremum of an ideal with the behavior of the zero ideal of completions of localiza.tions of the ring at its associated prime ideais. As an applica.tion, we prove that the completion of a local ring (R, m) has a (minimal) prime divisor of coheight r if and only if there exists in R a.n (integrally closed) m-primary ideal with supremum r.

Neste trabalho estudamos resultados sobre elementos independentes em relação a um ideal de um anel noetheriano comutativo com unidade. Começamos mostrando, num resultado devido a G. VALLA, que o supremo de um ideal (número máximo de elementos independentes nesse ideal) está entre a profundidade e a altura do mesmo. Demonstramos então um teorema, devido a N.V. TRUNG, que relaciona o supremo de um ideal com o comportamento do ideal nulo de completamentos de localizações do anel em primos associados a este ideal. Como aplicação desse resultado provamos que o completamento de um anel local (R, m) possui um ideal primo associado (mÍnimo) ao ideal nulo de coaltura r se e somente se em R existir um ideal m-primário (inteiramente fechado) cujo supremo é r. / We prove results concerning independent elements with respect to an ideal of a commutative Noetherian ring with unity. First we prove a. result dueto G. VALLA: the supremum of a.n ideal, tha.t is, the maximum number of independent elements of an ideal with respect to itself, is bounded below by the depth and above by the height of the ideal. Next we prove a cha.ra.cterization theorem of N.V. TRUNG which relates the supremum of an ideal with the behavior of the zero ideal of completions of localiza.tions of the ring at its associated prime ideais. As an applica.tion, we prove that the completion of a local ring (R, m) has a (minimal) prime divisor of coheight r if and only if there exists in R a.n (integrally closed) m-primary ideal with supremum r.

Neste trabalho estudamos resultados sobre elementos independentes em relação a um ideal de um anel noetheriano comutativo com unidade. Começamos mostrando, num resultado devido a G. VALLA, que o supremo de um ideal (número máximo de elementos independentes nesse ideal) está entre a profundidade e a altura do mesmo. Demonstramos então um teorema, devido a N.V. TRUNG, que relaciona o supremo de um ideal com o comportamento do ideal nulo de completamentos de localizações do anel em primos associados a este ideal. Como aplicação desse resultado provamos que o completamento de um anel local (R, m) possui um ideal primo associado (mÍnimo) ao ideal nulo de coaltura r se e somente se em R existir um ideal m-primário (inteiramente fechado) cujo supremo é r. / We prove results concerning independent elements with respect to an ideal of a commutative Noetherian ring with unity. First we prove a. result dueto G. VALLA: the supremum of a.n ideal, tha.t is, the maximum number of independent elements of an ideal with respect to itself, is bounded below by the depth and above by the height of the ideal. Next we prove a cha.ra.cterization theorem of N.V. TRUNG which relates the supremum of an ideal with the behavior of the zero ideal of completions of localiza.tions of the ring at its associated prime ideais. As an applica.tion, we prove that the completion of a local ring (R, m) has a (minimal) prime divisor of coheight r if and only if there exists in R a.n (integrally closed) m-primary ideal with supremum r.

A regiäo de Monte Verde (Camanducaia, MG) está sìtuada a 1500 m de altitude, na porção sul da serra da Mantiqueira. Alvéolos do relevo serrano, como o entroncamento dos córregos do cadete e da Minhoca com o rio Jaguari, junto à sua área urbana, propìciaram o acúmulo de sucessões métricas de sedimentos argilo-arenosos em condiçöes favoráveis à formação de material turfoso e à preservação de palinomorfos. Nesta área, o presente estudo reconstitui, a partir da integração dos registros palinológico, sedimentológico (granulometria e minerais pesados) e geoquímico/isotópico (C e N) de três testemunhos rasos (até 230 cm), a evoluçäo e os possíveis controles sedimentares e paleoclimáticos do cenário paleoflorístico no Quaternário tardio, com especial atençäo para a Floresta de Araucária. O contexto geral registrado nos testemunhos é de planície de inundação fluvial, com cobertura arbórea próxima, e influência varìável de fluxos de encosta. Na parte montante do vale do cadete, obtiveram-se idades compreendidas entre 38695 - 40522 anos cal A.P., em 220 cm de profundidade, e 2060 - 1880 anos cal 4.P., em 5 cm. Na parte inferior da coluna, até cerca de 16000 anos A.P., há indícios de aumento de distalidade para cima. Entre cerca de 16000 e 3500 anos A.P., evidencia-se redução da influência da matéria orgânica de plantas terrestres, em detrimento de algas, possivelmente em momento de abeÍura relativa da cobertura florestal. Os últimos 3500 anos seriam de restabelecimento da cobeÍura florestal, possivelmente já nos moldes da existente hoje, com redução gradual do aporte de areia. Mais a jusante do mesmo vale, as idades ficaram compreendidas entre 26764-26023 anos cal 4.P., em 210 cm de profundidade, e 2350 - 2150 anos cal A.P., em 10 cm, A parte inferior do intervalo, mais antiga que 20830-20370 anos cal A.P., é dominada por influência de áreas fontes locais, graníticas. Em 20000 anos A.P., fontes distais, metamórficas, passam a atuar, com aumento da influência de algas. Nos últimos 5000 a 6000 anos A.P., tem-se o readensamento da Floresta de Araucária, com manutenção de brejos, sob condiçöes climáticas frias e úmidas. Os resultados sugerem que as mudanças climáticas nos últimos 40 mil anos em Monte Verde não foram acentuadas a ponto de exercer grande impacto florístico e que houve predomínio de Araucaria e elementos associados a essa floresta durante todo intervalo estudado, sob condições climáticas frias e úmidas. / he Monte Verde region (Camanducaia, MG) is located in the southern portion of the Mantiqueira Range, with 1500 m of elevation. Relief alveoli, as the junction of cadete and Minhoca creeks with Jaguari River, sited close to the urban area, propitiated the accumulation of metric sucessions of sandy-mud sediments, under cond itions favorable to the formation of peat material and preservation of paìynomorphs. ln this area, the present study integrates palynological, sedimentological (grain size and heavy minerals) and geochemical/isotopic (C and N) records of three shallow cores (up to 230 cm deep) to reconstruct the evolution and possible sedtmentary and paleoclimatic controls of the Laie Quaternary paleofloristic scenario, with special emphasìs in the Araucaria Forest. The general sedimentary context recorded in the cores is a river floodplain close to tree cover areas, and with variable influence of slope flows. On the upstream Cadete valley, were obtained ages of 38695-40522 cal years BP, at the deep of 220 cm, and 2060-1880 cal years BP, at 5 cm. From the bottom of the column until about 16000 BP, there is evidence of increased distality upwards The time interval between about 16000 and 3500 yr BP shows a reduction in the influence of organic matter derived from terrestrial plants, to the detriment of algae, possibly in a moment of relative opening of the forest cover. The last 3500 years would be characterized by the restoration of forest cover, possibly similar to the existing today, with gradual reduction of the sand supply ln the downstream of the same valley, the ages vary from 26,764 fo 26,023 cal years BP, at 210 cm deep, to 2350 to 2150 cal years BP, at 10 cm. The lower part of the sedimentary column, older than 20830-20370 AP\' is dominated by the influence of local granitìc sources areas. ln 20000 years BP, distal metamorphic sources begin to act paralel with a increased influence of algae. over the last 5000-6000 years, a increase of Araucaria Forest is recorded, with maintenance of weflands under cold and wet climatic conditions. This results suggest that climate changes during the last 40 k years in Monte Verde region were not sufficient to exert great floristic impact. Araucaria and associated forest elements predominated during the whole studied interval, under cold and wet weather conditions.

Nesta dissertação apresentamos os principais algoritmos para o cálculo do Máximo Divisor Comum de polinômios a uma variável: os Algoritmos Euclidianos e os Algoritmos Modulares. Obtemos uma nova cota superior para os coeficientes do M.D.C., bem como demonstramos os resultados necessários para a obtenção da cota atualmente utilizada pelos Algoritmos Modulares. Além disso, apresentamos uma classe de polinômios para os quais a nova cota é menor que a anterior. / In this thesis we present the main algorithms for computing the Greatest Common Divisor of two univariate polynomials: the Euclidean Algorithms and the Modular Algorithms. We obtain a new upper bound for the coefficients of the G.C.D., as well we prove the results that are necessary for obtaining the bound that has been used by the Modular Algorithms. Besides, we present a class of polynomials for which the new bound is smaller than the previos one.

[pt] Cross-selling é uma estratégia de vendas de produtos baseada em uma análise das compras passadas de um cliente ou nas compras passadas de outros clientes com o mesmo perfil. O algoritmo mais conhecido para análise da cesta de compras de um cliente é conhecido por market basket analysis. Este trabalho aborda a descoberta de padrões seqüenciais em grandes bases de dados e tem por objetivo apresentar um algoritmo eficiente que transforma o problema da cesta de compras em um problema de clique máximo. Primeiramente, os dados de entrada são transformados em um grafo e o problema da descoberta do clique máximo é resolvido revelando as relações mais recorrentes entre os itens em questão. Os experimentos apresentados na dissertação demonstram a eficiência do algoritmo em grandes volumes de dados. / [en] Cross-selling is a strategy to recommend products to customers based on their past purchases or the purchases of other customers with the same profile. The best known algorithm for the analysis of a client shopping basket is known in the literature as market basket analysis. This dissertation discusses the discovery of sequential patterns in large databases and aims at implementing an efficient algorithm that transforms the shopping cart problem into a maximum clique problem. First, input data is transformed into a graph and maximum cliques are detected to discover the most frequent relationship between the items on the transaction. The dissertation also includes experiments that evaluate the efficiency of the algorithm for large data volumes.

A regiäo de Monte Verde (Camanducaia, MG) está sìtuada a 1500 m de altitude, na porção sul da serra da Mantiqueira. Alvéolos do relevo serrano, como o entroncamento dos córregos do cadete e da Minhoca com o rio Jaguari, junto à sua área urbana, propìciaram o acúmulo de sucessões métricas de sedimentos argilo-arenosos em condiçöes favoráveis à formação de material turfoso e à preservação de palinomorfos. Nesta área, o presente estudo reconstitui, a partir da integração dos registros palinológico, sedimentológico (granulometria e minerais pesados) e geoquímico/isotópico (C e N) de três testemunhos rasos (até 230 cm), a evoluçäo e os possíveis controles sedimentares e paleoclimáticos do cenário paleoflorístico no Quaternário tardio, com especial atençäo para a Floresta de Araucária. O contexto geral registrado nos testemunhos é de planície de inundação fluvial, com cobertura arbórea próxima, e influência varìável de fluxos de encosta. Na parte montante do vale do cadete, obtiveram-se idades compreendidas entre 38695 - 40522 anos cal A.P., em 220 cm de profundidade, e 2060 - 1880 anos cal 4.P., em 5 cm. Na parte inferior da coluna, até cerca de 16000 anos A.P., há indícios de aumento de distalidade para cima. Entre cerca de 16000 e 3500 anos A.P., evidencia-se redução da influência da matéria orgânica de plantas terrestres, em detrimento de algas, possivelmente em momento de abeÍura relativa da cobertura florestal. Os últimos 3500 anos seriam de restabelecimento da cobeÍura florestal, possivelmente já nos moldes da existente hoje, com redução gradual do aporte de areia. Mais a jusante do mesmo vale, as idades ficaram compreendidas entre 26764-26023 anos cal 4.P., em 210 cm de profundidade, e 2350 - 2150 anos cal A.P., em 10 cm, A parte inferior do intervalo, mais antiga que 20830-20370 anos cal A.P., é dominada por influência de áreas fontes locais, graníticas. Em 20000 anos A.P., fontes distais, metamórficas, passam a atuar, com aumento da influência de algas. Nos últimos 5000 a 6000 anos A.P., tem-se o readensamento da Floresta de Araucária, com manutenção de brejos, sob condiçöes climáticas frias e úmidas. Os resultados sugerem que as mudanças climáticas nos últimos 40 mil anos em Monte Verde não foram acentuadas a ponto de exercer grande impacto florístico e que houve predomínio de Araucaria e elementos associados a essa floresta durante todo intervalo estudado, sob condições climáticas frias e úmidas. / he Monte Verde region (Camanducaia, MG) is located in the southern portion of the Mantiqueira Range, with 1500 m of elevation. Relief alveoli, as the junction of cadete and Minhoca creeks with Jaguari River, sited close to the urban area, propitiated the accumulation of metric sucessions of sandy-mud sediments, under cond itions favorable to the formation of peat material and preservation of paìynomorphs. ln this area, the present study integrates palynological, sedimentological (grain size and heavy minerals) and geochemical/isotopic (C and N) records of three shallow cores (up to 230 cm deep) to reconstruct the evolution and possible sedtmentary and paleoclimatic controls of the Laie Quaternary paleofloristic scenario, with special emphasìs in the Araucaria Forest. The general sedimentary context recorded in the cores is a river floodplain close to tree cover areas, and with variable influence of slope flows. On the upstream Cadete valley, were obtained ages of 38695-40522 cal years BP, at the deep of 220 cm, and 2060-1880 cal years BP, at 5 cm. From the bottom of the column until about 16000 BP, there is evidence of increased distality upwards The time interval between about 16000 and 3500 yr BP shows a reduction in the influence of organic matter derived from terrestrial plants, to the detriment of algae, possibly in a moment of relative opening of the forest cover. The last 3500 years would be characterized by the restoration of forest cover, possibly similar to the existing today, with gradual reduction of the sand supply ln the downstream of the same valley, the ages vary from 26,764 fo 26,023 cal years BP, at 210 cm deep, to 2350 to 2150 cal years BP, at 10 cm. The lower part of the sedimentary column, older than 20830-20370 AP\' is dominated by the influence of local granitìc sources areas. ln 20000 years BP, distal metamorphic sources begin to act paralel with a increased influence of algae. over the last 5000-6000 years, a increase of Araucaria Forest is recorded, with maintenance of weflands under cold and wet climatic conditions. This results suggest that climate changes during the last 40 k years in Monte Verde region were not sufficient to exert great floristic impact. Araucaria and associated forest elements predominated during the whole studied interval, under cold and wet weather conditions.