A presente tese de Doutorado refere-se a problemas em teoria de campos e mecânica quântica no espaço não comutativo (NC). Abordamos alguns sistemas físicos bem estudados em física teórica, como a teoria de Maxwell na presença de fontes externas, equação de Pauli, equação de Dirac em campos externos e o espectro do átomo de hidrogênio relativístico. Como um primeiro problema estudamos a teoria de calibre U(1)* e extendemos o mapa de Seiberg-Witten para incluir uma corrente externa e formulamos equações clássicas para os campos no espaço não comutativo. Soluções no vácuo e em um campo magnético externo para uma carga estática de tamanho finito a foram determinadas. Encontramos que uma carga estática além de ser um monopolo elétrico comporta-se como um dipolo magnético e um campo magnético externo modifica o campo de Coulomb a longas distâncias bem como alguns fatores de forma eletromagnéticos, comportamentos inerentes a consideração de uma geometria NC. Nesta direção analisamos a ambiguidade no mapa de Seiberg-Witten e mostramos que, no mínimo até a ordem estudada aqui, isto é equivalente a ambiguidade de se adicionar uma solução homogênea à condição de conservação da corrente. Demandando que o momento magnético NC seja menor que o erro existente na medida do momento magnético de léptons, obtemos uma estimativa superior para o parâmetro e seu comprimento fundamental associado l. Estudamos os níveis de energia do átomo de hidrogênio relativístico no formalismo da equação de Dirac no espaço NC para o campo de Coulomb. Demonstramos que no caso relativístico a não comutatividade quebra totalmente a degenerescência dos níveis 2S1/2; 2P1/2 e 2P3/2, abrindo novos canais de transição permitidos. Por fim construímos uma equação de onda não relativística para partículas de spin 1/2 através do limite não relativístico da equação de Dirac no espaço NC. Apresentamos um modelo pseudoclássico (à-la Berezin-Marinov) cuja quantização coincide com as equações de onda não relativísticas. Através da interação entre um spin não-relativístico e o campo magnético, através da equação de Pauli no espaço NC, construímos uma generalização para o modelo de Heisenberg para dois spins acoplados no espaço NC. Em tal modelo calculamos a amplitude de probabilidade de transição entre dois estados ortogonais do tipo EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) submetidos em um campo magnético oscilatório e mostramos que, algumas de tais transições, que são proibidas no espaço comutativo são possíveis devido a não comutatividade do espaço. / The present PhD thesis refers to problems in field theory and quantum mechanics in noncommutative (NC) space. We study some well known physical systems in theoretical physics, such as the Maxwell theory in the presence of external sources, the Pauli equation, the Dirac equation with external fields and the relativistic Hydrogen atom. First we study the U(1)* gauge theory and extend the Seiberg-Witten map to include an external current and formulate classical field equations in NC space. Solutions in the vacuum and in an external magnetic field for a static charge of finite size a is determined. We find that a static charge in NC space, besides being an electric monopole, behaves as a magnetic dipole and the external magnetic field modifies the Coulomb law at large distances, as well as some electromagnetic form factors. In this direction we analyse the arbitrariness in the Seiberg-Witten map and show that, at least to the order studied here, this is equivalent to adding a homogeneous solution to the charge conservation condition. Demanding that the NC magnetic moment be less than the existing error in the measurement of leptons magnetic moment we obtain an upper bound for the NC parameter and its associated fundamental length l. In addition we consider the energy levels of a hydrogen-like atom in the framework of a -modified, due to space noncommutativity, Dirac equation with a Coulomb field. It is shown that the noncommutativity completely breaks the degeneracy of the 2S1/2; 2P1/2 and 2P3/2 levels, allowing for new transition channels. At last, but not least, we construct a nonrelativistic wave equation for spin 1/2 particles through the nonrelativistic limit of the NC Dirac equation. We present a pseudoclassical model (à-la Berezin-Marinov) whose quantization coincides with the nonrelativistic wave equations. By extracting the interaction between a nonrelativistic spin and the magnetic field, from the obtained Pauli equation in NC space, we construct a generalization of the Heisenberg model for two coupled spins in NC space. In such model, it is calculated the transition probability amplitude between two orthogonal EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) states submitted in the presence of an oscilatory magnetic field and we shown that some of such transitions, which are forbidden in NC space are possible due to space noncommutativity.

Nesta tese apresentamos três problemas interligados: a quântização de teorias não-Lagrangianos, a mecânica quântica não-comutativa (MQNC) e a construção do produto estrela atravéz do ordenamento de Weyl. No contexto do primeiro problema foi elaborada uma abordagem da quantização canônica de sistemas com as equações de movimento não-Lagrangianas. Construímos um princípio da ação mínima para um sistema equivalente das equações diferenciais de primeira ordem. Existe uma ambiguidade não-trivial (que não se reduz a uma derivada total) na definição da função de Lagrange para os sistemas de equações de primeira ordem. Apresentamos uma descrição completa desta ambiguidade. O esquema proposto é aplicado para a quantização da teoria quadrática geral. Também foi construida a quantização do oscilador harmônico amortecido e da carga elétrica com radiação. No contexto da MQNC elaboramos uma formulação da integral de trajetória da MQNC relativística e construímos a generalização não-comutativa da ação da super-partícula. A quantização da ação proposta fornece as equações de Klein-Gordon e de Dirac nas teorias de campo não-comutativas. No contexto do terceiro problema desenvolvemos uma abordagem para a quantização por deformação no plano real com uma estrutura de Poisson arbitrária baseada no ordenamento simétrico dos produtos dos operadores. É formulado um procedimento iterativo simples e efetivo para a construção do produto estrela. Este procedimento nos permitiu calcular o produto estrela em ordens altas (em terceira e quarta ordens), algo que foi feito pela primeira vez. Exceto por uma análise da cohomologia, que não consideramos no artigo, o método proposto dá uma descrição explicita, na linguagem matemática usual da física, do produto estrela. / We present here three interrelated problems: quantization of non-Lagrangian theories, noncommutative quantum mechanics (NCQM) and a constructions of the star product trough the the Weyl ordering. In the context of the first problem an approach to the canonical quantization of systems with non-Lagrangian equations of motion is proposed. We construct an action principle for an equivalent first-order equations of motion. There exists an ambiguity (not reducible to a total time derivative) in associating a Lagrange function with the given set of equations. We give a complete description of this ambiguity. The proposed scheme is applied to quantization of a general quadratic theory. Also the quantization of a damped oscillator and a radiating point-like charge is constructed. In the context of NCQM we propose a path integral formulation of relativistic NCQM and construct a noncommutative generalization of superparticle action. After quantization, the proposed action reproduces the Klein-Gordon and Dirac equations in the noncommutative field theories. In the context of the third problem we develop an approach to the deformation quantization on the real plane with an arbitrary Poisson structure which based on Weyl symmetrically ordered operator products. A simple and effective iterative procedure of the construction of star products is formulated. This procedure allowed us to calculate the third and the fourth order star products. Modulo some cohomology issues which we do not consider here, the method gives an explicit and physics-friendly description of the star products.

Nesta tese apresentamos três problemas interligados: a quântização de teorias não-Lagrangianos, a mecânica quântica não-comutativa (MQNC) e a construção do produto estrela atravéz do ordenamento de Weyl. No contexto do primeiro problema foi elaborada uma abordagem da quantização canônica de sistemas com as equações de movimento não-Lagrangianas. Construímos um princípio da ação mínima para um sistema equivalente das equações diferenciais de primeira ordem. Existe uma ambiguidade não-trivial (que não se reduz a uma derivada total) na definição da função de Lagrange para os sistemas de equações de primeira ordem. Apresentamos uma descrição completa desta ambiguidade. O esquema proposto é aplicado para a quantização da teoria quadrática geral. Também foi construida a quantização do oscilador harmônico amortecido e da carga elétrica com radiação. No contexto da MQNC elaboramos uma formulação da integral de trajetória da MQNC relativística e construímos a generalização não-comutativa da ação da super-partícula. A quantização da ação proposta fornece as equações de Klein-Gordon e de Dirac nas teorias de campo não-comutativas. No contexto do terceiro problema desenvolvemos uma abordagem para a quantização por deformação no plano real com uma estrutura de Poisson arbitrária baseada no ordenamento simétrico dos produtos dos operadores. É formulado um procedimento iterativo simples e efetivo para a construção do produto estrela. Este procedimento nos permitiu calcular o produto estrela em ordens altas (em terceira e quarta ordens), algo que foi feito pela primeira vez. Exceto por uma análise da cohomologia, que não consideramos no artigo, o método proposto dá uma descrição explicita, na linguagem matemática usual da física, do produto estrela. / We present here three interrelated problems: quantization of non-Lagrangian theories, noncommutative quantum mechanics (NCQM) and a constructions of the star product trough the the Weyl ordering. In the context of the first problem an approach to the canonical quantization of systems with non-Lagrangian equations of motion is proposed. We construct an action principle for an equivalent first-order equations of motion. There exists an ambiguity (not reducible to a total time derivative) in associating a Lagrange function with the given set of equations. We give a complete description of this ambiguity. The proposed scheme is applied to quantization of a general quadratic theory. Also the quantization of a damped oscillator and a radiating point-like charge is constructed. In the context of NCQM we propose a path integral formulation of relativistic NCQM and construct a noncommutative generalization of superparticle action. After quantization, the proposed action reproduces the Klein-Gordon and Dirac equations in the noncommutative field theories. In the context of the third problem we develop an approach to the deformation quantization on the real plane with an arbitrary Poisson structure which based on Weyl symmetrically ordered operator products. A simple and effective iterative procedure of the construction of star products is formulated. This procedure allowed us to calculate the third and the fourth order star products. Modulo some cohomology issues which we do not consider here, the method gives an explicit and physics-friendly description of the star products.

A presente tese de Doutorado refere-se a problemas em teoria de campos e mecânica quântica no espaço não comutativo (NC). Abordamos alguns sistemas físicos bem estudados em física teórica, como a teoria de Maxwell na presença de fontes externas, equação de Pauli, equação de Dirac em campos externos e o espectro do átomo de hidrogênio relativístico. Como um primeiro problema estudamos a teoria de calibre U(1)* e extendemos o mapa de Seiberg-Witten para incluir uma corrente externa e formulamos equações clássicas para os campos no espaço não comutativo. Soluções no vácuo e em um campo magnético externo para uma carga estática de tamanho finito a foram determinadas. Encontramos que uma carga estática além de ser um monopolo elétrico comporta-se como um dipolo magnético e um campo magnético externo modifica o campo de Coulomb a longas distâncias bem como alguns fatores de forma eletromagnéticos, comportamentos inerentes a consideração de uma geometria NC. Nesta direção analisamos a ambiguidade no mapa de Seiberg-Witten e mostramos que, no mínimo até a ordem estudada aqui, isto é equivalente a ambiguidade de se adicionar uma solução homogênea à condição de conservação da corrente. Demandando que o momento magnético NC seja menor que o erro existente na medida do momento magnético de léptons, obtemos uma estimativa superior para o parâmetro e seu comprimento fundamental associado l. Estudamos os níveis de energia do átomo de hidrogênio relativístico no formalismo da equação de Dirac no espaço NC para o campo de Coulomb. Demonstramos que no caso relativístico a não comutatividade quebra totalmente a degenerescência dos níveis 2S1/2; 2P1/2 e 2P3/2, abrindo novos canais de transição permitidos. Por fim construímos uma equação de onda não relativística para partículas de spin 1/2 através do limite não relativístico da equação de Dirac no espaço NC. Apresentamos um modelo pseudoclássico (à-la Berezin-Marinov) cuja quantização coincide com as equações de onda não relativísticas. Através da interação entre um spin não-relativístico e o campo magnético, através da equação de Pauli no espaço NC, construímos uma generalização para o modelo de Heisenberg para dois spins acoplados no espaço NC. Em tal modelo calculamos a amplitude de probabilidade de transição entre dois estados ortogonais do tipo EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) submetidos em um campo magnético oscilatório e mostramos que, algumas de tais transições, que são proibidas no espaço comutativo são possíveis devido a não comutatividade do espaço. / The present PhD thesis refers to problems in field theory and quantum mechanics in noncommutative (NC) space. We study some well known physical systems in theoretical physics, such as the Maxwell theory in the presence of external sources, the Pauli equation, the Dirac equation with external fields and the relativistic Hydrogen atom. First we study the U(1)* gauge theory and extend the Seiberg-Witten map to include an external current and formulate classical field equations in NC space. Solutions in the vacuum and in an external magnetic field for a static charge of finite size a is determined. We find that a static charge in NC space, besides being an electric monopole, behaves as a magnetic dipole and the external magnetic field modifies the Coulomb law at large distances, as well as some electromagnetic form factors. In this direction we analyse the arbitrariness in the Seiberg-Witten map and show that, at least to the order studied here, this is equivalent to adding a homogeneous solution to the charge conservation condition. Demanding that the NC magnetic moment be less than the existing error in the measurement of leptons magnetic moment we obtain an upper bound for the NC parameter and its associated fundamental length l. In addition we consider the energy levels of a hydrogen-like atom in the framework of a -modified, due to space noncommutativity, Dirac equation with a Coulomb field. It is shown that the noncommutativity completely breaks the degeneracy of the 2S1/2; 2P1/2 and 2P3/2 levels, allowing for new transition channels. At last, but not least, we construct a nonrelativistic wave equation for spin 1/2 particles through the nonrelativistic limit of the NC Dirac equation. We present a pseudoclassical model (à-la Berezin-Marinov) whose quantization coincides with the nonrelativistic wave equations. By extracting the interaction between a nonrelativistic spin and the magnetic field, from the obtained Pauli equation in NC space, we construct a generalization of the Heisenberg model for two coupled spins in NC space. In such model, it is calculated the transition probability amplitude between two orthogonal EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) states submitted in the presence of an oscilatory magnetic field and we shown that some of such transitions, which are forbidden in NC space are possible due to space noncommutativity.