In this bachelor thesis we report on our numerical investigations into the optimal design of protective multi-layer coatings subject to an external force of Hertzian form. In view of mechanical reliablity and durability of the substrate and the coating we aim to find the best composition of given materials with the least computational effort. Numerical studies are carried out using the simulation software ELASTICA being the first non-FEM approach for the computation of stress fields within multi-layer coated, elastic materials. We thereby made use of the massive parallel computer CLiC (Chemnitzer Linux Cluster) where we ran our Windows based application in a Wine Environment. The outcome of the optimization is in general very sensitive towards the input parameters(i.e., material properties) which are not always available in the desired accuracy. However, the scheme outlined in this work is shown to produce very good results and could contribute a great deal to find optimal solutions for real applications. / Diese Bachelorarbeit befasst sich mit numerischen Untersuchungen zum optimalen Design von schützenden Mehrschichtbeschichtungen, die einer externen, Hertzschen Last ausgesetzt sind. Hinsichtlich der mechanischen Zuverlässigkeit und Haltbarkeit von Substrat und Beschichtung, versuchen wir die beste Zusammensetzung von gegebenen Materialien mit möglichst geringem Rechenaufwand zu finden. Die numerischen Berechungen wurden mit der Simulationssoftware ELASTICA durchgeführt, welches das erste kommerzielle, nicht-FEM-basierte Programm zur Berechnung von Stressfeldern innerhalb mehrfach beschichteter, elastischer Materialien darstellt. Dafür benutzten wir auf dem massiven Parrallelrechner CLiC (Chemnitzer Linux Cluster) unsere Windows basierte Anwendung unter der Emulationssoftware Wine. Das Ergebnis der Optimierung hängt im allgemeinen sehr stark von der Qualität der Eingangsparameter (z.B. Materialeigenschaften) ab, welche nicht immer in der erwünschten Genauigkeit vorliegen. Es wird gezeigt, dass die in dieser Arbeit vorgestellte Vorgehensweise sehr gute Resultate liefert und für reale Anwendungen einen äusserst ressourcenschonenden Lösungsweg darstellt.

The classical Cauchy-Boltzmann theory of continuum mechanics requires that the dimension, over which macroscopic gradients occur, are much larger than characteristic length scales of the microstructure. For this reason, the classical continuum theory comes to its limits for very small specimens or if material degradation leads to a localisation of deformations into bands, whose width is determined by the microstructure itself. Deviations from the predictions of the classical theory of continuum mechanics are referred to as size effects. It is well-known, that generalised continuum theories can describe size effects in principle. Especially micromorphic theories gain increasing popularity due its favorable numerical implementation. However, the formulation of the additionally necessary constitutive equations is a problem. For linear-elastic behavior, the number of material parameters increases considerably compared to the classical theory. The experimental determination of these parameters is thus very difficult. For nonlinear and history-dependent processes, even the qualitative structure of the constitutive equations can hardly be assessed solely on base of phenomenological considerations. Homogenisation methods are a promising approach to solve this problem. The present thesis starts with a critical review on the classical theory of homogenisation and the approaches on micromorphic homogenisation which are available in literature. On this basis, a theory is developed for the homogenisation of a classical Cauchy-Boltzmann continuum at the microscale towards a micromorphic continuum at the macroscale. In particular, the micro-macro-relations are specified for all macroscopic kinetic and kinematic field quantities. On the microscale, the corresponding boundary-value problem is formulated, whereby kinematic, static or periodic boundary conditions can be used. No restrictions are imposed on the material behavior, i. e. it can be linear or nonlinear. The special cases of the micropolar theory (Cosserat theory), microstrain theory and microdilatational theorie are considered. The proposed homogenisation method is demonstrated for several examples. The simplest example is the uniaxial case, for which the exact solution can be specified. Furthermore, the micromorphic elastic properties of a porous, foam-like material are estimated in closed form by means of Ritz' method with a cubic ansatz. A comparison with partly available exact solutions and FEM solutions indicates a qualitative and quantitative agreement of sufficient accuracy. For the special cases of micropolar and microdilatational theory, the material parameters are specified in the established nomenclature from literature. By means of these material parameters the size effect of an elastic foam structure is investigated and compared with corresponding results from literature. Furthermore, micromorphic damage models for quasi-brittle and ductile failure are presented. Quasi-brittle damage is modelled by propagation of microcracks. For the ductile mechanism, Gurson's limit-load approach on the microscale is extended by microdilatational terms. A finite-element implementation shows, that the damage model exhibits h-convergence even in the softening regime and that it thus can describe localisation.:1 Introduction 2 Literature review: Micromorphic theory and strain-gradient theory 2.1 Variational approach 2.1.1 Cauchy-Boltzmann continuum 2.1.2 Second gradient theory / Strain gradient theory 2.1.3 Micromorphic theory 2.1.4 Method of virtual power 2.2 Homogenisation approaches 2.2.1 Classical theory of homogenisation 2.2.2 Strain-gradient theory by Gologanu, Kouznetsova et al. 2.2.3 Micromorphic theory by Eringen 2.2.4 Average field theory by Forest et al. 2.3 Scope of the present thesis 3 Homogenisation towards a micromorphic continuum 3.1 Thermodynamic considerations and generalized Hill-Mandel lemma 3.2 Surface operator and kinetic micro-macro relations 3.3 Kinematic micro-macro relations 3.4 Porous material 3.5 Kinematic and periodic boundary conditions 3.6 Special cases 3.6.1 Strain-gradient theory / Second gradient theory 3.6.2 Micropolar theory 3.6.3 Microstrain theory 3.6.4 Microdilatational theory 4 Elastic Behaviour 4.1 Uniaxial case 4.2 Upper bound estimates by Ritz' Method 4.3 Isotropic porous material 4.4 Micropolar theory 4.5 Microdilatational theory 4.6 Size effect in simple shear 5 Damage Models 5.1 Quasi-brittle damage 5.2 Microdilatational extension of Gurson’s model of ductile damage 5.2.1 Limit load analysis for rigid ideal-plastic material 5.2.2 Phenomenological extensions 5.2.3 FEM implementation 5.2.4 Example 6 Discussion / Die klassische Cauchy-Boltzmann-Kontinuumstheorie setzt voraus, dass die Abmessungen, über denen makroskopische Gradienten auftreten, sehr viele größer sind als charakteristische Längenskalen der Mikrostruktur. Aus diesem Grund stößt die klassische Kontinuumstheorie bei sehr kleinen Proben ebenso an ihre Grenzen wie bei Schädigungsvorgängen, bei denen die Deformationen in Bändern lokalisieren, deren Breite selbst von der Längenskalen der Mikrostruktur bestimmt wird. Abweichungen von Vorhersagen der klassischen Kontinuumstheorie werden als Größeneffekte bezeichnet. Es ist bekannt, dass generalisierte Kontinuumstheorien Größeneffekte prinzipiell beschreiben können. Insbesondere mikromorphe Theorien erfreuen sich auf Grund ihrer vergleichsweise einfachen numerischen Implementierung wachsender Beliebtheit. Ein großes Problem stellt dabei die Formulierung der zusätzlich notwendigen konstitutiven Gleichungen dar. Für linear-elastisches Verhalten steigt die Zahl der Materialparameter im Vergleich zur klassischen Theorie stark an, was deren experimentelle Bestimmung sehr schwierig macht. Bei nichtlinearen und lastgeschichtsabhängigen Prozessen lässt sich selbst die qualitative Struktur der konstitutiven Gleichungen ausschließlich auf Basis phänomenologischer Überlegungen kaum erschließen. Homogenisierungsverfahren stellen einen vielversprechenden Ansatz dar, um dieses Problem zu lösen. Die vorliegende Arbeit gibt zunächst einen kritischen Überblick über die klassische Theorie der Homogenisierung sowie die im Schrifttum verfügbaren Ansätze zur mikromorphen Homogenisierung. Auf dieser Basis wird eine Theorie zur Homogenisierung eines klassischen Cauchy-Boltzmann-Kontinuums auf Mikroebene zu einem mikromorphen Kontinuum auf der Makroebene entwickelt. Insbesondere werden Mikro-Makro-Relationen für alle makroskopischen kinetischen und kinematischen Feldgrößen angegebenen. Auf der Mikroebene wird das entsprechende Randwertproblem formuliert, wobei kinematische, statische oder periodische Randbedingungen verwendet werden können. Das Materialverhalten unterliegt keinen Einschränkungen, d. h., dass es sowohl linear als auch nichtlinear sein kann. Die Sonderfälle der mikropolaren Theorie (Cosserat-Theorie), Mikrodehnungstheorie und mikrodilatationalen Theorie werden erarbeitet. Das vorgeschlagene Homogenisierungsverfahren wird für eine Reihe von Beispielen demonstriert. Als einfachstes Beispiel dient der einachsige Fall, für den die exakte Lösung angegebenen werden kann. Weiterhin werden die mikromorphen, elastischen Eigenschaften eines porösen, schaumartigen Materials mittels des Ritz-Verfahrens mit einem kubischen Ansatz in geschlossener Form abgeschätzt. Ein Vergleich mit teilweise verfügbaren exakten Lösungen sowie FEM-Lösungen weist eine qualitative und quantitative Übereinstimmung hinreichender Genauigkeit aus. Für die Sonderfälle mikropolaren und mikrodilatationalen Theorien werden die Materialparameter in der im Schrifttum üblichen Nomenklatur angegebenen. Mittels dieser Materialparameter wird der Größeneffekt in einer elastischen Schaumstruktur untersucht und mit entsprechenden Ergebnissen aus dem Schrifttum verglichen. Desweiteren werden mikromorphe Schädigungsmodelle für quasi-sprödes und duktiles Versagen vorgestellt. Quasi-spröde Schädigung wird durch das Wachstum von Mikrorissen modelliert. Für den duktilen Mechanismus wird der Ansatz von Gurson einer Grenzlastanalyse auf Mikroebene um mikrodilatationale Terme erweitert. Eine Finite-Elemente-Implementierung zeigt, dass das Schädigungsmodell auch im Entfestigungsbereich h-Konvergenz aufweist und die Lokalisierung beschreiben kann.:1 Introduction 2 Literature review: Micromorphic theory and strain-gradient theory 2.1 Variational approach 2.1.1 Cauchy-Boltzmann continuum 2.1.2 Second gradient theory / Strain gradient theory 2.1.3 Micromorphic theory 2.1.4 Method of virtual power 2.2 Homogenisation approaches 2.2.1 Classical theory of homogenisation 2.2.2 Strain-gradient theory by Gologanu, Kouznetsova et al. 2.2.3 Micromorphic theory by Eringen 2.2.4 Average field theory by Forest et al. 2.3 Scope of the present thesis 3 Homogenisation towards a micromorphic continuum 3.1 Thermodynamic considerations and generalized Hill-Mandel lemma 3.2 Surface operator and kinetic micro-macro relations 3.3 Kinematic micro-macro relations 3.4 Porous material 3.5 Kinematic and periodic boundary conditions 3.6 Special cases 3.6.1 Strain-gradient theory / Second gradient theory 3.6.2 Micropolar theory 3.6.3 Microstrain theory 3.6.4 Microdilatational theory 4 Elastic Behaviour 4.1 Uniaxial case 4.2 Upper bound estimates by Ritz' Method 4.3 Isotropic porous material 4.4 Micropolar theory 4.5 Microdilatational theory 4.6 Size effect in simple shear 5 Damage Models 5.1 Quasi-brittle damage 5.2 Microdilatational extension of Gurson’s model of ductile damage 5.2.1 Limit load analysis for rigid ideal-plastic material 5.2.2 Phenomenological extensions 5.2.3 FEM implementation 5.2.4 Example 6 Discussion