Este trabalho tem como objetivo discutir o conceito formal de distância em matemática, visando depois apresentar exemplos do conceito de distância em situações do dia a dia. Em geral com esse trabalho pretendemos que o leitor menos familiarizado entenda a importância do conceito matemático de distância. Distância é muito mais que o comprimento do segmento entre dois pontos e isso será apresentado em cada capítulo. O assunto foi inspirado pelo livro Encyclopedia of Distances Deza Michel Marie (2009), no qual são apresentados, espaços métricos, métricas em várias áreas e aplicações. No segundo capítulo, será apresentado a definição de espaços métricos. No terceiro capítulo serão apresentados alguns exemplos de métricas. As três primeiras métricas, as mais comuns: métricas euclidiana e máxima em R e R2. Também serão apresentadas as generalizações de cada uma delas em Rn. O próximo capítulo, o quarto, é destinado a apresentar o estudo sobre espaços normados, pois por meio desses conceitos pode-se analisar as distâncias entre vetores e matrizes. Veremos que a relevância dessas distâncias auxilia, por exemplo, na compreensão de aproximações de soluções de sistemas. No capítulo de distância de funções será apresentado um breve comentário sobre a série de Fourier, com relação ao método da aproximação através da decomposição de funções periódicas. Para analisar o quanto as funções trigonométricas estão se aproximando, usa-se o conceito de distância entre funções, as medições são feitas de acordo com as aproximações vão aumentando, essa distância \"erro\" entre elas tende a zero. Na teoria dos códigos, é preciso introduzir o conceito de distância entre \"palavras\", isso permite verificar se o código enviado teve alguma alteração, provocada por uma interferência ou ruídos durante a trajetória. Em algumas situações, o código consegue corrigir e compreender a palavra enviada mesmo tendo sofrido alterações no percurso. Nestes casos, há o estudo da métrica de Hamming. Já pela métrica de Hausdoorf, proposta pelo matemático de mesmo nome, é possível calcular com maior precisão a distância entre conjuntos fechados e limitados. Esta métrica pode ser utilizada em estudos de reconhecimento facial, por exemplo, pois as imagens das faces são transformadas em nuvens de pontos. Além disso, através do algoritmo de Dijkstra será apresentado a distância entre os vértices de um grafo convexo. Existem várias aplicações de distância entre grafos e uma delas é a questão de minimizar o custo decorrente do deslocamento entre uma transportadora e o local de entrega por exemplo. Para finalizar à discussão da importância do consenso de distância, será apresentada uma distância entre genes. Dentro deste tema, o principal cientista foi Thomas Morgan, que por meio de seus estudos conseguiu criar o primeiro mapeamento genético. Com isto, pode relacionar o conceito de distância entre genes à taxa de recombinação gênica. Finalmente, foi elaborada uma atividade com alunos do ensino médio com o objetivo de analisar os conhecimentos que os estudantes têm sobre distância. Esta atividade também foi importante para que os alunos pudessem compreender a necessidade de formalizar matematicamente este conceito e, principalmente, motivá-los por meio da apresentação de aplicações sobre distância, em diferentes âmbitos. / This work has as objective to discuss the formal concept of distance in mathematics, aiming to present examples of the distance concept in everyday situations. In general with this work we want the less familiar reader to understand the importance of the mathematical concept of distance. Distance is much more than the length of the segment between two points and this will be presented in each chapter. The subject was inspired by the book Encyclopedia of Distances Deza Michel Marie (2009), in which are presented, metric spaces, metrics in different areas and applications. In the second chapter, the definition of metric spaces will be presented. In the third chapter some examples of metrics will be presented. The first three metrics, the most common: usual, Euclidean, and maximum metrics in R and R2. Also the generalizations of each of them were presented in Rn. The next chapter, the fourth, is intended to show the study on normed spaces, because through these concepts we can analyze the distances between vectors and matrices. We will see that the relevance of these distances helps in the understanding of systems solutions approximation. In the chapter on distance of functions, a brief comment about Fourier series was presented, regarding the method of approximation through the decomposition of periodic functions. In order to analyze how the trigonometric functions are approaching, the concept of distance between functions is used, the measurements are made as the approximations increase, this distance \"error\" between them tends to zero. In codes theory, it is necessary to introduce the concept of distance between \"words\", this allows to verify if the code had some alteration, caused by an interference or noises during the trajectory. In some situations, the code can correct and understand the sent word even though it has undergone changes in the route. In these cases, there is Hammings metrics study. By the Hausdoorf metric, proposed by the mathematician of the same name, it is possible to calculate with more precision the distance between closed and limited sets. This metric can be used in face recognition studies, for example, because face images are transformed into clouds of dots. Then, through the Dijkstras algorithm will be presented the distance between the vertices of a convex graphic. There are several applications of distance between graphics and one of them is the issue of minimizing the cost of moving between a local carrier company and the place of delivery, for example. To finish the discussion about the importance of distance consensus, the distance between genes will be presented. Within this theme, the main scientist was Thomas Morgan, who through his studies managed to create the first genetic mapping. With this, he was able to relate the concept of distance between genes to the rate of gene recombination. Finally, an activity was elaborated with high school students with the objective of analyzing students knowledge about distance. This activity was also important so that the students could understand about a necessity to formalize this concept mathematically and, mainly, to motivate them through the presentation of applications on distance, in different scopes.

A complexidade dos dados armazenados em grandes bases de dados aumenta sempre, criando a necessidade de novas formas de consulta. As consultas por similaridade vêm apresentando crescente interesse para tratar de dados complexos, sendo as mais representativas a consulta por abrangência (\'R IND. q\' Range query) e a consulta aos k-vizinhos mais próximos (k-\'NN IND. q\' k-Nearest Neighboor query). Até recentemente, essas consultas não estavam disponíveis nos Sistemas de Gerenciamento de Bases de Dados (SGBD). Agora, com o início de sua disponibilidade, tem se tornado claro que os operadores de busca fundamentais usados para executá-las não são suficientes para atender às necessidades das aplicações que as demandam. Assim, estão sendo estudadas variações e extensões aos operadores fundamentais, em geral voltados às necessidades de domínios de aplicações específicas. Além disso, os seguintes problemas vêm impactando diretamente sua aceitação por parte dos usuários e, portanto, sua usabilidade: (i) os operadores fundamentais são pouco expressivos em situações reais; (ii) a cardinalidade dos resultados tende a ser grande, obrigando o usuário analisar muitos elementos; e (iii) os resultados nem sempre atendem ao interesse do usuário, implicando na reformulação e ajuste frequente das consultas. O objetivo desta dissertação é o desenvolvimento de uma técnica inédita para exibir um grau de variedade nas respostas às consultas aos k-vizinhos mais próximos em domínios de dados métricos, explorando aspectos de diversidade em extensões dos operadores fundamentais usando apenas as propriedades básicas do espaço métrico sem a solicitação de outra informação por parte do usuário. Neste sentido, são apresentados: a formalização de um modelo de variedade que possibilita inserir diversidade nas consultas por similaridade sem a definição de parâmetros por parte do usuário; um algoritmo incremental para responder às consultas aos k-vizinhos mais próximos com variedade; um método de avaliação de sobreposição de variedade para as consultas por similaridade. As propriedades desses resultados permitem usar as técnicas desenvolvidas para apoiar a propriedade de variedade nas consultas aos k-vizinhos mais próximos em Sistemas de Gerenciamento de Bases de Dados / The data being collected and generated nowadays increases not only in volume, but also in complexity, leading to the need of new query operators. Similarity queries are one of the most pursued resources to retrieve complex data. The most studied operators to perform similarity are the Range Query (\'R IND.q\') and the k-Nearest Neighbor Query (k-\'NN IND. q\'). Until recently, those queries were not available in the Database Management Systems. Now they are starting to become available, but since its earliest applications to develop real systems, it became clear that the basic similarity query operators are not enough to meet the requirements of the target applications. Therefore, new variations and extensions to the basic operators are being studied, although every work up to now is only pursuing the requirements of specific application domains. Furthermore, the following issues are directly impacting their acceptance by users and therefore its usability: (i) the basic operators are not expressive in real situations, (ii) the result-set cardinality tends to be large, imposing to the user the need to analyze to many elements, and (iii) the results do not always meet the users interest, resulting in the reformulation and adjustment of the queries. The goal of this dissertation is the development of a novel technique to enable a degree of variety the answers of k-nearest neighbor queries in metric spaces, investigating aspects of diversity in extensions of the basic operators using only the properties of metric spaces, never requesting extra information from the user. In this monograph, we present: the formalization of the variety model that allows to support diversity in similarity queries without requiring diversification parameters from the user; a greedy algorithm to obtain answers for similarity queries to the k-nearest neighbors with variety; an evaluation method to assess the diversification ratio existing on a subset of elements in metric space. The properties of those results allow using our proposed techniques to support variety in k-nearest neighbor queries in Database Management Systems

Um espaço métrico é definido por um conjunto de objetos e uma função de distância métrica, que é utilizada para avaliar o nível de similaridade entre estes objetos. Isto permite a elaboração de Métodos de Acesso Métricos (MAMs) capazes de responder consultas por similaridade nesses conjuntos em um tempo reduzido. Em geral, esses MAMs são materializados através de uma estrutura hierárquica chamada de árvore métrica. Normalmente essas árvores são mantidas balanceadas, pois isto tende a manter a altura da árvore mínima, reduzindo o número de acessos a disco necessários para responder às consultas. No entanto, é difícil manter as estruturas balanceadas sem a existência de sobreposição entre os nós que cobrem regiões de alta densidade de objetos. O efeito disto é a degradação do tempo das consultas, pois várias subárvores devem ser analisadas para compor as consultas. Em outras palavras, minimizar a sobreposição entre os nós aumenta a eficiência das árvores métricas. Um meio efetivo para isto é flexibilizar o balanceamento das árvores métricas. Este trabalho apresenta um novo MAM dinâmico, chamado de DBM-tree (Density-Based Metric tree), que permite flexibilizar o balanceamento da estrutura, minimizando o grau de sobreposição entre os nós em regiões densas e, conseqüentemente, aumentando o seu desempenho para responder às consultas. Essa flexibilização é ajustada pelo usuário e é rigidamente controlada pela estrutura. A profundidade da árvore é maior em regiões de alta densidade, procurando um equilíbrio entre o número de acessos a disco para avaliar múltiplas subárvores e para a busca em profundidade em cada subárvore. A DBM-tree possui um algoritmo de otimização chamado de DBM-Slim-Down, que melhora o desempenho das árvores através da reorganização de elementos entre os seus nós. Os experimentos feitos com dados reais e sintéticos mostram que a DBM-tree supera em desempenho os MAMs tradicionais. Ela é, em média, 50% mais rápida que os MAMs tradicionais e reduz o número de acessos a disco e cálculos de distância em até 50%. Depois de executado o algoritmo DBM-Slim-Down, o seu desempenho melhorou em até 30% para as consultas por abrangência e aos vizinhos mais próximos. Ainda, a DBM-tree é escalável considerando tempo total de processamento, número de acessos a disco e de cálculos de distância em relação ao tamanho do conjunto de dados indexado. / A metric space is defined as a set of objects and a metric distance function that is used to measure the similarity between these objects. It allows the development of Metric Access Methods (MAMs) that are able to answer similarity queries in these datasets quickly. Usually these MAMs are materialized through a hierarchical structure called metric trees. These trees are kept balanced because it tends to maintain the height of the tree small, aiming to reduce the number of disk access required to answer queries. However, it is difficult to maintain the tree balanced without overlapping nodes covering a large number of objects, leading to the degradation of query performance. In other words, reducing the overlap among nodes increases the performance of metric trees. A possible solution is to relax the need to keep metric trees balanced. This work presents a new dynamic MAM called DBM-tree (Density-Based Metric tree), which changes the rule that imposes a rigid balancing policy, allowing a small amount of unbalancing in some regions of it. This unbalancing minimizes the degree of overlapping among some high-density nodes and, consequently, increases query answering performance. The amount of relaxation is set by the user and is strongly enforced in the tree. The height of the tree is higher in high-density regions, in order to keep a balance between searching in various subtrees and searching deeply in each subtree. The DBM-tree has an optimization algorithm called DBM-Slim-Down that improves the performance in trees through reorganizing the elements among its nodes. The experiments performed over synthetic and real-world datasets showed that the DBM-tree outperforms the traditional MAMs. The DBM-tree is, in average, 50% faster than traditional MAMs and reduces the number of distance calculations and disk accesses up to 50%. After executing the DBM-Slim-Down algorithm, the performance achieves improvements up to 30% for range and k-nearest neighbor queries. Moreover, the DBM-tree is scalable regarding time, number of disk accesses and distance calculations.

O problema dos métodos tradicionais de identificação de pessoas é que são baseados em senhas e assim podem ser esquecidas, roubadas, perdidas, copiadas, armazenadas de maneira insegura e até utilizadas por uma pessoa que não tenha autorização. Os sistemas biométricos automáticos surgiram para oferecer uma alternativa para o reconhecimento de pessoas com maior segurança e eficiência. Uma das técnicas biométricas mais utilizadas é o reconhecimento de impressões digitais. Com o aumento do uso de impressões digitais nestes sistemas, houve o surgimento de grandes bancos de dados de impressões digitais, tornado-se um desafio encontrar a melhor e mais rápida maneira de recuperar informações. De acordo com os desafios apresentados, este trabalho tem duas propostas: i) desenvolver um novo algoritmo métrico para identificação de impressões digitais e ii) usá-lo para indexar um banco de dados de impressões digitais através de uma árvore de busca métrica. Para comprovar a eficiência do algoritmo desenvolvido foram realizados testes sobre duas bases de imagens de impressões digitais, disponibilizadas no evento Fingerprint Verification Competition dos anos de 2000 e 2002. Os resultados obtidos foram comparados com os resultados do algoritmo proposto por Bozorth. A avaliação dos resultados foi feita pela curva Receiver Operating Characteristic juntamente com a taxa de Equal Error Rate, sendo que, o método proposto, obteve a taxa de 4,9% contra 7,2% do método de Bozorth e de 2,0% contra 2,7% do Bozorth nos banco de dados dos anos de 2000 e 2002 respectivamente. Nos testes de robustez, o algoritmo proposto conseguiu identificar uma impressão digital com uma parte da imagem de apenas 30% do tamanho original e por se utilizar uma base de dados indexada, o mesmo obteve vantagens de tempo na recuperação de pequenas quantidades de impressões digitais de uma mesma classe. / The problem of the traditional methods of people identification is that they are based on passwords which may to be forgotten, stolen, lost, copied, stored in an insecure way and be used by unauthorized person. Automatic biometric systems appeared to provide an alternative for the recognition of people in a more safe and efficienty way. One most biometrics techniques used is the fingerprint recognition. With the increasing use of fingerprints in biometric systems, large fingerprint databases emerged, and with them, the challenge to find the best and fastest way to recover informations. According to the challenges previously mentioned, this work presents two proposals: i) to develop a newmetric algorithm for the identification of fingerprints and ii) to use it to index a fingerprint database using a metric search tree. To prove the efficiency of the developed algorithm tests were performed on two fingerprint images databases from Fingerprint Verification Competition of years 2000 and 2002. The obtained results were compared to the results of the algorithm proposed by Bozorth and was evaluated by the Receiver Operating Characteristic curve and the Equal Error Rate, where the proposed method is of 4.9% against 7.2% of Bozorth and 2.0% of the algorithm proposed against 2.7% of the Bozorth in the databases of the yearsof 2000 and 2002. In the robustness tests, the proposed algorithm as able to identify a fingerprint with only 30% of the original size and when using an a indexed database, it obtained better performance in the recovery of small amounts of fingerprints of a single class.

O problema dos métodos tradicionais de identificação de pessoas é que são baseados em senhas e assim podem ser esquecidas, roubadas, perdidas, copiadas, armazenadas de maneira insegura e até utilizadas por uma pessoa que não tenha autorização. Os sistemas biométricos automáticos surgiram para oferecer uma alternativa para o reconhecimento de pessoas com maior segurança e eficiência. Uma das técnicas biométricas mais utilizadas é o reconhecimento de impressões digitais. Com o aumento do uso de impressões digitais nestes sistemas, houve o surgimento de grandes bancos de dados de impressões digitais, tornado-se um desafio encontrar a melhor e mais rápida maneira de recuperar informações. De acordo com os desafios apresentados, este trabalho tem duas propostas: i) desenvolver um novo algoritmo métrico para identificação de impressões digitais e ii) usá-lo para indexar um banco de dados de impressões digitais através de uma árvore de busca métrica. Para comprovar a eficiência do algoritmo desenvolvido foram realizados testes sobre duas bases de imagens de impressões digitais, disponibilizadas no evento Fingerprint Verification Competition dos anos de 2000 e 2002. Os resultados obtidos foram comparados com os resultados do algoritmo proposto por Bozorth. A avaliação dos resultados foi feita pela curva Receiver Operating Characteristic juntamente com a taxa de Equal Error Rate, sendo que, o método proposto, obteve a taxa de 4,9% contra 7,2% do método de Bozorth e de 2,0% contra 2,7% do Bozorth nos banco de dados dos anos de 2000 e 2002 respectivamente. Nos testes de robustez, o algoritmo proposto conseguiu identificar uma impressão digital com uma parte da imagem de apenas 30% do tamanho original e por se utilizar uma base de dados indexada, o mesmo obteve vantagens de tempo na recuperação de pequenas quantidades de impressões digitais de uma mesma classe. / The problem of the traditional methods of people identification is that they are based on passwords which may to be forgotten, stolen, lost, copied, stored in an insecure way and be used by unauthorized person. Automatic biometric systems appeared to provide an alternative for the recognition of people in a more safe and efficienty way. One most biometrics techniques used is the fingerprint recognition. With the increasing use of fingerprints in biometric systems, large fingerprint databases emerged, and with them, the challenge to find the best and fastest way to recover informations. According to the challenges previously mentioned, this work presents two proposals: i) to develop a newmetric algorithm for the identification of fingerprints and ii) to use it to index a fingerprint database using a metric search tree. To prove the efficiency of the developed algorithm tests were performed on two fingerprint images databases from Fingerprint Verification Competition of years 2000 and 2002. The obtained results were compared to the results of the algorithm proposed by Bozorth and was evaluated by the Receiver Operating Characteristic curve and the Equal Error Rate, where the proposed method is of 4.9% against 7.2% of Bozorth and 2.0% of the algorithm proposed against 2.7% of the Bozorth in the databases of the yearsof 2000 and 2002. In the robustness tests, the proposed algorithm as able to identify a fingerprint with only 30% of the original size and when using an a indexed database, it obtained better performance in the recovery of small amounts of fingerprints of a single class.

In this paper, we focus on indexing and searching in high-dimensional data. To achieve the target we implemented the Metric Index, a model of the similarity search based on the metric spaces, that employs many of known principles of partitioning and filtering. The metric space is a general model of similarity, which enables the usage of implemented index for various data. With this index, stored data could be searched effectively. The internal structure of data is hidden, we just require an implementation of the function for feature extraction, which produces a vector representing data, and the metric function applicable to the given data. The Metric Index was implemented as a data cartridge, the mechanism for extending the capabilities of the Oracle server. This data cartridge enables indexing of large unstructured data in the Oracle server known as LOBs.

<p>During the last decade, potential theory and p-harmonic functions have been developed in the setting of doubling metric measure spaces supporting a <em>p</em>-Poincar´e inequality. This theory unifies, and has applications in several areas of analysis, such as weighted Sobolev spaces, calculus on Riemannian manifolds and Carnot groups, subelliptic differential operators and potential theory on graphs.</p><p>In this thesis we investigate the double obstacle problem for p-harmonic functions on metric spaces. We show the existence and uniqueness of solutions and their continuity when the obstacles are continuous. Moreover the solution is p-harmonic in the open set where it does not touch the continuous obstacles. The boundary regularity of the solutions is also studied.</p><p>Furthermore we study two kinds of convergence problems for the solutions. First we let the obstacles vary and fix the boundary values and show the convergence of the solutions. Second we consider an increasing sequence of open sets, with union Ω, and fix the obstacles and the boundary values. We show that the solutions of the obstacle problems in these sets converge to the solution of the corresponding problem in Ω.</p> / <p>Låt oss börja med att betrakta följande situation: Vi vill förflytta oss från en plats vid ena sidan av en äng till en viss punkt på andra sidan ängen. På båda sidor om ängen finns skogsområden som vi inte får gå in i. Ängen är tyvärr inte homogen utan består av olika sorters mark som vi har noggrant beskrivet på en karta. Vi vill göra förflyttningen på smidigast sätt, men då ängen inte är homogen ska vi förmodligen inte gå rakaste vägen utan ska anpassa vägen optimalt efter terrängen. Detta är ett exempel på ett dubbelhinderproblem där hindren är skogsområdena på sidorna som vi måste hålla oss utanför.</p><p>Mer abstrakt vill man minimiera energin hos funktioner som tar vissa givna randvärden (de givna start- och slutpunkterna i exemplet ovan) och som håller sig mellan ett undre och ett övre hinder. I denna avhandling studeras detta dubbelhinderproblem i väldigt allmänna situationer.</p><p>För att kunna lösa hinderproblemet krävs det att vi tillåter ickekontinuerliga lösningar och då visas i avhandlingen att hinderproblemet är entydigt lösbart. Ett huvudresultat i avhandlingen är att om våra hinder är kontinuerliga så blir även lösningen kontinuerlig. Vidare visas diverse konvergenssatser som visar hur lösningarna varierar när hindren eller området i vilket problemet löses varierar.</p><p>Hinderproblem har utöver eget intresse viktiga tillämpningar i potentialteorin, bland annat för att studera motsvarande energiminimeringsproblem utan hinder.</p>

This thesis studies the problem of measuring freedom of choice. It analyzes the concept of freedom of choice, discusses conditions that a measure should satisfy, and introduces a new class of measures that uniquely satisfy ten proposed conditions. The study uses a decision-theoretical model to represent situations of choice and a metric space model to represent differences between options. The first part of the thesis analyzes the concept of freedom of choice. Different conceptions of freedom of choice are categorized into evaluative and non-evaluative, as well as preference-dependent and preference-independent kinds. The main focus is on the three conceptions of freedom of choice as cardinality of choice sets, representativeness of the universal set, and diversity of options, as well as the three conceptions of freedom of rational choice, freedom of eligible choice, and freedom of evaluated choice. The second part discusses the conceptions, together with conditions for a measure and a variety of measures proposed in the literature. The discussion mostly focuses on preference-independent conceptions of freedom of choice, in particular the diversity conception. Different conceptions of diversity are discussed, as well as properties that could affect diversity, such as the cardinality of options, the differences between the options, and the distribution of differences between the options. As a result, the diversity conception is accepted as the proper explication of the concept of freedom of choice. In addition, eight conditions for a measure are accepted. The conditions concern domain-insensitivity, strict monotonicity, no-choice situations, dominance of differences, evenness, symmetry, spread of options, and limited function growth. None of the previously proposed measures satisfy all of these conditions. The third part concerns the construction of a ratio-scale measure that satisfies the accepted conditions. Two conditions are added regarding scale-independence and function growth proportional to cardinality. Lastly, it is shown that only one class of measures satisfy all ten conditions, given an additional assumption that the measures should be analytic functions with non-zero partial derivatives with respect to some function of the differences. These measures are introduced as the Ratio root measures.

viii, 133 p. A print copy of this thesis is available through the UO Libraries. Search the library catalog for the location and call number. / In this dissertation, we will study the crossed product C*-algebras obtained from free and minimal [Special characters omitted.] actions on compact metric spaces with finite covering dimension. We first define stable recursive subhomogeneous algebras (SRSHAs), which differ from recursive subhomogeneous algebras introduced by N. C. Phillips in that the irreducible representations of SRSHAs are infinite dimensional instead of finite dimensional. We show that simple inductive limits of SRSHAs with no dimension growth in which the connecting maps are injective and non-vanishing have topological stable rank one. We then construct C*-subalgebras of the crossed product that are analogous to the C*-subalgebras in the studies of free minimal [Special characters omitted.] actions on compact metric spaces with finite covering dimension. Finally, we prove that these C*-algebras are in fact simple inductive limits of SRSHAs in which the connecting maps are injective and non-vanishing. Thus these C*-subalgebras have topological stable rank one. / Committee in charge: Christopher Phillips, Chairperson, Mathematics; Boris Botvinnik, Member, Mathematics; Huaxin Lin, Member, Mathematics; Yuan Xu, Member, Mathematics; Dietrich Belitz, Outside Member, Physics

A complexidade dos dados armazenados em grandes bases de dados aumenta sempre, criando a necessidade de novas formas de consulta. As consultas por similaridade vêm apresentando crescente interesse para tratar de dados complexos, sendo as mais representativas a consulta por abrangência (\'R IND. q\' Range query) e a consulta aos k-vizinhos mais próximos (k-\'NN IND. q\' k-Nearest Neighboor query). Até recentemente, essas consultas não estavam disponíveis nos Sistemas de Gerenciamento de Bases de Dados (SGBD). Agora, com o início de sua disponibilidade, tem se tornado claro que os operadores de busca fundamentais usados para executá-las não são suficientes para atender às necessidades das aplicações que as demandam. Assim, estão sendo estudadas variações e extensões aos operadores fundamentais, em geral voltados às necessidades de domínios de aplicações específicas. Além disso, os seguintes problemas vêm impactando diretamente sua aceitação por parte dos usuários e, portanto, sua usabilidade: (i) os operadores fundamentais são pouco expressivos em situações reais; (ii) a cardinalidade dos resultados tende a ser grande, obrigando o usuário analisar muitos elementos; e (iii) os resultados nem sempre atendem ao interesse do usuário, implicando na reformulação e ajuste frequente das consultas. O objetivo desta dissertação é o desenvolvimento de uma técnica inédita para exibir um grau de variedade nas respostas às consultas aos k-vizinhos mais próximos em domínios de dados métricos, explorando aspectos de diversidade em extensões dos operadores fundamentais usando apenas as propriedades básicas do espaço métrico sem a solicitação de outra informação por parte do usuário. Neste sentido, são apresentados: a formalização de um modelo de variedade que possibilita inserir diversidade nas consultas por similaridade sem a definição de parâmetros por parte do usuário; um algoritmo incremental para responder às consultas aos k-vizinhos mais próximos com variedade; um método de avaliação de sobreposição de variedade para as consultas por similaridade. As propriedades desses resultados permitem usar as técnicas desenvolvidas para apoiar a propriedade de variedade nas consultas aos k-vizinhos mais próximos em Sistemas de Gerenciamento de Bases de Dados / The data being collected and generated nowadays increases not only in volume, but also in complexity, leading to the need of new query operators. Similarity queries are one of the most pursued resources to retrieve complex data. The most studied operators to perform similarity are the Range Query (\'R IND.q\') and the k-Nearest Neighbor Query (k-\'NN IND. q\'). Until recently, those queries were not available in the Database Management Systems. Now they are starting to become available, but since its earliest applications to develop real systems, it became clear that the basic similarity query operators are not enough to meet the requirements of the target applications. Therefore, new variations and extensions to the basic operators are being studied, although every work up to now is only pursuing the requirements of specific application domains. Furthermore, the following issues are directly impacting their acceptance by users and therefore its usability: (i) the basic operators are not expressive in real situations, (ii) the result-set cardinality tends to be large, imposing to the user the need to analyze to many elements, and (iii) the results do not always meet the users interest, resulting in the reformulation and adjustment of the queries. The goal of this dissertation is the development of a novel technique to enable a degree of variety the answers of k-nearest neighbor queries in metric spaces, investigating aspects of diversity in extensions of the basic operators using only the properties of metric spaces, never requesting extra information from the user. In this monograph, we present: the formalization of the variety model that allows to support diversity in similarity queries without requiring diversification parameters from the user; a greedy algorithm to obtain answers for similarity queries to the k-nearest neighbors with variety; an evaluation method to assess the diversification ratio existing on a subset of elements in metric space. The properties of those results allow using our proposed techniques to support variety in k-nearest neighbor queries in Database Management Systems