<p>In this paper I give a description and derivation of Dirichlet's problem, a boundary value problem, for p-harmonic functions on graphs and study an iterative method for solving it.The method's convergence is proved and some preliminary results about its speed of convergence are presented.There is an implementation accompanying this thesis and a short description of the implementation is included. The implementation will be made available on the internet at http://www.mai.liu.se/~anbjo/pharmgraph/ for as long as possible.</p>

In this paper I give a description and derivation of Dirichlet's problem, a boundary value problem, for p-harmonic functions on graphs and study an iterative method for solving it.The method's convergence is proved and some preliminary results about its speed of convergence are presented.There is an implementation accompanying this thesis and a short description of the implementation is included. The implementation will be made available on the internet at http://www.mai.liu.se/~anbjo/pharmgraph/ for as long as possible.

<p>During the last decade, potential theory and p-harmonic functions have been developed in the setting of doubling metric measure spaces supporting a <em>p</em>-Poincar´e inequality. This theory unifies, and has applications in several areas of analysis, such as weighted Sobolev spaces, calculus on Riemannian manifolds and Carnot groups, subelliptic differential operators and potential theory on graphs.</p><p>In this thesis we investigate the double obstacle problem for p-harmonic functions on metric spaces. We show the existence and uniqueness of solutions and their continuity when the obstacles are continuous. Moreover the solution is p-harmonic in the open set where it does not touch the continuous obstacles. The boundary regularity of the solutions is also studied.</p><p>Furthermore we study two kinds of convergence problems for the solutions. First we let the obstacles vary and fix the boundary values and show the convergence of the solutions. Second we consider an increasing sequence of open sets, with union Ω, and fix the obstacles and the boundary values. We show that the solutions of the obstacle problems in these sets converge to the solution of the corresponding problem in Ω.</p> / <p>Låt oss börja med att betrakta följande situation: Vi vill förflytta oss från en plats vid ena sidan av en äng till en viss punkt på andra sidan ängen. På båda sidor om ängen finns skogsområden som vi inte får gå in i. Ängen är tyvärr inte homogen utan består av olika sorters mark som vi har noggrant beskrivet på en karta. Vi vill göra förflyttningen på smidigast sätt, men då ängen inte är homogen ska vi förmodligen inte gå rakaste vägen utan ska anpassa vägen optimalt efter terrängen. Detta är ett exempel på ett dubbelhinderproblem där hindren är skogsområdena på sidorna som vi måste hålla oss utanför.</p><p>Mer abstrakt vill man minimiera energin hos funktioner som tar vissa givna randvärden (de givna start- och slutpunkterna i exemplet ovan) och som håller sig mellan ett undre och ett övre hinder. I denna avhandling studeras detta dubbelhinderproblem i väldigt allmänna situationer.</p><p>För att kunna lösa hinderproblemet krävs det att vi tillåter ickekontinuerliga lösningar och då visas i avhandlingen att hinderproblemet är entydigt lösbart. Ett huvudresultat i avhandlingen är att om våra hinder är kontinuerliga så blir även lösningen kontinuerlig. Vidare visas diverse konvergenssatser som visar hur lösningarna varierar när hindren eller området i vilket problemet löses varierar.</p><p>Hinderproblem har utöver eget intresse viktiga tillämpningar i potentialteorin, bland annat för att studera motsvarande energiminimeringsproblem utan hinder.</p>

We study the Hausdorff dimension of a certain Borel measure associated to a positive weak solution of a certain quasilinear elliptic partial differential equation in a simply connected domain in the plane. We also assume that the solution vanishes on the boundary of the domain. Then it is shown that the Hausdorff dimension of this measure is less than one, equal to one, greater than one depending on the homogeneity of the certain function. This work generalizes the work of Makarov when the partial differential equation is the usual Laplace's equation and the work of Lewis and his coauthors when it is the p-Laplace's equation.

During the last decade, potential theory and p-harmonic functions have been developed in the setting of doubling metric measure spaces supporting a p-Poincar´e inequality. This theory unifies, and has applications in several areas of analysis, such as weighted Sobolev spaces, calculus on Riemannian manifolds and Carnot groups, subelliptic differential operators and potential theory on graphs. In this thesis we investigate the double obstacle problem for p-harmonic functions on metric spaces. We show the existence and uniqueness of solutions and their continuity when the obstacles are continuous. Moreover the solution is p-harmonic in the open set where it does not touch the continuous obstacles. The boundary regularity of the solutions is also studied. Furthermore we study two kinds of convergence problems for the solutions. First we let the obstacles vary and fix the boundary values and show the convergence of the solutions. Second we consider an increasing sequence of open sets, with union Ω, and fix the obstacles and the boundary values. We show that the solutions of the obstacle problems in these sets converge to the solution of the corresponding problem in Ω. / Låt oss börja med att betrakta följande situation: Vi vill förflytta oss från en plats vid ena sidan av en äng till en viss punkt på andra sidan ängen. På båda sidor om ängen finns skogsområden som vi inte får gå in i. Ängen är tyvärr inte homogen utan består av olika sorters mark som vi har noggrant beskrivet på en karta. Vi vill göra förflyttningen på smidigast sätt, men då ängen inte är homogen ska vi förmodligen inte gå rakaste vägen utan ska anpassa vägen optimalt efter terrängen. Detta är ett exempel på ett dubbelhinderproblem där hindren är skogsområdena på sidorna som vi måste hålla oss utanför. Mer abstrakt vill man minimiera energin hos funktioner som tar vissa givna randvärden (de givna start- och slutpunkterna i exemplet ovan) och som håller sig mellan ett undre och ett övre hinder. I denna avhandling studeras detta dubbelhinderproblem i väldigt allmänna situationer. För att kunna lösa hinderproblemet krävs det att vi tillåter ickekontinuerliga lösningar och då visas i avhandlingen att hinderproblemet är entydigt lösbart. Ett huvudresultat i avhandlingen är att om våra hinder är kontinuerliga så blir även lösningen kontinuerlig. Vidare visas diverse konvergenssatser som visar hur lösningarna varierar när hindren eller området i vilket problemet löses varierar. Hinderproblem har utöver eget intresse viktiga tillämpningar i potentialteorin, bland annat för att studera motsvarande energiminimeringsproblem utan hinder. / <p>Incorrect series title in colophon.</p>

Abstract is not available.

In this Thesis, we analyze three variational and geometric problems, that extend classical Euclidean issues of the calculus of variations to more general classes of spaces. The results we outline are based on the articles [Ved21; MV21] and on a forthcoming joint work with Nicolussi Golo and Serra Cassano. In the first place, in Chapter 1 we provide a general introduction to metric measure spaces and some of their properties. In Chapter 2 we extend the classical Talenti’s comparison theorem for elliptic equations to the setting of RCD(K,N) spaces: in addition the the generalization of Talenti’s inequality, we will prove that the result is rigid, in the sense that equality forces the space to have a symmetric structure, and stable. Chapter 3 is devoted to the study of the Bernstein problem for intrinsic graphs in the first Heisenberg group H^1: we will show that under mild assumptions on the regularity any stationary and stable solution to the minimal surface equation needs to be intrinsically affine. Finally, in Chapter 4 we study the dimension and structure of the singular set for p-harmonic maps taking values in a Riemannian manifold.