CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / O objetivo desse trabalho à estudarmos a controlabilidade aproximada, via estratÃgia de Stackeberg-Nash, para equaÃÃo do calor em domÃnios ilimitados, bem como para equaÃÃo da onda e para fluidos micropolares em domÃnios com fronteira variÃvel . / The purpose of this work is study the approximate controllability, via Stackelberg-Nash strategies to heat equation in unlimited domains, as well to wave equation and for micropolars fluids in domains with moving boundary.

This work, we discuss some criteria of regularity for a weak solution of the Magneto-micropolar equations. Furthermore, we show that it is possible to extend some recent results from the Navier-Stokes equations to the Magneto-micropolar equations. In order to give an example, we prove that a weak solution (u,w, b)(t), defined in [0, T], is smooth on R3 × (0, T), if it satisfies the condition a3u3, a3w, a3b E L00(0, T;L2(R3)). / Neste trabalho, discutimos alguns critérios de regularidade para uma solução fraca do sistema de equações tridimensionais de fluido Magneto-micropolar. Além disso, mostramos que é possível estender, para este mesmo sistema, alguns resultados recentes obtidos para as equações de Navier-Stokes. Em ordem a citar um exemplo, provamos que uma solução fraca (u,w, b)(t) definida em [0, T] é suave em R3 × (0, T) se esta satisfaz a condição a3u3, a3w, a3b E L00(0, T;L2(R3)).

Fundação de Apoio a Pesquisa e à Inovação Tecnológica do Estado de Sergipe - FAPITEC/SE / In this work, we study blow-up results in finite time for the solution (u, b)(·, t) (defined in [0, T∗)), as well as for their spacial derivatives, of the Magnetohydrodynamic (MHD) system. These results are obtained by extending some statements found in the literature for the classical Navier- Stokes equations. In order to cite an example, we prove that k(u, b)(·, t)kq explodes at a rate (T∗ − t)−q−3 2q , for all t ∈ [0, T∗) and 3 < q < ∞. In addition, we prove some sufficient conditions for the existence of global solution (in time) for the Navier-Stokes and MHD equations. Finally, we generalize some results established from the MHD equations, involving Sobolev Spaces Homogeneous, to the Magneto-micropolar system. More precisely, we show that if the solution (u,w, b)(·, t) presents blow-up in T∗ < ∞, then k(u,w, b)(·, t)k ˙H sk(u,w, b)(·, t)k 2s 1+2 −1 2 ≥ C(T∗ − t) s 1+2 , for all t ∈ [0, T∗), where δ ∈ (0, 1) and s ≥ 1 2 + δ. / Neste trabalho, discutimos inicialmente resultados de explos˜ao no tempo T∗ < ∞ para a solução (u, b)(·, t) (definida em [0, T∗)), como tamb´em para as suas derivadas, do sistema Magnetohidrodinâmico (MHD). Estes foram obtidos por uma extensão de resultados similares encontrados para as clássicas equações de Navier-Stokes. Em ordem a citarmos um exemplo, provamos que k(u, b)(·, t)kq explode a uma taxa (T∗ − t)−q−3 2q , para todo t ∈ [0, T∗) e 3 < q < ∞. Em seguida, avaliamos algumas condições suficientes para a existência de solução global no tempo para as equações de Navier-Stokes e MHD. Por fim, generalizamos observações de explosão, também em tempo finito, da solução das equações MHD, envolvendo espaços de Sobolev Homogêneos, para o sistema Magneto-micropolar. Mais precisamente, provamos que se a solução (u,w, b)(·, t) apresenta explosão em T∗ < ∞, então k(u,w, b)(·, t)k ˙Hsk(u,w, b)(·, t)k 2s1+2 −1 2 ´e limitado inferiormente por C(T∗ − t) s 1+2 , para todo t ∈ [0, T∗), se δ ∈ (0, 1) e s ≥ 1 2 + δ.