Doctor of Philosophy / Department of Mathematics / Nathan Albin / The concept of discrete $p$-modulus provides a general framework for understanding arbitrary families of objects on a graph. The $p$-modulus provides a sense of ``structure'' of the underlying graph, with different families of objects leading to different insight into the graph's structure. This dissertation builds on this idea, with an emphasis on the family of spanning trees and the underlying graph structure that spanning tree modulus exposes. This dissertation provides a review of the probabilistic interpretation of modulus. In the context of spanning trees, this interpretation rephrases modulus as the problem of choosing a probability mass function on the spanning trees so that two independent, identically distributed random spanning trees have expected overlap as small as possible. A theoretical lower bound on the expected overlap is shown. Graphs that attain this lower bound are called homogeneous and have the property that there exists a probability mass function that gives every edge equal likelihood to appear in a random tree. Moreover, any nonhomogeneous graph necessarily has a homogeneous subgraph (called a homogeneous core), which is shown to split the modulus problem into two smaller subproblems through a process called deflation. Spanning tree modulus and the process of deflation establish a type of hierarchical structure in the underlying graph that is similar to the concept of core-periphery structure found in the literature. Using this, one can see an alternative way of decomposing a graph into its hierarchical community components using homogeneous cores and a related concept: minimum feasible partitions. This dissertation also introduces a simple greedy algorithm for computing the spanning tree modulus that utilizes any efficient algorithm for finding minimum spanning trees. A theoretical proof of the convergence rate is provided, along with computational examples.

Diversos problemas envolvem a classificação de dados em categorias, também denominadas classes. A partir de um conjunto de dados cujas classes são conhecidas, algoritmos de Aprendizado de Máquina (AM) podem ser utilizados na indução de um classificador capaz de predizer a classe de novos dados do mesmo domínio, realizando assim a discriminação desejada. Dentre as diversas técnicas de AM utilizadas em problemas de classificação, as Máquinas de Vetores de Suporte (Support Vector Machines - SVMs) se destacam por sua boa capacidade de generalização. Elas são originalmente concebidas para a solução de problemas com apenas duas classes, também denominados binários. Entretanto, diversos problemas requerem a discriminação dos dados em mais que duas categorias ou classes. Nesta Tese são investigadas e propostas estratégias para a generalização das SVMs para problemas com mais que duas classes, intitulados multiclasses. O foco deste trabalho é em estratégias que decompõem o problema multiclasses original em múltiplos subproblemas binários, cujas saídas são então combinadas na obtenção da classificação final. As estratégias propostas visam investigar a adaptação das decomposições a cada aplicação considerada, a partir de informações do desempenho obtido em sua solução ou extraídas de seus dados. Os algoritmos implementados foram avaliados em conjuntos de dados gerais e em aplicações reais da área de Bioinformática. Os resultados obtidos abrem várias possibilidades de pesquisas futuras. Entre os benefícios verificados tem-se a obtenção de decomposições mais simples, que requerem menos classificadores binários na solução multiclasses. / Several problems involve the classification of data into categories, also called classes. Given a dataset containing data whose classes are known, Machine Learning (ML) algorithms can be employed for the induction of a classifier able to predict the class of new data from the same domain, thus performing the desired discrimination. Among the several ML techniques applied to classification problems, the Support Vector Machines (SVMs) are known by their high generalization ability. They are originally conceived for the solution of problems with only two classes, also named binary problems. However, several problems require the discrimination of examples into more than two categories or classes. This thesis investigates and proposes strategies for the generalization of SVMs to problems with more than two classes, known as multiclass problems. The focus of this work is on strategies that decompose the original multiclass problem into multiple binary subtasks, whose outputs are then combined to obtain the final classification. The proposed strategies aim to investigate the adaptation of the decompositions for each multiclass application considered, using information of the performance obtained for its solution or extracted from its examples. The implemented algorithms were evaluated on general datasets and on real applications from the Bioinformatics domain. The results obtained open possibilities of many future work. Among the benefits observed is the obtainment of simpler decompositions, which require less binary classifiers in the multiclass solution.

Diversos problemas envolvem a classificação de dados em categorias, também denominadas classes. A partir de um conjunto de dados cujas classes são conhecidas, algoritmos de Aprendizado de Máquina (AM) podem ser utilizados na indução de um classificador capaz de predizer a classe de novos dados do mesmo domínio, realizando assim a discriminação desejada. Dentre as diversas técnicas de AM utilizadas em problemas de classificação, as Máquinas de Vetores de Suporte (Support Vector Machines - SVMs) se destacam por sua boa capacidade de generalização. Elas são originalmente concebidas para a solução de problemas com apenas duas classes, também denominados binários. Entretanto, diversos problemas requerem a discriminação dos dados em mais que duas categorias ou classes. Nesta Tese são investigadas e propostas estratégias para a generalização das SVMs para problemas com mais que duas classes, intitulados multiclasses. O foco deste trabalho é em estratégias que decompõem o problema multiclasses original em múltiplos subproblemas binários, cujas saídas são então combinadas na obtenção da classificação final. As estratégias propostas visam investigar a adaptação das decomposições a cada aplicação considerada, a partir de informações do desempenho obtido em sua solução ou extraídas de seus dados. Os algoritmos implementados foram avaliados em conjuntos de dados gerais e em aplicações reais da área de Bioinformática. Os resultados obtidos abrem várias possibilidades de pesquisas futuras. Entre os benefícios verificados tem-se a obtenção de decomposições mais simples, que requerem menos classificadores binários na solução multiclasses. / Several problems involve the classification of data into categories, also called classes. Given a dataset containing data whose classes are known, Machine Learning (ML) algorithms can be employed for the induction of a classifier able to predict the class of new data from the same domain, thus performing the desired discrimination. Among the several ML techniques applied to classification problems, the Support Vector Machines (SVMs) are known by their high generalization ability. They are originally conceived for the solution of problems with only two classes, also named binary problems. However, several problems require the discrimination of examples into more than two categories or classes. This thesis investigates and proposes strategies for the generalization of SVMs to problems with more than two classes, known as multiclass problems. The focus of this work is on strategies that decompose the original multiclass problem into multiple binary subtasks, whose outputs are then combined to obtain the final classification. The proposed strategies aim to investigate the adaptation of the decompositions for each multiclass application considered, using information of the performance obtained for its solution or extracted from its examples. The implemented algorithms were evaluated on general datasets and on real applications from the Bioinformatics domain. The results obtained open possibilities of many future work. Among the benefits observed is the obtainment of simpler decompositions, which require less binary classifiers in the multiclass solution.