La thèse est consacrée essentiellement à l'étude de systèmes non linéaires d'évolution issus d'un modèle de Boussinesq : couplage entre les équations de Navier-stokes avec un second membre F(µ), où F est une force de gravité proportionnelle à des variations de densité qui dépendent de la température et l'équation de l'énergie.<br />Le premier chapitre nous donne un résultat d'existence d'une solution faible-renormalisée du système de Boussinesq en dimension 2, dans le cas où F est bornée.<br />Dans le chapitre 2, on aborde le cas de fonctions F plus générales : F vérifie une hypothèse de croissance. On démontre l'existence de solutions pour toutes données initiales ou pour des données initiales petites selon la croissance de F.<br />Dans le chapitre 3, nous faisons une généralisation des résultats du chapitre 2 mais sans le terme de convection.<br />Dans le chapitre 4, le manque de stabilité de l'énergie de dissipation dans L1(Q) en dimension 3, nous contraint à transformer de façon formelle le système de Boussinesq. On démontre l'existence d'une solution faible de ce nouveau système en dimension 3.

Nous nous étudions ici le problème d'Euler avec surface libre sur un fond non plat et dans un régime fortement non linéaire où l'hypothèse de faible amplitude de l'équation de KdV n'est pas vérifiée. On sait que, pour un tel régime, une généralisation de l'équation de KdV peut être dérivée et justifiée lorsque le fond est plat. Nous généralisons ici ces résultats en proposant une nouvelle classe d'équations prenant en compte des topographies variables. Nous démontrons également que ces nouveaux modèles sont bien posés. Nous les étudions aussi numériquement. Ensuite, nous améliorons quelques résultats sur l'existence des équations de Green-Naghdi (GN) dans le cas 1D. Dans le cas de 2D, nous dérivons et étudions un nouveau système de la même précision que les équations de GN usuelles, mais avec un meilleur comportement mathématique.

Nous nous étudions ici le problème d'Euler avec surface libre sur un fond non plat et dans un régime fortement non linéaire où l'hypothèse de faible amplitude de l'équation de KdV n'est pas vérifiée. On sait que, pour un tel régime, une généralisation de l'équation de KdV peut être dérivée et justifiée lorsque le fond est plat. Nous généralisons ici ces résultats en proposant une nouvelle classe d'équations prenant en compte des topographies variables. Nous démontrons également que ces nouveaux modèles sont bien posés. Nous les étudions aussi numériquement. Ensuite, nous améliorons quelques résultats sur l'existence des équations de Green-Naghdi (GN) dans le cas 1D. Dans le cas de 2D, nous dérivons et étudions un nouveau système de la même précision que les équations de GN usuelles, mais avec un meilleur comportement mathématique. / We study here the water-waves problem for uneven bottoms in a highly nonlinear regime where the small amplitude assumption of the KdV equation is enforced. It is known, that for such regimes, a generalization of the KdV equation can be derived and justified when the bottom is flat. We generalize here this result with a new class of equations taking into account variable bottom topographies. We also demonstrate that these new models are well-posed. We then proceed to study them numerically and compare their behavior with the Boussinesq equations over uneven bottoms. Regimes with stronger nonlinearities than the KdV/Boussinesq regime are then investigated. In particular, a variable coefficient generalization of a Camassa-Holm type equation is derived and justified. Wealso study the Green-Naghdi equations that are commonly used in coastal oceanography todescribe the propagation of large amplitude surface waves. We improve previous results on the well posedness of these equations in the case of one dimensional surface waves. In the $2D$ case, we derive and study a new system of the same accuracy as the standard $2D $ Green-Naghdi equations, but with better mathematical behavior.