Cette thèse est consacrée à l'estimation par maximum de vraisemblance dans des problèmes inverses. Nous considérons des modèles statistiques à données manquantes, dans un cadre paramétrique au cours des trois premiers chapitres. Le Chapitre 1 présente une variante de l'algorithme EM (Expectation Maximization) qui combine une approximation stochastique à une méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov : les données manquantes sont simulées selon une probabilité de transition bien choisie. Nous prouvons la convergence presque sûre de la suite générée par l'algorithme vers un maximum local de la vraisemblance des observations. Nous présentons des applications en déconvolution et en détection de ruptures. Dans le Chapitre 2, nous appliquons cet algorithme aux modèles non linéaires à effets mixtes et effectuons outre l'estimation des paramètres du modèle, des estimations de la vraisemblance du modèle et de l'information de Fisher. Les performances de l'algorithme sont illustrées via des comparaisons avec d'autres méthodes sur des exemples de pharmacocinétique et de pharmacodynamique. Le Chapitre 3 présente une application de l'algorithme en géophysique. Nous effectuons une inversion jointe, entre les temps de parcours des ondes sismiques et leurs vitesses et entre des mesures gravimétriques de surface et les densités du sous-sol, en estimant les paramètres du modèle, qui étaient en général fixés arbitrairement. De plus, nous prenons en compte une relation linéaire entre les densités et les vitesses des ondes. Le Chapitre 4 est consacré à l'estimation non paramétrique de la densité des données manquantes. Nous exhibons un estimateur logspline de cette densité qui maximise la vraisemblance des observations dans un modèle logspline et appliquons notre algorithme à ce modèle paramétrique. Nous étudions la convergence de cet estimateur vers la vraie densité lorsque la dimension du modèle logspline et le nombre d'observations tendent vers l'infini. Nous présentons quelques applications.